Media aritmético-geométrica

En matemáticas , la media aritmético-geométrica (AGM o agM ^[1] ) de dos números reales positivos x e y es el límite mutuo de una secuencia de medias aritméticas y una secuencia de medias geométricas . La media aritmético-geométrica se utiliza en algoritmos rápidos para funciones exponenciales , trigonométricas y otras funciones especiales , así como algunas constantes matemáticas , en particular, el cálculo de π .

La AGM se define como el límite de las secuencias interdependientes y . Suponiendo que , escribimos: Estas dos secuencias convergen al mismo número, la media aritmético-geométrica de x e y ; se denota por M ( x , y ) , o a veces por agm( x , y ) o AGM( x , y ) . ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle g_{i}}$${\displaystyle x\geq y\geq 0}$$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=x,\\g_{0}&=y\\a_{n+1}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}+g_{n}),\\g_{n+1}&={\sqrt {a_{n}g_{n}}}\,.\end{aligned}}}$$

La media aritmético-geométrica puede extenderse a números complejos y, cuando se permite tomar las ramas de la raíz cuadrada de manera inconsistente, generalmente es una función multivaluada . ^[1]

Para encontrar la media aritmético-geométrica de a ₀ = 24 y g ₀ = 6 , itere de la siguiente manera: Las primeras cinco iteraciones dan los siguientes valores: $${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}a_{1}&=&{\tfrac {1}{2}}(24+6)&=&15\\g_{1}&=&{\sqrt {24\cdot 6}}&=&12\\a_{2}&=&{\tfrac {1}{2}}(15+12)&=&13.5\\g_{2}&=&{\sqrt {15\cdot 12}}&=&13.416\ 407\ 8649\dots \\&&\vdots &&\end{array}}}$$

El número de dígitos en los que a _n y g _n coinciden (subrayado) se duplica aproximadamente con cada iteración. La media aritmético-geométrica de 24 y 6 es el límite común de estas dos secuencias, que es aproximadamente13.458 171 481 725 615 420 766 813 156 974 399 243 053 838 8544 . ^[2]

El primer algoritmo basado en este par de secuencias apareció en los trabajos de Lagrange . Sus propiedades fueron analizadas posteriormente por Gauss . ^[1]

Tanto la media geométrica como la media aritmética de dos números positivos x e y están entre los dos números. (Están estrictamente entre cuando x ≠ y .) La media geométrica de dos números positivos nunca es mayor que la media aritmética . ^[3] Por lo tanto, las medias geométricas son una secuencia creciente g ₀ ≤ g ₁ ≤ g ₂ ≤ ... ; las medias aritméticas son una secuencia decreciente a ₀ ≥ a ₁ ≥ a ₂ ≥ ... ; y g _n ≤ M ( x , y ) ≤ a _n para cualquier n . Estas son desigualdades estrictas si x ≠ y .

M ( x , y ) es entonces un número entre x e y ; también está entre la media geométrica y aritmética de x e y .

Si r ≥ 0 entonces M ( rx , ry ) = r M ( x , y ) .

Hay una expresión en forma integral para M ( x , y ) : ^[4] donde K ( k ) es la integral elíptica completa del primer tipo : Dado que el proceso aritmético-geométrico converge tan rápidamente, proporciona una forma eficiente de calcular integrales elípticas, que se utilizan, por ejemplo, en el diseño de filtros elípticos . ^[5]$${\displaystyle {\begin{aligned}M(x,y)&={\frac {\pi }{2}}\left(\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}\right)^{-1}\\&=\pi \left(\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {t(t+x^{2})(t+y^{2})}}}\right)^{-1}\\&={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}}$$

La media aritmético-geométrica está conectada a la función theta de Jacobi por ^[6] que al establecerla da${\displaystyle \theta _{3}}$$${\displaystyle M(1,x)=\theta _{3}^{-2}\left(\exp \left(-\pi {\frac {M(1,x)}{M\left(1,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}}\right)\right)=\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }\exp \left(-n^{2}\pi {\frac {M(1,x)}{M\left(1,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}}\right)\right)^{-2},}$$${\displaystyle x=1/{\sqrt {2}}}$$${\displaystyle M(1,1/{\sqrt {2}})=\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-n^{2}\pi }\right)^{-2}.}$$

El recíproco de la media aritmético-geométrica de 1 y la raíz cuadrada de 2 es la constante de Gauss . En 1799, Gauss demostró ^{[nota 1]} que donde es la constante lemniscata . $${\displaystyle {\frac {1}{M(1,{\sqrt {2}})}}=G=0.8346268\dots }$$$${\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})={\frac {\pi }{\varpi }}}$$${\displaystyle \varpi }$

En 1941, (y por lo tanto ) fue demostrado trascendental por Theodor Schneider . ^{[nota 2] [7] [8]} El conjunto es algebraicamente independiente sobre , ^{[9] [10]} pero el conjunto (donde el primo denota la derivada con respecto a la segunda variable) no es algebraicamente independiente sobre . De hecho, ^[11] La media geométrica-armónica GH se puede calcular utilizando secuencias análogas de medias geométricas y armónicas , y de hecho GH( x , y ) = 1/ M (1/ x , 1/ y ) = xy / M ( x , y ) . ^[12] La media aritmético-armónica es equivalente a la media geométrica . ${\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \{\pi ,M(1,1/{\sqrt {2}})\}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \{\pi ,M(1,1/{\sqrt {2}}),M'(1,1/{\sqrt {2}})\}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$$${\displaystyle \pi =2{\sqrt {2}}{\frac {M^{3}(1,1/{\sqrt {2}})}{M'(1,1/{\sqrt {2}})}}.}$$

La media aritmético-geométrica se puede utilizar para calcular, entre otros, logaritmos , integrales elípticas completas e incompletas de primer y segundo tipo , ^[13] y funciones elípticas de Jacobi . ^[14]

La desigualdad de las medias aritmética y geométrica implica que y por lo tanto , es decir, la sucesión g _n no es decreciente y está acotada superiormente por el mayor de x e y . Por el teorema de convergencia monótona , la sucesión es convergente, por lo que existe una g tal que: Sin embargo, también podemos ver que: y por lo tanto: $${\displaystyle g_{n}\leq a_{n}}$$$${\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {g_{n}\cdot a_{n}}}\geq {\sqrt {g_{n}\cdot g_{n}}}=g_{n}}$$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }g_{n}=g}$$$${\displaystyle a_{n}={\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}}$$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}={\frac {g^{2}}{g}}=g}$$

QED

Esta prueba la da Gauss. ^[1] Sea

$${\displaystyle I(x,y)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}},}$$

Cambiando la variable de integración a , donde ${\displaystyle \theta '}$

$${\displaystyle \sin \theta ={\frac {2x\sin \theta '}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}},}$$

$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}},}$$

$${\displaystyle \cos \theta \ d\theta =2x{\frac {(x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta '}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}\ \cos \theta 'd\theta '\ ,}$$

$${\displaystyle d\theta ={\frac {2x\cos \theta '((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '){\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}}}d\theta '\ ,}$$ $${\displaystyle x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta ={\frac {x^{2}((x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta ')+4x^{2}y^{2}\sin ^{2}\theta '}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}={\frac {x^{2}((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}}$$

Esto produce $${\displaystyle {\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {2x\cos \theta '((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '){\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}}}{\frac {((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{x((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}}={\frac {2\cos \theta 'd\theta '}{\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}},}$$

da

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta '}{\sqrt {{\bigl (}{\frac {1}{2}}(x+y){\bigr )}^{2}\cos ^{2}\theta '+{\bigl (}{\sqrt {xy}}{\bigr )}^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&=I{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}(x+y),{\sqrt {xy}}{\bigr )}.\end{aligned}}}$$

Así pues, tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=I(a_{1},g_{1})=I(a_{2},g_{2})=\cdots \\&=I{\bigl (}M(x,y),M(x,y){\bigr )}=\pi /{\bigr (}2M(x,y){\bigl )}.\end{aligned}}}$$ La última igualdad surge de observar que . ${\displaystyle I(z,z)=\pi /(2z)}$

Finalmente obtenemos el resultado deseado

$${\displaystyle M(x,y)=\pi /{\bigl (}2I(x,y){\bigr )}.}$$

Según el algoritmo de Gauss-Legendre , ^[15]

$${\displaystyle \pi ={\frac {4\,M(1,1/{\sqrt {2}})^{2}}{1-\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }2^{j+1}c_{j}^{2}}},}$$

dónde

$${\displaystyle c_{j}={\frac {1}{2}}\left(a_{j-1}-g_{j-1}\right),}$$

con y , que se puede calcular sin pérdida de precisión utilizando ${\displaystyle a_{0}=1}$${\displaystyle g_{0}=1/{\sqrt {2}}}$

$${\displaystyle c_{j}={\frac {c_{j-1}^{2}}{4a_{j}}}.}$$

Tomando y cediendo la AGM ${\displaystyle a_{0}=1}$${\displaystyle g_{0}=\cos \alpha }$

$${\displaystyle M(1,\cos \alpha )={\frac {\pi }{2K(\sin \alpha )}},}$$

donde K ( k ) es una integral elíptica completa de primer tipo :

$${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\pi /2}(1-k^{2}\sin ^{2}\theta )^{-1/2}\,d\theta .}$$

Es decir que este trimestre podrá ser computado eficientemente a través de la Asamblea General Anual, $${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2M(1,{\sqrt {1-k^{2}}})}}.}$$

Utilizando esta propiedad del AGM junto con las transformaciones ascendentes de John Landen , ^[16] Richard P. Brent ^[17] sugirió los primeros algoritmos AGM para la evaluación rápida de funciones trascendentales elementales ( e ^x , cos  x , sen  x ). Posteriormente, muchos autores estudiaron el uso de los algoritmos AGM. ^[18]

• La transformación de Landen
• Algoritmo de Gauss-Legendre
• Media generalizada