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Articulo de referencia

coma pitagórica

{ \\magnifyStaff #3/2 \\omit Score.TimeSignature \\relative c' 1\n} }}Pythagorean comma on C using [[Ben Johnston notation|Ben Johnston's notation]]. The note depicted as lower ...

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Coma pitagórica (531441:524288) en C
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Coma pitagórica en C usando la notación de Ben Johnston . La nota representada más abajo en el pentagrama (B ♯ +++ ) es ligeramente más aguda en tono (que C ♮ ).
La coma pitagórica ( PC ) se define en la afinación pitagórica como la diferencia entre semitonos (A1  –  m2), o intervalo entre notas enarmónicamente equivalentes (de D ♭ a C ♯ ). La segunda disminuida tiene la misma amplitud pero una dirección opuesta (de C ♯ a D ♭ ).

En la afinación musical , la coma pitagórica (o coma ditónica [ a ] ), que recibe su nombre del antiguo matemático y filósofo Pitágoras , es el pequeño intervalo (o coma ) que existe en la afinación pitagórica entre dos notas enarmónicamente equivalentes, como Do y Si♯ , o Re ♭ y Do♯ . [ 1 ] Es igual a la relación de frecuencias (1,5) 12 / 2 7 = 531441 / 524288 ≈ 1,01364, o aproximadamente 23,46 cents , aproximadamente un cuarto de semitono (entre 75:74 y 74:73 [ 2 ] ). La coma que los temperamentos musicales suelen «temperar» es la coma pitagórica. [ 3 ]

La coma pitagórica también puede definirse como la diferencia entre un apotoma pitagórico y un limma pitagórico [ 4 ] (es decir, entre un semitono cromático y uno diatónico , según se determina en la afinación pitagórica); la diferencia entre doce quintas justas y siete octavas ; o la diferencia entre tres ditones pitagóricos y una octava. (Por eso la coma pitagórica también se denomina coma ditónica ).

La segunda disminuida , en la afinación pitagórica, se define como la diferencia entre limma y apotome. Por lo tanto, coincide con el opuesto de una coma pitagórica y puede considerarse como una coma pitagórica descendente (por ejemplo, de C♯ a D ♭ ), equivalente a aproximadamente -23,46 cents.

Derivación

Como se describe en la introducción, la coma pitagórica puede derivarse de múltiples maneras:

Una quinta justa tiene una relación de frecuencias de 3:2. Se utiliza en la afinación pitagórica, junto con la octava, como referencia para definir, con respecto a una nota inicial dada, la frecuencia de cualquier otra nota.

Apotome y limma son los dos tipos de semitonos definidos en la afinación pitagórica. Es decir, el apotome (aproximadamente 113,69 cents, por ejemplo, de C a C ♯ ) es el semitono cromático o unísono aumentado (A1), mientras que el limma (aproximadamente 90,23 cents, por ejemplo, de C a D ♭ ) es el semitono diatónico o segunda menor (m2).

Un ditono (o tercera mayor ) es un intervalo formado por dos tonos mayores . En la afinación pitagórica, un tono mayor tiene una amplitud de aproximadamente 203,9 cents (relación de frecuencia 9:8), por lo que un ditono pitagórico tiene una amplitud de aproximadamente 407,8 cents.

Tamaño

La coma pitagórica, representada por el hueco (a la derecha), impide que una estrella de doce puntas se cierre. Esta estrella representa la escala pitagórica; cada línea representa una quinta justa. Dicho hueco tiene un ángulo central de 7,038 grados, que equivale al 23,46 % de 30 grados.

El tamaño de una coma pitagórica, medido en centavos , es

apotoma−limma≈113,69−90.23≈23.46 centavos{\displaystyle {\hbox{apotome}}-{\hbox{limma}}\approx 113.69-90.23\approx 23.46~{\hbox{cents}}\!}

o, más exactamente, en términos de relaciones de frecuencia :

apotomalimma=37/21128/35=312219=531441524288=1.0136432647705078125{\displaystyle {\frac {\hbox{apotome}}{\hbox{limma}}}={\frac {3^{7}/2^{11}}{2^{8}/3^{5}}}={\frac {3^{12}}{2^{19}}}={\frac {531441}{524288}}=1.0136432647705078125\!}

Círculo de quintas y cambio enarmónico

p = \markup { \lower #1 "+" } pps = \markup { \concat { \lower #1 "++" \sharp }} ppps = \markup { \concat { \lower #1 "+++" \sharp }} \new PianoStaff \with { \override Accidental.stencil = #ly:text-interface::print \override StaffGrouper.staff-staff-spacing.basic-distance = #15 \omit TimeSignature } << \new Staff \with{ \magnifyStaff #3/2 } {\relative c' \tweak AccidentalPlacement.positioning-done ##f <\tweak Accidental.text \pps \tweak Accidental.X-offset #-10.75 fis \tweak Accidental.text \pps \tweak Accidental.X-offset #-6 cis' \tweak Accidental.text \pps \tweak Accidental.X-offset #-10.75 gis' \tweak Accidental.text \pps \tweak Accidental.X-offset #-6 dis' \tweak Accidental.text \ppps \tweak Accidental.X-offset #-14.75 ais' \tweak Accidental.text \ppps \tweak Accidental.X-offset #-8 eis'>1 } \new Staff \with{ \magnifyStaff #3/2 } {\relative c,, {\clef bass <c g' d' \tweak Accidental.text \p ais' \tweak Accidental.text \p eis' \tweak Accidental.text \p bis'>1 } } >> \paper {tagline=##f}
La coma pitagórica como doce quintas perfectas justamente afinadas en la notación de Ben Johnston.

La coma pitagórica también puede entenderse como la discrepancia entre 12 quintas perfectas afinadas correctamente (relación 3:2) y siete octavas (relación 2:1):

doce quintossiete octavas=(32)12/27=312219=531441524288=1.0136432647705078125{\displaystyle {\frac {\hbox{doce quintas}}{\hbox{siete octavas}}}=\left({\tfrac {3}{2}}\right)^{12}\!\!{\Big /}\,2^{7}={\frac {3^{12}}{2^{19}}}={\frac {531441}{524288}}=1.0136432647705078125\!}

En la siguiente tabla de escalas musicales en el círculo de quintas , la coma pitagórica se observa como el pequeño intervalo entre, por ejemplo, F♯ y G ♭ . Recorrer el círculo de quintas solo con intervalos da como resultado una coma que se activa mediante la coma pitagórica.

Las escalas 6 ♭ y 6 ♯ [ i ] no son idénticas —aunque estén en el teclado del piano— , pero las escalas ♭ son una coma pitagórica más bajas. Ignorar esta diferencia conduce a un cambio enarmónico .

  1. ↑ Las escalas 7 ♭ y 5 ♯ , respectivamente 5 ♭ y 7 ♯ , difieren de la misma manera por una coma pitagórica. Las escalas con siete alteraciones rara vez se usan, [ 5 ] porque las escalas enarmónicas con cinco alteraciones se tratan como equivalentes.

Este intervalo tiene serias implicaciones para los distintos sistemas de afinación de la escala cromática , ya que en la música occidental, doce quintas perfectas y siete octavas se consideran el mismo intervalo. El temperamento igual , actualmente el sistema de afinación más común en Occidente, resolvió este problema rebajando cada quinta una doceava parte de una coma pitagórica (aproximadamente dos centésimas), produciendo así octavas perfectas.

Otra forma de expresarlo es que la quinta justa tiene una relación de frecuencia (en comparación con la tónica) de 3:2 o 1,5 a 1, mientras que el séptimo semitono (basado en 12 divisiones logarítmicas iguales de una octava) es la séptima potencia de la raíz duodécima de dos o 1,4983... a 1, lo cual no es exactamente lo mismo (una diferencia de aproximadamente 0,1%). Si elevamos la quinta justa a la duodécima potencia y luego restamos siete octavas, obtenemos la coma pitagórica (una diferencia de aproximadamente 1,4%).

Historia

El primero en mencionar la proporción de la coma de 531441:524288 fue Euclides , quien toma como base el tono entero de la afinación pitagórica con una proporción de 9:8, la octava con una proporción de 2:1 y un número A = 262144. Concluye que elevar este número en seis tonos enteros produce un valor, G, que es mayor que el que se obtiene al elevarlo en una octava (dos veces A). Da a G el valor de 531441. [ 6 ] Los cálculos necesarios son:

Cálculo de G:

262144⋅(98)6=531441{\displaystyle 262144\cdot \left(\textstyle {\frac {9}{8}}\right)^{6}=531441}

Cálculo del doble de A:

262144⋅(21)1=524288{\displaystyle 262144\cdot \left(\textstyle {\frac {2}{1}}\right)^{1}=524288}

Los matemáticos chinos conocían la coma pitagórica ya en el año 122 a. C. (su cálculo se detalla en el Huainanzi ), y hacia el año 50 a. C., Jing Fang descubrió que si el ciclo de quintas perfectas se extendía más allá de 12 hasta 53, la diferencia entre esta nota número 53 y la nota inicial sería mucho menor que la coma pitagórica. Este intervalo mucho menor se denominó posteriormente coma de Mercator ( véase: historia del temperamento igual de 53 ).

En el concepto cromático lidio de organización tonal de George Russell (1953), el semitono entre la tónica lidia y el ♭ 2 en sus escalas de blues mayores y menores disminuidas auxiliares alteradas se basa teóricamente en la coma pitagórica. [ 7 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ No confundir con la coma diatónica, más conocida como coma sintónica , equivalente a la relación de frecuencias 81:80, o alrededor de 21,51 cents. Véase: Johnston, Ben (2006). «Maximum Clarity» and Other Writings on Music , editado por Bob Gilmore . Urbana: University of Illinois Press. ISBN 0-252-03098-2.

Referencias

  1. ↑ Apel, Willi (1969). Diccionario Harvard de Música , pág. 188. ISBN 978-0-674-37501-7"...la diferencia entre los dos semitonos de la escala pitagórica..."
  2. ^ Ginsburg, Jekuthiel (2003). Scripta Mathematica , pág. 287.ISBN​ 978-0-7661-3835-3.
  3. ↑ Coyne, Richard (2010). The Tuning of Place: Sociable Spaces and Pervasive Digital Media , p. 45. ISBN 978-0-262-01391-8.
  4. ↑ Kottick, Edward L. (1992). The Keypsichord Owner's Guide , p. 151. ISBN 0-8078-4388-1.
  5. ↑ "Resumen completo de composiciones con siete alteraciones" , Ulrich Reinhardt
  6. ↑ Euclides : Katatome kanonos (lat. Sectio canonis ). Trad. inglesa en: Andrew Barker (ed.): Greek Musical Writings. Vol. 2: Harmonic and Acoustic Theory , Cambridge, Massachusetts: Cambridge University Press, 2004, pp. 190–208, aquí: p. 199.
  7. ↑ Russell, George (2001) [1953]. El concepto cromático lidio de organización tonal de George Russell. Volumen uno: El arte y la ciencia de la gravedad tonal (Cuarta edición (segunda impresión, corregida, 2008)). Brookline, Massachusetts: Concept Publishing Company. págs. 17, 57-59. ISBN 0-9703739-0-2.