Duodécima raíz de dos

La raíz duodécima de dos o (o equivalentemente ) es un número irracional algebraico , aproximadamente igual a 1,0594631. Es más importante en la teoría musical occidental , donde representa la relación de frecuencias ( intervalo musical ) de un semitono ( Play ^ⓘ ) en temperamento igual de doce tonos . Este número fue propuesto por primera vez en relación con la afinación musical en los siglos XVI y XVII. Permite la medición y comparación de diferentes intervalos (relaciones de frecuencia) como compuestos por diferentes números de un solo intervalo, el semitono de temperamento igual (por ejemplo, una tercera menor son 3 semitonos, una tercera mayor son 4 semitonos y una quinta perfecta son 7 semitonos). ^[a] Un semitono en sí mismo se divide en 100 cents (1 cent = ). ${\sqrt[{12}]{2}}$ ${\estilo de visualización 2^{1/12}}$ ${\sqrt[{1200}]{2}}=2^{1/1200}$

Valor numérico

La raíz duodécima de dos a 20 cifras significativas es1.059 463 094 359 295 2646 . ^[2] Las aproximaciones de fracciones en orden creciente de precisión incluyen ⁠18/17⁠ , ⁠89/84⁠ , ⁠196/185⁠ , ⁠1657/1564⁠ , y ⁠18904/17843⁠ .

La escala cromática de temperamento igual

Un intervalo musical es una relación de frecuencias y la escala cromática temperada divide la octava (que tiene una relación de 2:1) en doce partes iguales. Cada nota tiene una frecuencia que es 2 ^{1 ⁄ 12} veces la de la nota inferior. ^[3]

Aplicando este valor sucesivamente a los tonos de una escala cromática, empezando desde La por encima del Do central (conocido como La ₄ ) con una frecuencia de 440 Hz, se produce la siguiente secuencia de tonos :

La frecuencia A final (A ₅ : 880 Hz) es exactamente el doble de la frecuencia A inferior (A ₄ : 440 Hz), es decir, una octava más alta.

Otras escalas de afinación

Otras escalas de afinación utilizan relaciones de intervalo ligeramente diferentes:

La quinta perfecta justa o pitagórica es 3/2, y la diferencia entre la quinta perfecta temperada igual y la justa es un grad , la raíz duodécima de la coma pitagórica ( ¹² √ 531441/524288 ).
La escala de Bohlen-Pierce de temperamento igual utiliza el intervalo de la raíz decimotercera de tres ( ¹³ √ 3 ).
El Studie II de Stockhausen (1954) utiliza la vigésimo quinta raíz de cinco ( ²⁵ √ 5 ), una tercera mayor compuesta dividida en 5×5 partes.
La escala delta se basa en ≈ ⁵⁰ √ 3/2 .
La escala gamma se basa en ≈ ²⁰ √ 3/2 .
La escala beta se basa en ≈ ¹¹ √ 3/2 .
La escala alfa se basa en ≈ ⁹ √ 3/2 .

Ajuste de tono

Dado que la relación de frecuencia de un semitono es cercana al 106% ( ), aumentar o disminuir la velocidad de reproducción de una grabación en un 6% cambiará el tono hacia arriba o hacia abajo en aproximadamente un semitono, o "medio paso". Las grabadoras de cinta magnética de carrete a carrete de alta gama suelen tener ajustes de tono de hasta ±6%, generalmente utilizados para hacer coincidir el tono de reproducción o grabación con otras fuentes de música que tienen afinaciones ligeramente diferentes (o posiblemente grabadas en equipos que no funcionaban a la velocidad correcta). Los estudios de grabación modernos utilizan el cambio de tono digital para lograr resultados similares, que van desde centésimas hasta varios medios pasos. Los ajustes de carrete a carrete también afectan el tempo del sonido grabado, mientras que el cambio digital no. $1.05946\times 100=105.946$

Historia

Históricamente, este número fue propuesto por primera vez en relación con la afinación musical en 1580 (borrador, reescrito en 1610) por Simon Stevin . ^[4] En 1581, el músico italiano Vincenzo Galilei puede ser el primer europeo en sugerir el temperamento igual de doce tonos. ^[1] La raíz duodécima de dos fue calculada por primera vez en 1584 por el matemático y músico chino Zhu Zaiyu usando un ábaco para alcanzar veinticuatro decimales con precisión, ^[1] calculada alrededor de 1605 por el matemático flamenco Simon Stevin , ^[1] en 1636 por el matemático francés Marin Mersenne y en 1691 por el músico alemán Andreas Werckmeister . ^[5]

Véase también

Notas

^ "El intervalo más pequeño en una escala de temperamento igual es la razón , por lo tanto , donde la razón r divide la razón p (= 2/1 en una octava) en n partes iguales". ^[1] $r^{n}=p$ $r={\sqrt[{n}]{p}}$

Referencias

^ abcd Joseph, George Gheverghese (2010). La cresta del pavo real : raíces no europeas de las matemáticas , pág. 294-5. Tercera edición. Princeton. ISBN 9781400836369 .
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A010774 (Expansión decimal de la raíz 12 de 2)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
^ "Temperamento igual | Definición y hechos | Britannica". www.britannica.com . Consultado el 3 de junio de 2024 .
^ Christensen, Thomas (2002), La historia de Cambridge de la teoría musical occidental, pág. 205, ISBN 978-0521686983
^ Goodrich, L. Carrington (2013). Una breve historia del pueblo chino , ^{[sin paginar]} . Courier. ISBN 9780486169231 . Cita: Chu Tsai-yü (1584). Nuevas observaciones sobre el estudio de los tubos resonantes .

Lectura adicional

Barbour, JM (1933). "Una aproximación china del siglo XVI para $π$ ". American Mathematical Monthly . 40 (2): 69–73. doi :10.2307/2300937. JSTOR 2300937.
Ellis, Alexander ; Helmholtz, Hermann (1954). Sobre las sensaciones del tono . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-60753-4.
Partch, Harry (1974). Génesis de una música . Da Capo Press. ISBN 0-306-80106-X.

[2] "El intervalo más pequeño en una escala de temperamento igual es la razón , por lo tanto , donde la razón r divide la razón p (= 2/1 en una octava) en n partes iguales". ^[1] $r^{n}=p$ $r={\sqrt[{n}]{p}}$

[Crest-1] Joseph, George Gheverghese (2010). La cresta del pavo real : raíces no europeas de las matemáticas , pág. 294-5. Tercera edición. Princeton. ISBN 9781400836369 .

[3] Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A010774 (Expansión decimal de la raíz 12 de 2)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.

[4] "Temperamento igual | Definición y hechos | Britannica". www.britannica.com . Consultado el 3 de junio de 2024 .

[5] Christensen, Thomas (2002), La historia de Cambridge de la teoría musical occidental, pág. 205, ISBN 978-0521686983

[6] Goodrich, L. Carrington (2013). Una breve historia del pueblo chino , ^{[sin paginar]} . Courier. ISBN 9780486169231 . Cita: Chu Tsai-yü (1584). Nuevas observaciones sobre el estudio de los tubos resonantes .