Sistema no lineal

En matemáticas y ciencias , un sistema no lineal (o sistema no lineal ) es un sistema en el que el cambio de la salida no es proporcional al cambio de la entrada. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Los problemas no lineales son de interés para ingenieros , biólogos , ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} físicos , ^{[ 6 ] [ 7 ]} matemáticos y muchos otros científicos , ya que la mayoría de los sistemas son inherentemente no lineales por naturaleza. ^{[ 8 ]} Los sistemas dinámicos no lineales , que describen cambios en variables a lo largo del tiempo, pueden parecer caóticos, impredecibles o contraintuitivos, en contraste con sistemas lineales mucho más simples .

Generalmente, el comportamiento de un sistema no lineal se describe en matemáticas mediante un sistema de ecuaciones no lineales , que es un conjunto de ecuaciones simultáneas en las que las incógnitas (o las funciones desconocidas en el caso de ecuaciones diferenciales ) aparecen como variables de un polinomio de grado superior a uno o en el argumento de una función que no es un polinomio de grado uno. En otras palabras, en un sistema de ecuaciones no lineales, la(s) ecuación(es) a resolver no pueden escribirse como una combinación lineal de las variables o funciones desconocidas que aparecen en ellas. Los sistemas pueden definirse como no lineales, independientemente de si aparecen funciones lineales conocidas en las ecuaciones. En particular, una ecuación diferencial es lineal si es lineal en términos de la función desconocida y sus derivadas, aunque sea no lineal en términos de las demás variables que aparecen en ella.

Dado que las ecuaciones dinámicas no lineales son difíciles de resolver, los sistemas no lineales se suelen aproximar mediante ecuaciones lineales ( linealización ). Esto funciona bien hasta cierto grado de precisión y rango para los valores de entrada, pero algunos fenómenos interesantes como los solitones , ^el caos [ ^{9 ]} y las singularidades quedan ocultos por la linealización. Por consiguiente, algunos aspectos del comportamiento dinámico de un sistema no lineal pueden parecer contraintuitivos, impredecibles o incluso caóticos. Aunque dicho comportamiento caótico pueda asemejarse al aleatorio , en realidad no lo es. Por ejemplo, algunos aspectos del clima se consideran caóticos, donde cambios simples en una parte del sistema producen efectos complejos en todo él. Esta no linealidad es una de las razones por las que las predicciones precisas a largo plazo son imposibles con la tecnología actual.

Algunos autores utilizan el término ciencia no lineal para el estudio de sistemas no lineales. Otros, en cambio, cuestionan este término:

Utilizar un término como ciencia no lineal es como referirse a la mayor parte de la zoología como el estudio de animales que no son elefantes.

En matemáticas , una aplicación lineal (o función lineal )${\displaystyle f(x)}$es aquel que satisface ambas propiedades siguientes:

• Principio de aditividad o superposición :${\displaystyle \textstyle f(x+y)=f(x)+f(y);}$
• Homogeneidad:${\displaystyle \textstyle f(\alpha x)=\alpha f(x).}$

La aditividad implica homogeneidad para cualquier α racional y, para funciones continuas , para cualquier α real . Para un α complejo , la homogeneidad no se deduce de la aditividad. Por ejemplo, una aplicación antilineal es aditiva pero no homogénea. Las condiciones de aditividad y homogeneidad se combinan a menudo en el principio de superposición. $${\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)}$$

Una ecuación escrita como $${\displaystyle f(x)=C}$$

se llama lineal si${\displaystyle f(x)}$es una aplicación lineal (como se definió anteriormente) y no lineal en caso contrario. La ecuación se denomina homogénea si${\displaystyle C=0}$y${\displaystyle f(x)}$es una función homogénea .

La definición${\displaystyle f(x)=C}$es muy general en ese sentido${\displaystyle x}$puede ser cualquier objeto matemático sensible (número, vector, función, etc.), y la función${\displaystyle f(x)}$puede ser literalmente cualquier mapeo , incluyendo integración o diferenciación con restricciones asociadas (como valores límite ). Si${\displaystyle f(x)}$contiene diferenciación con respecto a${\displaystyle x}$, el resultado será una ecuación diferencial .

Un sistema de ecuaciones no lineales consiste en un conjunto de ecuaciones con varias variables, de modo que al menos una de ellas no es una ecuación lineal .

Para una sola ecuación de la forma${\displaystyle f(x)=0,}$Se han diseñado muchos métodos; véase Algoritmo de búsqueda de raíces . En el caso de que f sea un polinomio , se tiene una ecuación polinómica como por ejemplo: ${\displaystyle x^{2}+x-1=0.}$Los algoritmos generales para encontrar raíces se aplican a las raíces de polinomios, pero, por lo general, no encuentran todas las raíces, y cuando no encuentran una raíz, esto no implica que no existan raíces. Los métodos específicos para polinomios permiten encontrar todas las raíces o las raíces reales ; véase el apartado de aislamiento de raíces reales .

Resolver sistemas de ecuaciones polinómicas , es decir, encontrar las raíces comunes de un conjunto de varios polinomios en varias variables, es un problema difícil para el cual se han diseñado algoritmos elaborados, como los algoritmos de base de Gröbner . ^{[ 11 ]}

Para el caso general de un sistema de ecuaciones formado al igualar a cero varias funciones diferenciables , el método principal es el método de Newton y sus variantes. Generalmente, estos métodos pueden proporcionar una solución, pero no ofrecen información sobre el número de soluciones.

Una relación de recurrencia no lineal define los términos sucesivos de una secuencia como una función no lineal de los términos precedentes. Ejemplos de relaciones de recurrencia no lineales son el mapa logístico y las relaciones que definen las diversas secuencias de Hofstadter . Los modelos discretos no lineales que representan una amplia clase de relaciones de recurrencia no lineales incluyen el modelo NARMAX (Media Móvil Autorregresiva No Lineal con Entradas Exógenas) y los procedimientos relacionados de identificación y análisis de sistemas no lineales. ^{[ 12 ]} Estos enfoques pueden utilizarse para estudiar una amplia clase de comportamientos no lineales complejos en los dominios temporal, frecuencial y espaciotemporal.

Se dice que un sistema de ecuaciones diferenciales es no lineal si no es un sistema de ecuaciones lineales . Los problemas que involucran ecuaciones diferenciales no lineales son extremadamente diversos, y los métodos de solución o análisis dependen del problema en cuestión. Ejemplos de ecuaciones diferenciales no lineales son las ecuaciones de Navier-Stokes en dinámica de fluidos y las ecuaciones de Lotka-Volterra en biología.

Una de las mayores dificultades de los problemas no lineales radica en que, por lo general, no es posible combinar soluciones conocidas para obtener nuevas soluciones. En problemas lineales, por ejemplo, una familia de soluciones linealmente independientes puede utilizarse para construir soluciones generales mediante el principio de superposición . Un buen ejemplo de esto es el transporte de calor unidimensional con condiciones de contorno de Dirichlet , cuya solución puede expresarse como una combinación lineal dependiente del tiempo de sinusoides de diferentes frecuencias; esto confiere gran flexibilidad a las soluciones. Si bien a menudo es posible encontrar varias soluciones muy específicas para ecuaciones no lineales, la ausencia de un principio de superposición impide la construcción de nuevas soluciones.

Péndula

Un problema no lineal clásico y ampliamente estudiado es la dinámica de un péndulo sin fricción bajo la influencia de la gravedad . Utilizando la mecánica lagrangiana , se puede demostrar ^{[ 14 ]} que el movimiento de un péndulo se puede describir mediante la ecuación no lineal adimensional .$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sin(\theta )=0}$$

donde la gravedad apunta "hacia abajo" y${\displaystyle \theta }$es el ángulo que forma el péndulo con su posición de reposo, como se muestra en la figura de la derecha. Un método para "resolver" esta ecuación es utilizar${\displaystyle d\theta /dt}$como factor integrante , que eventualmente produciría $${\displaystyle \int {\frac {d\theta }{\sqrt {C_{0}+2\cos(\theta )}}}=t+C_{1}}$$

que es una solución implícita que involucra una integral elíptica . Esta "solución" generalmente no tiene muchos usos porque la mayor parte de la naturaleza de la solución está oculta en la integral no elemental (no elemental a menos que${\displaystyle C_{0}=2}$).

Otra forma de abordar el problema es linealizar cualquier no linealidad (el término de la función seno en este caso) en los distintos puntos de interés mediante expansiones de Taylor . Por ejemplo, la linealización en${\displaystyle \theta =0}$, llamada aproximación de ángulo pequeño, es $${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\theta =0}$$

desde${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$para${\displaystyle \theta \approx 0}$. Este es un oscilador armónico simple que corresponde a las oscilaciones del péndulo cerca del punto más bajo de su trayectoria. Otra linealización sería en${\displaystyle \theta =\pi }$, lo que corresponde a que el péndulo esté completamente vertical: $${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\pi -\theta =0}$$

desde${\displaystyle \sin(\theta )\approx \pi -\theta }$para${\displaystyle \theta \approx \pi }$La solución a este problema involucra sinusoides hiperbólicas , y tenga en cuenta que, a diferencia de la aproximación de ángulo pequeño, esta aproximación es inestable, lo que significa que${\displaystyle |\theta |}$Por lo general, crecerá sin límite, aunque existen soluciones acotadas. Esto se corresponde con la dificultad de mantener un péndulo en posición vertical; se trata, literalmente, de un estado inestable.

Otra linealización interesante es posible alrededor de${\displaystyle \theta =\pi /2}$, alrededor del cual${\displaystyle \sin(\theta )\approx 1}$: $${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+1=0.}$$

Esto corresponde a un problema de caída libre. Se puede obtener una representación cualitativa muy útil de la dinámica del péndulo mediante la combinación de dichas linealizaciones, como se muestra en la figura de la derecha. Se pueden utilizar otras técnicas para hallar diagramas de fase (exactos) y periodos aproximados.

• Muerte de amplitud : cualquier oscilación presente en el sistema cesa debido a algún tipo de interacción con otro sistema o retroalimentación del mismo sistema.
• Caos : los valores de un sistema no se pueden predecir indefinidamente en el futuro, y las fluctuaciones son aperiódicas.
• Multiestabilidad : presencia de dos o más estados estables.
• Solitones : ondas solitarias que se refuerzan a sí mismas
• Ciclos límite : órbitas periódicas asintóticas hacia las que se sienten atraídos los puntos fijos desestabilizados.
• Autooscilaciones : oscilaciones de retroalimentación que tienen lugar en sistemas físicos disipativos abiertos.

• Programa de Investigación de Mando y Control (CCRP)
• Instituto de Sistemas Complejos de Nueva Inglaterra: Conceptos en Sistemas Complejos
• Dinámica no lineal I: El caos en OpenCourseWare del MIT
• Biblioteca de modelos no lineales archivada el 19/12/2008 en Wayback Machine – (en MATLAB ) una base de datos de sistemas físicos 
• El Centro de Estudios No Lineales del Laboratorio Nacional de Los Alamos