Una plantilla compacta 2D que utiliza los 8 nodos adyacentes, más el nodo central (en rojo). En matemáticas , especialmente en las áreas de análisis numérico llamadas ecuaciones diferenciales parciales numéricas , una plantilla compacta es un tipo de plantilla que utiliza solo nueve nodos para su método de discretización en dos dimensiones. Utiliza solo el nodo central y los nodos adyacentes . Para cualquier cuadrícula estructurada que utilice una plantilla compacta en 1, 2 o 3 dimensiones, el número máximo de nodos es 3, 9 o 27 respectivamente. Las plantillas compactas pueden compararse con las plantillas no compactas . Las plantillas compactas se implementan actualmente en muchos solucionadores de ecuaciones diferenciales parciales , incluidos varios en los temas de CFD, FEA y otros solucionadores matemáticos relacionados con PDE. [1] [2]
Ejemplo de plantilla de dos puntos La plantilla de dos puntos para la primera derivada de una función viene dada por:
F "
(
incógnita
0
) =
F
(
incógnita
0
+ yo
)
− F
(
incógnita
0
− yo
)
2 yo
+ Oh
(
yo
2
)
{\displaystyle f'(x_{0})={\frac {f(x_{0}+h\right)-f(x_{0}-h\right)}{2h}}+O\left(h^{2}\right)}
.
Esto se obtiene a partir de la expansión en serie de Taylor de la primera derivada de la función dada por:
F "
(
incógnita
0
) =
F
(
incógnita
0
+ yo
)
− F (
incógnita
0
)
yo
−
F
( 2 )
(
incógnita
0
)
2 !
yo −
F
( 3 )
(
incógnita
0
)
3 !
yo
2
−
F
( 4 )
(
incógnita
0
)
4 !
yo
3
+ ⋯
{\displaystyle {\begin{array}{l}f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}-{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}-{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}}
.
Reemplazando por , tenemos:
yo
{\estilo de visualización h}
− yo
{\estilo de visualización -h}
F "
(
incógnita
0
) = −
F
(
incógnita
0
− yo
)
− F (
incógnita
0
)
yo
+
F
( 2 )
(
incógnita
0
)
2 !
yo −
F
( 3 )
(
incógnita
0
)
3 !
yo
2
+
F
( 4 )
(
incógnita
0
)
4 !
yo
3
+ ⋯
{\displaystyle {\begin{array}{l}f'(x_{0})=-{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}+{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}}
.
La suma de las dos ecuaciones anteriores da como resultado la cancelación de los términos en potencias impares de :
yo
{\estilo de visualización h}
2
F "
(
incógnita
0
) =
F
(
incógnita
0
+ yo
)
− F (
incógnita
0
)
yo
−
F
(
incógnita
0
− yo
)
− F (
incógnita
0
)
yo
− 2
F
( 3 )
(
incógnita
0
)
3 !
yo
2
+ ⋯
{\displaystyle {\begin{array}{l}2f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}-{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}+\cdots \end{array}}}
.
F "
(
incógnita
0
) =
F
(
incógnita
0
+ yo
)
− F
(
incógnita
0
− yo
)
2 yo
−
F
( 3 )
(
incógnita
0
)
3 !
yo
2
+ ⋯
{\displaystyle {\begin{array}{l}f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}-{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}+\cdots \end{array}}}
.
F "
(
incógnita
0
) =
F
(
incógnita
0
+ yo
)
− F
(
incógnita
0
− yo
)
2 yo
+ Oh
(
yo
2
)
{\displaystyle {\begin{array}{l}f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}+O\left(h^{2}\right)\end{array}}}
.
Ejemplo de plantilla de tres puntos Por ejemplo, la plantilla de tres puntos para la segunda derivada de una función viene dada por:
F
( 2 )
(
incógnita
0
) =
F
(
incógnita
0
+ yo
)
+ F
(
incógnita
0
− yo
)
− 2 F (
incógnita
0
)
yo
2
+ Oh
(
yo
2
)
{\displaystyle {\begin{array}{l}f^{(2)}(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)+f\left(x_{0}-h\right)-2f(x_{0})}{h^{2}}}+O\left(h^{2}\right)\end{array}}}
.
Esto se obtiene a partir de la expansión en serie de Taylor de la primera derivada de la función dada por:
F "
(
incógnita
0
) =
F
(
incógnita
0
+ yo
)
− F (
incógnita
0
)
yo
−
F
( 2 )
(
incógnita
0
)
2 !
yo −
F
( 3 )
(
incógnita
0
)
3 !
yo
2
−
F
( 4 )
(
incógnita
0
)
4 !
yo
3
+ ⋯
{\displaystyle {\begin{array}{l}f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}-{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}-{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}}
.
Reemplazando por , tenemos:
yo
{\estilo de visualización h}
− yo
{\estilo de visualización -h}
F "
(
incógnita
0
) = −
F
(
incógnita
0
− yo
)
− F (
incógnita
0
)
yo
+
F
( 2 )
(
incógnita
0
)
2 !
yo −
F
( 3 )
(
incógnita
0
)
3 !
yo
2
+
F
( 4 )
(
incógnita
0
)
4 !
yo
3
+ ⋯
{\displaystyle {\begin{array}{l}f'(x_{0})=-{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}+{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}}
.
La resta de las dos ecuaciones anteriores da como resultado la cancelación de los términos en potencias pares de :
.
yo
{\estilo de visualización h}
0 =
F
(
incógnita
0
+ yo
)
− F (
incógnita
0
)
yo
+
F
(
incógnita
0
− yo
)
− F (
incógnita
0
)
yo
− 2
F
( 2 )
(
incógnita
0
)
2 !
yo − 2
F
( 4 )
(
incógnita
0
)
4 !
yo
3
+ ⋯
{\displaystyle {\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}}
F
( 2 )
(
incógnita
0
) =
F
(
incógnita
0
+ yo
)
+ F
(
incógnita
0
− yo
)
− 2 F (
incógnita
0
)
yo
2
− 2
F
( 4 )
(
incógnita
0
)
4 !
yo
2
+ ⋯
{\displaystyle {\begin{array}{l}f^{(2)}(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)+f\left(x_{0}-h\right)-2f(x_{0})}{h^{2}}}-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{2}+\cdots \end{array}}}
.
F
( 2 )
(
incógnita
0
) =
F
(
incógnita
0
+ yo
)
+ F
(
incógnita
0
− yo
)
− 2 F (
incógnita
0
)
yo
2
+ Oh
(
yo
2
)
{\displaystyle {\begin{array}{l}f^{(2)}(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)+f\left(x_{0}-h\right)-2f(x_{0})}{h^{2}}}+O\left(h^{2}\right)\end{array}}}
.
Véase también
Referencias
^ WF Spotz. Esquemas de diferencias finitas compactas de orden superior para mecánica computacional. Tesis doctoral, Universidad de Texas en Austin, Austin, TX, 1995. ^ Comunicaciones en métodos numéricos en ingeniería, Copyright © 2008 John Wiley & Sons, Ltd.
Hispanopedia Wiki
