Integración de Leapfrog

En análisis numérico , la integración por salto de rana es un método para integrar numéricamente ecuaciones diferenciales de la forma ${\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=A(x),$ o equivalentemente de la forma ${\dot {v}}={\frac {dv}{dt}}=A(x),\qquad {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}=v,$ particularmente en el caso de un sistema dinámico de mecánica clásica .

El método se conoce con diferentes nombres en diferentes disciplinas. En particular, es similar al método de Verlet de velocidad , que es una variante de la integración de Verlet . La integración de salto de rana es equivalente a la actualización de posiciones. $x(t)$ y velocidades $v(t)={\dot {x}}(t)$ en diferentes momentos intercalados, escalonados de tal manera que se " saltan " unos sobre otros.

La integración de Leapfrog es un método de segundo orden , a diferencia de la integración de Euler , que es de primer orden, pero requiere el mismo número de evaluaciones de función por paso. A diferencia de la integración de Euler, es estable para el movimiento oscilatorio, siempre que el paso de tiempo sea $\Delta t$ es constante y $\Delta t<2/\omega$ . ^{[ 1 ]}

Utilizando los coeficientes de Yoshida y aplicando el integrador leapfrog varias veces con los pasos de tiempo correctos, se puede generar un integrador de orden mucho mayor.

Algoritmo

En la integración de salto de rana, las ecuaciones para actualizar la posición y la velocidad son: ${\begin{aligned}a_{i}&=A(x_{i}),\\v_{i+1/2}&=v_{i-1/2}+a_{i}\,\Delta t,\\x_{i+1}&=x_{i}+v_{i+1/2}\,\Delta t,\end{aligned}}$

dónde $x_{i}$ es posición en el paso $i$ , $v_{i+1/2\,}$ es la velocidad, o primera derivada de $x$ , en el paso $i+1/2\,$ , $a_{i}=A(x_{i})$ es la aceleración, o segunda derivada de $x$ , en el paso $i$ , y $\Delta t$ es el tamaño de cada paso de tiempo. Estas ecuaciones se pueden expresar en una forma que también da la velocidad en pasos enteros: ^{[ 2 ]} ${\begin{aligned}x_{i+1}&=x_{i}+v_{i}\,\Delta t+{\tfrac {1}{2}}\,a_{i}\,\Delta t^{\,2},\\v_{i+1}&=v_{i}+{\tfrac {1}{2}}(a_{i}+a_{i+1})\,\Delta t.\end{aligned}}$ Sin embargo, en esta forma sincronizada, el paso de tiempo $\Delta t$ debe ser constante para mantener la estabilidad. ^{[ 3 ]}

La forma sincronizada se puede reorganizar a la forma 'kick-drift-kick'; ${\begin{aligned}v_{i+1/2}&=v_{i}+{\tfrac {1}{2}}a_{i}\Delta t,\\[2pt]x_{i+1}&=x_{i}+v_{i+1/2}\Delta t,\\[2pt]v_{i+1}&=v_{i+1/2}+{\tfrac {1}{2}}a_{i+1}\Delta t,\end{aligned}}$ que se utiliza principalmente cuando se requieren pasos de tiempo variables. La separación del cálculo de la aceleración al principio y al final de un paso significa que si la resolución temporal se incrementa en un factor de dos ( $\Delta t\rightarrow \Delta t/2$ ), entonces solo se requiere un cálculo de aceleración adicional (computacionalmente costoso).

Una de las aplicaciones de esta ecuación se encuentra en las simulaciones de gravedad newtoniana, ya que en ese caso la aceleración depende únicamente de las posiciones de las masas gravitatorias (y no de sus velocidades).

La integración por saltos presenta dos ventajas principales al aplicarse a problemas de mecánica. La primera es la reversibilidad temporal del método de saltos. Se puede integrar hacia adelante n pasos y luego invertir la dirección de la integración e integrar hacia atrás n pasos para llegar a la misma posición inicial. La segunda ventaja es su naturaleza simpléctica , lo que implica que conserva la energía (ligeramente modificada; véase integrador simpléctico ) de un sistema dinámico hamiltoniano. ^{[ 4 ]} Esto resulta especialmente útil al calcular la dinámica orbital, ya que muchos otros esquemas de integración, como el método de Runge-Kutta (de orden 4) , no conservan la energía y permiten que el sistema se desplace sustancialmente con el tiempo.

Debido a su reversibilidad temporal y a que es un integrador simpléctico , la integración de salto de rana también se utiliza en el método de Monte Carlo hamiltoniano , un método para extraer muestras aleatorias de una distribución de probabilidad cuya normalización global es desconocida. ^{[ 5 ]}

Algoritmos de Yoshida

El integrador de salto de rana se puede convertir en integradores de orden superior utilizando técnicas desarrolladas por Haruo Yoshida . En este enfoque, el método de salto de rana se aplica a lo largo de varios pasos de tiempo diferentes. Se observa que, al utilizar los pasos de tiempo correctos en secuencia, los errores se cancelan y se pueden generar fácilmente integradores de orden mucho mayor. ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

Integrador Yoshida de cuarto orden

Un paso bajo el integrador de Yoshida de cuarto orden requiere cuatro pasos intermedios. La posición y la velocidad se calculan en momentos diferentes. Solo se requieren tres cálculos de aceleración (computacionalmente costosos).

Las ecuaciones para el integrador de cuarto orden para actualizar la posición y la velocidad son:

${\begin{aligned}x_{i}^{1}&=x_{i}+c_{1}\,v_{i}\,\Delta t,&v_{i}^{1}&=v_{i}+d_{1}\,a(x_{i}^{1})\,\Delta t,\\x_{i}^{2}&=x_{i}^{1}+c_{2}\,v_{i}^{1}\,\Delta t,&v_{i}^{2}&=v_{i}^{1}+d_{2}\,a(x_{i}^{2})\,\Delta t,\\x_{i}^{3}&=x_{i}^{2}+c_{3}\,v_{i}^{2}\,\Delta t,&v_{i}^{3}&=v_{i}^{2}+d_{3}\,a(x_{i}^{3})\,\Delta t,\\x_{i+1}&\equiv x_{i}^{4}=x_{i}^{3}+c_{4}\,v_{i}^{3}\,\Delta t,&v_{i+1}&\equiv v_{i}^{4}=v_{i}^{3}\\\end{aligned}}$

dónde $x_{i},v_{i}$ son la posición y velocidad iniciales, $x_{i}^{n},v_{i}^{n}$ son la posición y la velocidad intermedias en el paso intermedio $n$ , $a(x_{i}^{n})$ es la aceleración en la posición $x_{i}^{n}$ , y $x_{i+1},v_{i+1}$ son la posición y velocidad finales bajo un paso de Yoshida de cuarto orden.

Coeficientes $(c_{1},c_{2},c_{3},c_{4})$ y $(d_{1},d_{2},d_{3})$ se derivan en ^{[ 7 ]} (ver la ecuación (4.6))

${\begin{aligned}w_{0}&\equiv -{\frac {\sqrt[{3}]{2}}{2-{\sqrt[{3}]{2}}}},&w_{1}&\equiv {\frac {1}{2-{\sqrt[{3}]{2}}}},\\[1ex]c_{1}&=c_{4}\equiv {\frac {w_{1}}{2}},&c_{2}=c_{3}&\equiv {\frac {w_{0}+w_{1}}{2}},\\[1ex]d_{1}&=d_{3}\equiv w_{1},&d_{2}&\equiv w_{0}\\\end{aligned}}$

Todos los pasos intermedios forman uno $\Delta t$ paso que implica que los coeficientes suman uno: ${\textstyle \sum _{i=1}^{4}c_{i}=1}$ y ${\textstyle \sum _{i=1}^{3}d_{i}=1}$ . Tenga en cuenta que la posición y la velocidad se calculan en diferentes momentos y algunos pasos intermedios se realizan hacia atrás en el tiempo. Para ilustrar esto, proporcionamos los valores numéricos de $c_{n}$ coeficientes: $c_{1}=0.6756$ , $c_{2}=-0.1756$ , $c_{3}=-0.1756$ , $c_{4}=0.6756.$

Véase también

Referencias

↑ CK Birdsall y AB Langdon, Física de plasmas mediante simulaciones por ordenador , McGraw-Hill Book Company, 1985, pág. 56.
↑ "4.1 Dos maneras de escribir el salto de rana" . Archivado del original el 3 de abril de 2023.
↑ Skeel, RD, "El tamaño variable del paso desestabiliza el método Stömer/Leapfrog/Verlet", BIT Numerical Mathematics , vol. 33, 1993, págs. 172-175.
↑ Tuckerman, Mark E. (2010). Mecánica estadística: teoría y simulación molecular (1.ª ed.). Oxford University Press. págs. 121–124 . ISBN 9780198525264.
↑ Bishop, Christopher (2006). Reconocimiento de patrones y aprendizaje automático . Nueva York: Springer-Verlag . págs. 548–554 . ISBN 978-0-387-31073-2.
↑ "./Ch07.HTML" . Archivado del original el 31-03-2022 . Consultado el 21-12-2017 .
1 2 Yoshida, Haruo (1990). "Construcción de integradores simplécticos de orden superior". Physics Letters A . 150 ( 5– 7): 262– 268. doi : 10.1016/0375-9601(90)90092-3 .

Enlaces externos

https://www.physics.drexel.edu/students/courses/Comp_Phys/Integrators/leapfrog/ (archivado el 17 de junio de 2010 ) , Física de la Universidad de Drexel

[1] CK Birdsall y AB Langdon, Física de plasmas mediante simulaciones por ordenador , McGraw-Hill Book Company, 1985, pág. 56.

[2] "4.1 Dos maneras de escribir el salto de rana" . Archivado del original el 3 de abril de 2023.

[3] Skeel, RD, "El tamaño variable del paso desestabiliza el método Stömer/Leapfrog/Verlet", BIT Numerical Mathematics , vol. 33, 1993, págs. 172-175.

[4] Tuckerman, Mark E. (2010). Mecánica estadística: teoría y simulación molecular (1.ª ed.). Oxford University Press. págs. 121–124 . ISBN 9780198525264.

[5] Bishop, Christopher (2006). Reconocimiento de patrones y aprendizaje automático . Nueva York: Springer-Verlag . págs. 548–554 . ISBN 978-0-387-31073-2.

[6] "./Ch07.HTML" . Archivado del original el 31-03-2022 . Consultado el 21-12-2017 .

[Yoshida1990-7] 1 2 Yoshida, Haruo (1990). "Construcción de integradores simplécticos de orden superior". Physics Letters A . 150 ( 5– 7): 262– 268. doi : 10.1016/0375-9601(90)90092-3 .

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