Matriz convergente

En álgebra lineal , una matriz convergente es una matriz que converge a la matriz cero bajo la exponenciación de matrices .

Cuando las potencias sucesivas de una matriz T se vuelven pequeñas (es decir, cuando todas las entradas de T tienden a cero al elevar T a potencias sucesivas), la matriz T converge a la matriz cero. Una descomposición regular de una matriz no singular A da como resultado una matriz T convergente . Una descomposición semiconvergente de una matriz A da como resultado una matriz T semiconvergente . Un método iterativo general converge para cualquier vector inicial si T es convergente, y bajo ciertas condiciones si T es semiconvergente.

Llamamos matriz convergente a una matriz T de n × n si

para cada i = 1, 2, ..., n y j = 1, 2, ..., n . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

Dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {T} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}\\[4pt]0&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Calculando potencias sucesivas de T , obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {T} ^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{16}}&{\frac {1}{4}}\\[4pt]0&{\frac {1}{16}}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {T} ^{3}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{64}}&{\frac {3}{32}}\\[4pt]0&{\frac {1}{64}}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {T} ^{4}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{256}}&{\frac {1}{32}}\\[4pt]0&{\frac {1}{256}}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {T} ^{5}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{1024}}&{\frac {5}{512}}\\[4pt]0&{\frac {1}{1024}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ^{6}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4096}}&{\frac {3}{1024}}\\[4pt]0&{\frac {1}{4096}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

y, en general,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ^{k}={\begin{pmatrix}({\frac {1}{4}})^{k}&{\frac {k}{2^{2k-1}}}\\[4pt]0&({\frac {1}{4}})^{k}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Desde

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left({\frac {1}{4}}\right)^{k}=0}$

y

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {k}{2^{2k-1}}}=0,}$

T es una matriz convergente . Nótese que ρ ( T ) = 1 / 4 , donde ρ ( T ) representa el radio espectral de T , ya que 1 / 4 es el único valor propio de T .

Sea T una matriz n × n . Las siguientes propiedades son equivalentes a que T sea una matriz convergente:

1. ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|\mathbf {T} ^{k}\|=0,}$por alguna norma natural;
2. ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|\mathbf {T} ^{k}\|=0,}$para todas las normas naturales;
3. ${\displaystyle \rho (\mathbf {T} )<1}$;
4. ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\mathbf {T} ^{k}\mathbf {x} =\mathbf {0} ,}$para cada x . ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

Un método iterativo general implica un proceso que convierte el sistema de ecuaciones lineales

en un sistema equivalente de la forma

para alguna matriz T y vector c . Después de seleccionar el vector inicial x ⁽⁰⁾ , se genera la secuencia de vectores de solución aproximada calculando

para cada k ≥ 0. ^{[ 8 ] [ 9 ]} Para cualquier vector inicial x ⁽⁰⁾ ∈${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, la secuencia${\displaystyle \lbrace \mathbf {x} ^{\left(k\right)}\rbrace _{k=0}^{\infty }}$definida por ( 4 ), para cada k ≥ 0 y c ≠ 0, converge a la solución única de ( 3 ) si y solo si ρ ( T ) < 1, es decir, T es una matriz convergente. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

Llamamos matriz semiconvergente a una matriz T de n × n si el límite

existe. ^{[ 14 ]} Si A es posiblemente singular pero ( 2 ) es consistente, es decir, b está en el rango de A , entonces la sucesión definida por ( 4 ) converge a una solución de ( 2 ) para cada x ⁽⁰⁾ ∈${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$si y solo si T es semiconvergente. En este caso, la división ( ⁵ ) se llama una división semiconvergente de A. [ ^{15 ]}

• Método de Gauss-Seidel
• Método de Jacobi
• Lista de matrices
• Matriz nilpotente
• Relajación excesiva sucesiva

• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993), Análisis numérico (5.ª  ed.), Boston: Prindle, Weber and Schmidt , ISBN 0-534-93219-3.
• Isaacson, Eugene; Keller, Herbert Bishop (1994), Análisis de métodos numéricos , Nueva York: Dover , ISBN 0-486-68029-0.
• Carl D. Meyer, Jr.; RJ Plemmons (septiembre de 1977). "Potencias convergentes de una matriz con aplicaciones a métodos iterativos para sistemas lineales singulares". SIAM Journal on Numerical Analysis . 14 (4): 699– 705. Bibcode : 1977SJNA...14..699M . doi : 10.1137/0714047 .
• Varga, Richard S. (1960). "Factorización y métodos iterativos normalizados". En Langer, Rudolph E. (ed.). Problemas de frontera en ecuaciones diferenciales . Madison: University of Wisconsin Press . pp. 121–142 . LCCN 60-60003 .  
• Varga, Richard S. (1962), Análisis iterativo de matrices , Nueva Jersey: Prentice–Hall , Bibcode : 1962mia..book.....V , LCCN 62-21277 .