raíz enésima

En matemáticas , la raíz enésima de un número x es el número r que, al multiplicarse por sí mismo n veces, da como resultado x : $${\displaystyle r^{n}=\underbrace {r\times r\times \dotsb \times r} _{n{\text{ factores}}}=x.}$$El entero positivo n se llama índice o grado , y el número x del que se extrae la raíz es el radicando. Una raíz de grado 2 se llama raíz cuadrada y una raíz de grado 3, raíz cúbica . Las raíces de mayor grado se denominan mediante números ordinales , como raíz cuarta , raíz vigésima , etc. El cálculo de una raíz enésima se denomina extracción de raíz .

La raíz enésima de x se escribe como${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$utilizando el símbolo radical${\displaystyle {\sqrt {\phantom {x}}}}$La raíz cuadrada se suele escribir como${\displaystyle {\sqrt {x}}}$⁠ , omitiendo el grado. Tomando la raíz enésima de un número, para un valor fijo de ⁠${\displaystyle n}$⁠ , es el inverso de elevar un número a la enésima potencia, ^{[ 1 ]} y se puede escribir como un exponente fraccionario :

$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}.}$$

Para un número real positivo x ,${\displaystyle {\sqrt {x}}}$denota la raíz cuadrada positiva de x y${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$denota la raíz enésima real positiva . Por ejemplo, 3 es una raíz cuadrada de 9 , ya que 3² = 9 ^, y −3 también es una raíz cuadrada de 9 , ya que (−3) ^² = 9. [ ^{2 ] Un} número real negativo −x no tiene raíces cuadradas de valor real, pero cuando x se trata como un número complejo tiene dos raíces cuadradas imaginarias ,${\displaystyle +i{\sqrt {x}}}$y​​${\displaystyle -i{\sqrt {x}}}$, donde i es la unidad imaginaria .

En general, cualquier número complejo distinto de cero tiene n raíces n -ésimas distintas de valor complejo , distribuidas uniformemente alrededor de un círculo complejo de valor absoluto constante . (La raíz n -ésima de 0 es cero con multiplicidad n , y este círculo degenera en un punto). Por lo tanto, extraer las raíces n -ésimas de un número complejo x puede considerarse una función multivaluada . Por convención, el valor principal de esta función, llamado raíz principal y denotado por ⁠${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$Se considera que la raíz principal de un número real positivo es la raíz principal de mayor parte real y, en el caso especial de que x sea un número real negativo, laraíz principal de un número real positivo. Por lo tanto, la raíz principal de un número real positivo es también un número real positivo. Como función , la raíz principal es continua en todo el plano complejo , excepto a lo largo del eje real negativo. Las raíces principales de 1 se denominan raíces de la unidad y desempeñan un papel fundamental en diversas áreas de las matemáticas, como la teoría de números , la teoría de ecuaciones y la transformada de Fourier .

Una raíz no resuelta, especialmente una que utiliza el símbolo radical, a veces se denomina irdo ^{[ 3 ]} o radical . ^{[ 4 ]} Cualquier expresión que contenga un radical, ya sea una raíz cuadrada, una raíz cúbica o una raíz de orden superior, se denomina expresión radical , y si no contiene funciones trascendentales o números trascendentales se denomina expresión algebraica .

Los babilonios, ya en el 1800 a. C., demostraron aproximaciones numéricas de cantidades irracionales como la raíz cuadrada de 2 en tablillas de arcilla, con una precisión análoga a seis decimales, como en la tablilla YBC 7289. [ ^{5 ] Las} tablillas cuneiformes de Larsa incluyen tablas de raíces cuadradas y cúbicas de enteros. ^{[ 6 ]} El primero en probar la irracionalidad de √2 fue probablemente el pitagórico Hipaso . ^{[ 7 ]} Platón , en su Teeteto , describe cómo Teodoro de Cirene (c. 400 a. C.) demostró la irracionalidad de${\displaystyle {\sqrt {3}}}$,${\displaystyle {\sqrt {5}}}$, etc. hasta${\displaystyle {\sqrt {17}}}$. ^{[ 8 ]} En el siglo I d. C., Herón de Alejandría ideó un método iterativo para calcular la raíz cuadrada , que en realidad es un caso especial del método de Newton más general . ^{[ 9 ]}

El término surdo se remonta a Al-Juarismi ( c. 825 ), quien se refería a los números racionales e irracionales como "audibles" e "inaudibles", respectivamente. Esto llevó posteriormente a que la palabra árabe أصم ( asamm , que significa "sordo" o "mudo") para "número irracional" se tradujera al latín como surdus (que significa "sordo" o "mudo"). Gerardo de Cremona ( c. 1150 ), Fibonacci (1202) y luego Robert Recorde (1551) utilizaron el término para referirse a "raíces irracionales no resueltas", es decir, expresiones de la forma${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}$, en el cual${\displaystyle n}$y${\displaystyle r}$son numerales enteros y la expresión completa denota un número irracional. ^{[ 10 ]} Números irracionales de la forma${\displaystyle \pm {\sqrt {a}},}$dónde${\displaystyle a}$es racional, se llaman "surgidos cuadráticos puros"; los números irracionales de la forma ${\displaystyle a\pm {\sqrt {b}}}$, dónde${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son racionales, se llaman radicales cuadráticos mixtos . ^{[ 11 ]} Un término arcaico de finales del siglo XV para la operación de tomar raíces n- ésimas es radicación , ^{[ 12 ] [ 13 ]} y una raíz no resuelta es un radical . ^{[ 4 ]}

En el siglo XIV, Jamshid al-Kashi utilizó una técnica iterativa, ahora llamada método de Ruffini-Horner, para extraer raíces enésimas para un n arbitrario . Esta técnica se ha utilizado desde la antigüedad para determinar raíces cuadradas, y luego por China y Kushyar ibn Labban durante el siglo X para determinar raíces cúbicas. ^{[ 14 ]} En 1665, Isaac Newton descubrió el teorema general del binomio , que puede convertir una raíz enésima en una serie infinita . ^{[ 15 ]} Basándose en el enfoque desarrollado por François Viète , Newton ideó un método iterativo para resolver una función no lineal de la forma${\displaystyle f(x)=0}$, que puede utilizarse para extraer una raíz enésima . Esta técnica fue perfeccionada posteriormente por Joseph Raphson y se conoció como el método de Newton-Raphson . ^{[ 16 ]} En 1690, Michel Rolle introdujo la notación${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$para la raíz enésima del valor a . ^{[ 17 ]}

En 1629, Albert Girard propuso el teorema fundamental del álgebra , pero no logró demostrarlo. ^{[ 18 ]} Este teorema establece que todo polinomio de una variable de grado n tiene n raíces. ^{[ 19 ]} Además, un polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja. De forma equivalente, el teorema establece que el cuerpo de los números complejos es algebraicamente cerrado . Entre los matemáticos notables que trabajaron en una demostración durante los siglos XVIII y XIX se encuentran d'Alembert , Gauss , Bolzano y Weierstrass , atribuyéndose generalmente a Gauss la primera demostración correcta. Una consecuencia de esta demostración es que cualquier raíz n -ésima de un número real o complejo estará en el plano complejo . ^{[ 20 ] [ 21 ]}

Los antiguos matemáticos griegos sabían cómo usar el compás y la regla para construir una longitud igual a la raíz cuadrada de una longitud dada, cuando se proporciona una línea auxiliar de longitud unitaria. En 1837, Pierre Wantzel demostró que no se puede construir una raíz enésima de una longitud dada si n no es una potencia de 2. ^{[ 22 ]}

Las cuatro raíces cuartas de −1, ninguna de las cuales es real.

Las tres raíces 3 de −1, una de las cuales es un número real negativo.

Una raíz enésima de un número x , donde n es un entero positivo, es cualquiera de los n números reales o complejos r cuya enésima potencia es x :

$${\displaystyle r^{n}=x.}$$

Todo número real positivo x tiene una única raíz enésima positiva, llamada raíz enésima principal , que se escribe${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$. ^{[ 23 ]} Para n igual a 2, esto se llama raíz cuadrada principal y se omite la n . La raíz n -ésima también se puede representar usando la exponenciación como x ^1/n . ^{[ 2 ]}

Para valores pares de n , los números positivos también tienen una raíz enésima negativa , mientras que los números negativos no tienen una raíz enésima real . Para valores impares de n , todo número negativo x tiene una raíz enésima negativa real . ^{[ 23 ]} Por ejemplo, −2 tiene una raíz quinta real,${\displaystyle {\sqrt[{5}]{-2}}=-1.148698354\ldots }$pero −2 no tiene ninguna raíz sexta real.

Todo número distinto de cero x , real o complejo , tiene n raíces n- ésimas de números complejos diferentes . ^{[ 24 ]} (En el caso de que x sea real, este conteo incluye cualquier raíz n- ésima real). La única raíz compleja de 0 es 0.

Las raíces enésimas de casi todos los números (todos los enteros excepto las potencias enésimas , y todos los racionales excepto los cocientes de dos potencias enésimas ) son irracionales . ^{[ 25 ]} Por ejemplo,

$${\displaystyle {\sqrt {2}}=1.414213562\ldots }$$

Todas las raíces enésimas de los números racionales son números algebraicos , y todas las raíces enésimas de los números enteros son números enteros algebraicos .

raíces cuadradas

La raíz cuadrada de un número x es un número r que, al elevarlo al cuadrado , se convierte en x² :

$${\displaystyle r^{2}=x.}$$

Todo número real positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa. Por ejemplo, las dos raíces cuadradas de 25 son 5 y −5. La raíz cuadrada positiva también se conoce como raíz cuadrada principal , ^{[ 2 ]} y se denota con un signo radical:

$${\displaystyle {\sqrt {25}}=5.}$$

Dado que el cuadrado de todo número real es no negativo, los números negativos no tienen raíces cuadradas reales. ^{[ 26 ]} Sin embargo, para todo número real negativo hay dos raíces cuadradas imaginarias . Por ejemplo, las raíces cuadradas de −25 son 5 i y −5 i , donde i representa un número cuyo cuadrado es −1 .

raíces cúbicas

La raíz cúbica de un número x es un número r cuyo cubo es x² :

$${\displaystyle r^{3}=x.}$$

Cada número real x tiene exactamente una raíz cúbica real, ^{[ 2 ]} escrita${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$. Por ejemplo,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{8}}&=2\\{\sqrt[{3}]{-8}}&=-2.\end{aligned}}}$$

Todo número real tiene dos raíces cúbicas complejas adicionales. ^{[ 27 ] [ 28 ]}

Expresar el grado de una raíz enésima en su forma exponencial, como en${\displaystyle x^{1/n}}$, facilita la manipulación de poderes y raíces. Si${\displaystyle a}$es un número real no negativo , ^{[ 26 ]}

$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=(a^{m})^{1/n}=a^{m/n}=(a^{1/n})^{m}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}.}$$

Cada número no negativo tiene exactamente una raíz enésima real no negativa , y por lo tanto, las reglas para las operaciones con radicales que involucran radicandos no negativos${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son sencillos dentro de los números reales: ^{[ 26 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{ab}}&={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\\{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}&={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\end{aligned}}}$$

Pueden surgir sutilezas al calcular las raíces enésimas de números negativos o complejos . Por ejemplo:

$$${\displaystyle {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}\neq {\sqrt {-1\times -1}}=1,\quad }$$$

sino, más bien,

$${\displaystyle \quad {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=i\times i=i^{2}=-1.}$$

Dado que la regla${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\times {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{ab}}}$Esto se cumple estrictamente solo para radicandos reales no negativos; su aplicación conduce a la desigualdad del primer paso anterior. ^{[ 29 ]}

Se dice que una expresión radical no anidada está en forma simplificada si ningún factor del radicando puede escribirse como una potencia mayor o igual que el índice; no hay fracciones dentro del signo radical; y no hay radicales en el denominador. ^{[ 30 ]}

Por ejemplo, para escribir la expresión radical${\displaystyle \textstyle {\sqrt {32/5}}}$En forma simplificada, podemos proceder de la siguiente manera. Primero, buscamos un cuadrado perfecto debajo del signo de raíz cuadrada y lo eliminamos:

$${\displaystyle {\sqrt {\frac {32}{5}}}={\sqrt {\frac {16\cdot 2}{5}}}={\sqrt {16}}\cdot {\sqrt {\frac {2}{5}}}=4{\sqrt {\frac {2}{5}}}}$$

A continuación, hay una fracción bajo el signo radical, que modificamos de la siguiente manera:

$${\displaystyle 4{\sqrt {\frac {2}{5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}}$$

Finalmente, eliminamos el radical del denominador de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}={\frac {4}{5}}{\sqrt {10}}}$$

Cuando hay un denominador que contiene radicales, siempre es posible encontrar un factor por el cual multiplicar tanto el numerador como el denominador para simplificar la expresión. ^{[ 31 ] [ 32 ]} Por ejemplo, utilizando la factorización de la suma de dos cubos :

$${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{\left({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}\right)\left({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}.}$$

Simplificar expresiones radicales con radicales anidados puede resultar bastante difícil. En particular, la desanidación no siempre es posible, y cuando lo es, puede requerir teoría de Galois avanzada . Además, cuando la desanidación completa es imposible, no existe una forma canónica general que permita comprobar la igualdad de dos números simplemente observando sus expresiones canónicas.

Por ejemplo, no es obvio que

$${\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}.}$$

Lo anterior se puede obtener a través de:

$${\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}={\sqrt {1+2{\sqrt {2}}+2}}={\sqrt {1^{2}+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}}}={\sqrt {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2}}}=1+{\sqrt {2}}}$$

Dejar${\displaystyle r=p/q}$, con p y q coprimos y enteros positivos. Entonces${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}={\sqrt[{n}]{p}}/{\sqrt[{n}]{q}}}$es racional si y solo si ambos${\displaystyle {\sqrt[{n}]{p}}}$y${\displaystyle {\sqrt[{n}]{q}}}$son números enteros, lo que significa que tanto p como q son potencias enésimas de algún número entero.

El radical o raíz puede representarse mediante el teorema binomio generalizado :

$${\displaystyle (1+x)^{s/t}=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{m!}}\prod _{k=0}^{m-1}\left({\frac {s}{t}}-k\right)}$$

con${\displaystyle |x|<1}$Esta expresión se puede derivar de la serie binomial . ^{[ 33 ]} Para la raíz n -ésima, esto se convierte en

$${\displaystyle (1+x)^{\frac {1}{n}}=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{m!}}\prod _{k=0}^{m-1}\left({\frac {1}{n}}-k\right)}$$

Para números${\displaystyle r\geq 2}$, elige un valor${\displaystyle p}$de tal manera que

$${\displaystyle {\frac {r}{p^{n}}}-1=x',{\text{ where }}|x'|<1}$$

Luego, según lo anterior, resuelva para

$${\displaystyle r^{\frac {1}{n}}=p(1+x')^{\frac {1}{n}}}$$

Como ejemplo, para${\displaystyle r=30}$y${\displaystyle n=2}$, elegir${\displaystyle p=5}$^{[ 33 ]}

$${\displaystyle {\frac {30}{5^{2}}}-1={\frac {5}{25}}=.2}$$

$${\displaystyle {\sqrt {30}}=5{\sqrt {1+.2}}=5\left[1+{\frac {1}{2}}(.2)^{1}-{\frac {1}{8}}(.2)^{2}+{\frac {1}{16}}(.2)^{3}-\cdots \right]\approx 5.4775}$$

Las raíces enésimas se utilizan para comprobar la convergencia de una serie de potencias con la prueba de la raíz . ^{[ 34 ]}

Todo número complejo distinto de 0 tiene n raíces n- ésimas diferentes . ^{[ 24 ]}

raíces cuadradas

Las dos raíces cuadradas de un número complejo siempre son negativas entre sí. ^{[ 40 ]} Por ejemplo, las raíces cuadradas de −4 son 2 i y −2 i , y las raíces cuadradas de i son

$${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i)\quad {\text{and}}\quad -{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).}$$

Si expresamos un número complejo en forma polar , entonces la raíz cuadrada se puede obtener tomando la raíz cuadrada del radio y dividiendo el ángulo por la mitad: ^{[ 41 ]}

$${\displaystyle {\sqrt {re^{i\theta }}}=\pm {\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}.}$$

Una raíz principal de un número complejo puede elegirse de varias maneras, por ejemplo

$${\displaystyle {\sqrt {re^{i\theta }}}={\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}}$$

que introduce un corte de rama en el plano complejo a lo largo del eje real positivo con la condición 0  ≤ θ < 2 π    , o a lo largo del eje real negativo con − π  < θ ≤ π    .

Utilizando la primera (última) rama, se corta la raíz cuadrada principal.${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {z}}}$mapas${\displaystyle \scriptstyle z}$al semiplano con parte imaginaria (real) no negativa. El último corte de rama se presupone en software matemático como Matlab o Scilab .

Raíces de la unidad

El número 1 tiene n raíces n -ésimas diferentes en el plano complejo, ^{[ 24 ]} a saber:

$${\displaystyle 1,\;\omega ,\;\omega ^{2},\;\ldots ,\;\omega ^{n-1},}$$

dónde

$${\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right).}$$

Estas raíces están espaciadas uniformemente alrededor del círculo unitario en el plano complejo, en ángulos que son múltiplos de${\displaystyle 2\pi /n}$. Por ejemplo, las raíces cuadradas de la unidad son 1 y −1, y las raíces cuartas de la unidad son 1,${\displaystyle i}$, −1 y${\displaystyle -i}$. Como resultado de esta simetría, la suma de las raíces enésimas de la unidad es igual a cero. ^{[ 42 ]}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{{\frac {2\pi i}{n}}k}=0}$$

raíces n -ésimas

Cada número complejo tiene n raíces n- ésimas diferentes en el plano complejo. ^{[ 24 ]} Estas son

$${\displaystyle \eta ,\;\eta \omega ,\;\eta \omega ^{2},\;\ldots ,\;\eta \omega ^{n-1},}$$

donde η es una única raíz n -ésima, y ​​1, ω , ω ² , ... ω ^{n −1} son las raíces n -ésimas de la unidad. Por lo tanto, dado que todas están simplemente multiplicadas por el mismo escalar η , la suma de las raíces n -ésimas es igual a cero. ^{[ 42 ]} Por ejemplo, las cuatro raíces cuartas diferentes de 2 son    

$${\displaystyle {\sqrt[{4}]{2}},\quad i{\sqrt[{4}]{2}},\quad -{\sqrt[{4}]{2}},\quad {\text{and}}\quad -i{\sqrt[{4}]{2}}.}$$

En forma polar , se puede encontrar una única raíz n -ésima a partir del teorema de Demoivre : ^{[ 43 ]}

$${\displaystyle z^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{re^{i\theta }}}={\sqrt[{n}]{r}}\cdot e^{i\theta /n}=r^{\frac {1}{n}}\cdot \left(\cos \left({\frac {\theta }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\theta }{n}}\right)\right)}$$

Aquí r es la magnitud (el módulo, también llamado valor absoluto ) del número cuya raíz se va a extraer; si el número se puede escribir como${\displaystyle a+ib}$entonces${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$. El${\displaystyle \theta }$es el ángulo formado al pivotar sobre el origen en sentido antihorario desde el eje horizontal positivo hasta un rayo que va desde el origen hasta el número; tiene las propiedades de que

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {a}{r}},\sin \theta ={\frac {b}{r}},{\text{ and }}\tan \theta ={\frac {b}{a}}.}$

Así, encontrar raíces enésimas en el plano complejo se puede dividir en dos pasos. Primero, la magnitud de todas las raíces enésimas es la raíz enésima de la magnitud del número original. Segundo, el ángulo entre el eje horizontal positivo y un rayo desde el origen hasta una de las raíces enésimas es${\displaystyle \theta /n}$, dónde${\displaystyle \theta }$es el ángulo definido de la misma manera para el número cuya raíz se está tomando. Además, todas las n raíces n -ésimas están a ángulos igualmente espaciados entre sí, como lo demuestra el teorema de la raíz n -ésima ^{[ 44 ].}

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}\cdot \left(\cos \left({\frac {\theta +2\pi k}{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\theta +2\pi k}{n}}\right)\right){\text{ for }}k=0,1,2,\ldots ,n-1.}$

Si n es par, las raíces n -ésimas de un número complejo , de las cuales hay un número par, vienen en pares inversos aditivos , de modo que si un número r ₁ es una de las raíces n -ésimas, entonces r ₂ = − r ₁ es otra. Esto se debe a que elevar el coeficiente −1 de esta última a la potencia n para n par produce 1 : es decir, (− r ₁ ) ⁿ = (−1) ⁿ × r ₁ ⁿ = r ₁ ⁿ .

Al igual que con las raíces cuadradas, la fórmula anterior no define una función continua en todo el plano complejo, sino que tiene un corte de rama en los puntos donde θ  / n es discontinuo. 

Una raíz de un polinomio${\displaystyle p(x)}$es un número${\displaystyle a}$de tal manera que${\displaystyle p(a)=0}$⁠ . Unaraíz enésima de un número ⁠${\displaystyle a}$es por definición una raíz del polinomio${\displaystyle x^{n}-a}$Los números algebraicos son aquellos que son raíces de polinomios.

La fórmula cuadrática expresa las raíces de los polinomios cuadráticos en términos de raíces cuadradas. Durante el siglo XVI, Gerolamo Cardano y otros matemáticos italianos descubrieron que, de manera similar, las raíces de los polinomios de grado 3 y 4 siempre pueden expresarse en términos de raíces n -ésimas (véase Ecuación cúbica y Ecuación cuártica ). ^{[ 45 ]}

Durante los dos siglos siguientes, se dedicó un esfuerzo considerable a la cuestión de si todo número algebraico puede expresarse en términos de radicales. En 1824, la demostración del teorema de Abel-Ruffini mostró que no existe una fórmula general para el grado 5. ^{[ 46 ]} Esto no excluyó por completo la posibilidad de expresar raíces polinómicas en términos de radicales con fórmulas que dependen de cada polinomio específico. Por ejemplo, el polinomio quíntico

${\displaystyle p(x)=(x-a_{1})(x-a_{2})(x-a_{3})(x-a_{4})(x-a_{5})=0}$

tiene raíces radicales${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{5}.}$La teoría de Galois , introducida en 1830, demostró que existen polinomios de grado 5 o superior cuyas raíces no pueden expresarse en términos de radicales, siendo el ejemplo más sencillo :${\displaystyle \textstyle x^{5}-x-1}$⁠ . ^{[ 47 ]} Véase Función quíntica §  Quinticas resolubles y teoría de Galois §  Un ejemplo de quíntica no resoluble . En resumen, los radicales no siempre son suficientes para expresar raíces polinómicas.

A pesar de este obstáculo, el teorema de Demoivre demuestra que siempre se puede extraer la raíz enésima de un número, incluso para una función quíntica.${\displaystyle x^{5}-a}$[ ^{43 ]} Los dos resultados siguientes, demostrados en el siglo XIX, resuelven problemas fundamentales sobre raíces de polinomios que se plantearon en el siglo XVII. El ^teorema fundamental del álgebra afirma que todo polinomio tiene raíces complejas . ^{[ 19 ]} Existen números, llamados números trascendentales , que no son raíces de polinomios. El número π es un ejemplo de tal número trascendental. ^{[ 48 ]}

Puede que no esté claro por qué cualquier número${\displaystyle a^{n}}$tiene n raíces en lugar de una sola raíz primaria. Para demostrar esto, para la raíz principal a de la variable x elevada a la n -ésima potencia, se cumple la siguiente relación polinómica: $${\displaystyle p(x)=x^{n}-a^{n}=0}$$ Este polinomio se puede factorizar de la siguiente manera: ^{[ 49 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}p(x)&=x^{n}-a^{n}\\&=(x-a)(x^{n-1}+ax^{n-2}+a^{2}x^{n-3}+\cdots +a^{n-1})\\&=(x-a)\left(\sum _{k=0}^{n-1}x^{n-k-1}a^{k}\right)\\\end{aligned}}}$$ Por lo tanto, el polinomio${\displaystyle p(x)}$es cero para x igual a a , o para cualquier x que resuelva la ecuación: ^{[ 50 ]}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}x^{n-k-1}a^{k}=0}$$ Según el teorema fundamental del álgebra, esta serie tiene${\displaystyle n-1}$raíces, para un total combinado de${\displaystyle n}$.

Como ejemplo, dejemos${\displaystyle n=3}$y${\displaystyle a=1}$, luego encuentra las raíces cúbicas de 1 ^{[ 51 ]}

$${\displaystyle p(x)=x^{3}-1^{3}=(x-1)(x^{2}+x^{1}+1)=0}$$

Por lo tanto, la primera raíz es${\displaystyle x=1}$y las otras dos raíces se pueden derivar utilizando la ecuación cuadrática con${\displaystyle a=b=c=1}$^{[ 52 ]}

$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-1\pm {\sqrt {1^{2}-4}}}{2}}={\frac {-1\pm i{\sqrt {3}}}{2}}}$$

Supongamos que${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$es racional. Es decir, se puede reducir a una fracción.${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$donde a y b son números enteros sin factor común.

Esto significa que${\displaystyle x={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$.

Dado que x es un número entero,${\displaystyle a^{n}}$y${\displaystyle b^{n}}$deben compartir un factor común si${\displaystyle b\neq 1}$. Esto significa que si${\displaystyle b\neq 1}$,${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$no está en su forma más simple. Por lo tanto, b debe ser igual a 1.

Desde${\displaystyle 1^{n}=1}$y${\displaystyle {\frac {n}{1}}=n}$,${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=a^{n}}$.

Esto significa que${\displaystyle x=a^{n}}$y por lo tanto,${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=a}$Esto implica que${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$es un número entero. Dado que x no es una potencia n- ésima perfecta , esto es imposible. Por lo tanto,${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$es irracional. ^{[ 25 ]}

• media geométrica
• Raíz duodécima de dos