Función quíntica

En matemáticas , una función quíntica es una función de la forma

g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f,\,

donde $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ y $f$ son elementos de un cuerpo , típicamente los números racionales , los números reales o los números complejos , y $a$ es distinto de cero. En otras palabras, una función quíntica se define mediante un polinomio de grado cinco.

Debido a que tienen un grado impar, las funciones quínticas normales se parecen a las funciones cúbicas normales cuando se grafican, excepto que pueden tener un máximo local adicional y un mínimo local adicional. La derivada de una función quíntica es una función cuártica .

Si se establece $g (x) = 0$ y se supone $que a \neq 0,$ se obtiene una ecuación quíntica de la forma:

ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0.\,

Resolver ecuaciones quínticas en términos de radicales ( raíces n -ésimas) fue un problema importante en álgebra desde el siglo XVI, cuando se resolvieron ecuaciones cúbicas y cuárticas , hasta la primera mitad del siglo XIX, cuando se demostró la imposibilidad de tal solución general con el teorema de Abel-Ruffini .

Cómo hallar las raíces de un polinomio de quinto grado.

Hallar las raíces (ceros) de un polinomio dado ha sido un problema matemático destacado.

Siempre es posible resolver ecuaciones lineales , cuadráticas , cúbicas y cuárticas en términos de radicales y operaciones aritméticas elementales sobre los coeficientes, independientemente de si las raíces son racionales o irracionales , reales o complejas; existen fórmulas que proporcionan las soluciones requeridas. Sin embargo, no existe una expresión algebraica (es decir, en términos de radicales) para las soluciones de ecuaciones quínticas generales sobre los racionales; esta afirmación se conoce como el teorema de Abel-Ruffini , enunciado por primera vez en 1799 y demostrado completamente en 1824. Este resultado también es válido para ecuaciones de grado superior. Un ejemplo de una $ecuación$ quíntica cuyas raíces no pueden expresarse en términos de radicales es $x⁵$ $-$ $x$ $+ 1 = 0$ .

Las raíces de polinomios de quinto grado pueden calcularse mediante algoritmos de búsqueda de raíces para polinomios . Si bien algunos polinomios de quinto grado pueden resolverse en términos de radicales, la solución suele ser demasiado compleja para su uso práctico.

quíntuples resolubles

Algunas ecuaciones quínticas pueden resolverse en términos de radicales. Estas incluyen las ecuaciones quínticas definidas por un polinomio reducible , como $x⁵ - x⁴ - x + 1 = ($ ^x² $+$ $1$ $)($ $x$ $+ 1)($ $x$ $- 1)$ $²$ $.$ Por ejemplo, se ha demostrado ^{[ 1} $]$ que

x^{5}-x-r=0

tiene soluciones en radicales si y solo si tiene una solución entera o r es uno de ±15, ±22440 o ±2759640, en cuyo caso el polinomio es reducible.

Dado que la resolución de ecuaciones quínticas reducibles se reduce inmediatamente a la resolución de polinomios de menor grado, en el resto de esta sección solo se consideran ecuaciones quínticas irreducibles, y el término "quíntica" se referirá únicamente a las quínticas irreducibles. Por lo tanto, una ecuación quíntica resoluble es un polinomio quíntico irreducible cuyas raíces pueden expresarse en términos de radicales.

Para caracterizar los polinomios quínticos resolubles, y más generalmente los polinomios resolubles de grado superior, Évariste Galois desarrolló técnicas que dieron origen a la teoría de grupos y la teoría de Galois . Aplicando estas técnicas, Arthur Cayley encontró un criterio general para determinar si un polinomio quíntico dado es resoluble. ^{[ 2 ]} Este criterio es el siguiente. ^{[ 3 ]}

Dada la ecuación

ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0,

La transformación de Tschirnhaus $x = y - ⁠ b / 5 a ⁠$ , que deprime el término quíntico (es decir, elimina el término de cuarto grado), da como resultado la ecuación

y^{5}+py^{3}+qy^{2}+ry+s=0,

dónde

{\begin{aligned}p&={\frac {5ac-2b^{2}}{5a^{2}}}\\[4pt]q&={\frac {25a^{2}d-15abc+4b^{3}}{25a^{3}}}\\[4pt]r&={\frac {125a^{3}e-50a^{2}bd+15ab^{2}c-3b^{4}}{125a^{4}}}\\[4pt]s&={\frac {3125a^{4}f-625a^{3}be+125a^{2}b^{2}d-25ab^{3}c+4b^{5}}{3125a^{5}}}\end{aligned}}

Ambas ecuaciones quínticas son resolubles por radicales si y solo si son factorizables en ecuaciones de grados inferiores con coeficientes racionales o en el polinomio $P 2 - 1024 z Δ$ , llamadoLa resolvente de Cayley tiene una raíz racional en $z$ , donde

{\begin{aligned}P={}&z^{3}-z^{2}(20r+3p^{2})-z(8p^{2}r-16pq^{2}-240r^{2}+400sq-3p^{4})\\[4pt]&-p^{6}+28p^{4}r-16p^{3}q^{2}-176p^{2}r^{2}-80p^{2}sq+224prq^{2}-64q^{4}\\[4pt]&+4000ps^{2}+320r^{3}-1600rsq\end{aligned}}

y

{\begin{aligned}\Delta ={}&-128p^{2}r^{4}+3125s^{4}-72p^{4}qrs+560p^{2}qr^{2}s+16p^{4}r^{3}+256r^{5}+108p^{5}s^{2}\\[4pt]&-1600qr^{3}s+144pq^{2}r^{3}-900p^{3}rs^{2}+2000pr^{2}s^{2}-3750pqs^{3}+825p^{2}q^{2}s^{2}\\[4pt]&+2250q^{2}rs^{2}+108q^{5}s-27q^{4}r^{2}-630pq^{3}rs+16p^{3}q^{3}s-4p^{3}q^{2}r^{2}.\end{aligned}}

El resultado de Cayley nos permite comprobar si una ecuación quíntica es resoluble. En caso afirmativo, hallar sus raíces es un problema más complejo, que consiste en expresar las raíces en términos de radicales que involucran los coeficientes de la ecuación quíntica y la raíz racional de la resolvente de Cayley.

En 1888, George Paxton Young describió cómo resolver una ecuación quíntica resoluble, sin proporcionar una fórmula explícita; ^{[ 4 ]} en 2004, Daniel Lazard escribió una fórmula de tres páginas. ^{[ 5 ]}

Quintas en forma Bring-Jerrard

Existen varias representaciones paramétricas de ecuaciones quínticas resolubles de la forma $x 5 + ax + b = 0$ , denominadas forma de Bring-Jerrard .

Durante la segunda mitad del siglo XIX, John Stuart Glashan, George Paxton Young y Carl Runge dieron una parametrización de este tipo: una ecuación quíntica irreducible con coeficientes racionales en forma de Bring-Jerrard es resoluble si y solo si $a = 0$ o puede escribirse

x^{5}+{\frac {5\mu ^{4}(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}x+{\frac {4\mu ^{5}(2\nu +1)(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}=0

donde $μ$ y $ν$ son racionales.

En 1994, Blair Spearman y Kenneth S. Williams dieron una alternativa,

x^{5}+{\frac {5e^{4}(4c+3)}{c^{2}+1}}x+{\frac {-4e^{5}(2c-11)}{c^{2}+1}}=0.

La relación entre las parametrizaciones de 1885 y 1994 se puede observar definiendo la expresión

b={\frac {4}{5}}\left(a+20\pm 2{\sqrt {(20-a)(5+a)}}\right)

donde $a=5{\tfrac {4\nu +3}{\nu ^{2}+1}}$ ⁠ . El uso del caso negativo de la raíz cuadrada produce, después de escalar las variables, la primera parametrización, mientras que el caso positivo da la segunda.

La sustitución $c=-{\tfrac {m}{\ell ^{5}}},$ ⁠ ⁠ $e={\tfrac {1}{\ell }}$ En la parametrización de Spearman-Williams no se puede excluir el caso especial $a = 0$ , lo que da como resultado lo siguiente:

Si $a$ y $b$ son números racionales, la ecuación $x 5 + ax + b = 0$ es resoluble por radicales si su lado izquierdo es un producto de polinomios de grado menor que 5 con coeficientes racionales o existen dos números racionales ℓ y $m$ tales que

a={\frac {5\ell (3\ell ^{5}-4m)}{m^{2}+\ell ^{10}}}\qquad b={\frac {4(11\ell ^{5}+2m)}{m^{2}+\ell ^{10}}}.

Raíces de un quíntico resoluble

Una ecuación polinómica es resoluble por radicales si su grupo de Galois es un grupo resoluble . En el caso de quínticos irreducibles, el grupo de Galois es un subgrupo del grupo simétrico $S 5$ de todas las permutaciones de un conjunto de cinco elementos, que es resoluble si y solo si es un subgrupo del grupo $F 5$ , de orden $20$ , generado por las permutaciones cíclicas $(1 2 3 4 5)$ y $(1 2 4 3)$ .

Si la ecuación quíntica es resoluble, una de las soluciones puede representarse mediante una expresión algebraica que involucra una raíz quinta y como máximo dos raíces cuadradas, generalmente anidadas . Las otras soluciones pueden obtenerse cambiando la raíz quinta o multiplicando todas las ocurrencias de la raíz quinta por la misma potencia de una raíz quinta primitiva de la unidad , como

e^{i{\frac {2\pi }{5}}}={\frac {{\sqrt {-10-2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-1}{4}}.

De hecho, las cuatro raíces quintas primitivas de la unidad se pueden obtener cambiando los signos de las raíces cuadradas adecuadamente; es decir, la expresión

{\frac {\alpha {\sqrt {-10-2\beta {\sqrt {5}}}}+\beta {\sqrt {5}}-1}{4}},

dónde $\alpha ,\beta \in \{-1,1\}$ , produce las cuatro raíces quintas primitivas distintas de la unidad.

De ello se deduce que puede ser necesario utilizar cuatro raíces cuadradas diferentes para escribir todas las raíces de una ecuación quíntica resoluble. Incluso para la primera raíz, que involucra como máximo dos raíces cuadradas, la expresión de las soluciones en términos de radicales suele ser muy complicada. Sin embargo, cuando no se necesita ninguna raíz cuadrada, la forma de la primera solución puede ser bastante simple, como en el caso de la ecuación $x⁵$ $-$ $5x⁴ + 30x³ - 50x² + 55x - 21 = 0, para la cual$ la única solución real es

x=1+{\sqrt[{5}]{2}}-\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{2}+\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{3}-\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{4}.

Un ejemplo de una solución más complicada (aunque lo suficientemente pequeña como para escribirla aquí) es la única raíz real de $x 5 - 5 x + 12 = 0.$ Sea $a = \sqrt 2 φ -1$ , $b = \sqrt 2 φ$ , y $c = 4 \sqrt 5$ , donde $φ = ⁠ 1+ \sqrt 5 / 2 ⁠$ es la proporción áurea . Entonces, la única solución real $x = -1.84208...$ está dada por

-cx={\sqrt[{5}]{(a+c)^{2}(b-c)}}+{\sqrt[{5}]{(-a+c)(b-c)^{2}}}+{\sqrt[{5}]{(a+c)(b+c)^{2}}}-{\sqrt[{5}]{(-a+c)^{2}(b+c)}}\,,

o, equivalentemente, por

x={\sqrt[{5}]{y_{1}}}+{\sqrt[{5}]{y_{2}}}+{\sqrt[{5}]{y_{3}}}+{\sqrt[{5}]{y_{4}}}\,,

donde las $y i$ son las cuatro raíces de la ecuación cuártica

y^{4}+4y^{3}+{\frac {4}{5}}y^{2}-{\frac {8}{5^{3}}}y-{\frac {1}{5^{5}}}=0\,.

De forma más general, si una ecuación $P (x) = 0$ de grado primo $p$ con coeficientes racionales es resoluble en radicales, entonces se puede definir una ecuación auxiliar $Q (y) = 0$ de grado $p - 1$ , también con coeficientes racionales, de tal manera que cada raíz de $P$ sea la suma de las raíces $p$ -ésimas de las raíces de $Q.$ Estas raíces $p$ -ésimas fueron introducidas por Joseph-Louis Lagrange , y sus productos por $p$ se denominan comúnmente resolventes de Lagrange . El cálculo de $Q$ y sus raíces se puede utilizar para resolver $P (x) = 0.$ Sin embargo, estas raíces $p$ -ésimas no se pueden calcular de forma independiente (esto daría $p p - 1$ raíces en lugar de $p$ ). Por lo tanto, una solución correcta debe expresar todas estas raíces $p$ -ésimas en términos de una de ellas. La teoría de Galois muestra que esto siempre es teóricamente posible, aunque la fórmula resultante pueda ser demasiado grande para ser útil.

Es posible que algunas de las raíces de $Q$ sean racionales (como en el primer ejemplo de esta sección) o que algunas sean cero. En estos casos, la fórmula para las raíces es mucho más simple, como para la ecuación quíntica de De Moivre resoluble.

x^{5}+5ax^{3}+5a^{2}x+b=0\,,

donde la ecuación auxiliar tiene dos raíces cero y se reduce, al factorizarlas, a la ecuación cuadrática.

y^{2}+by-a^{5}=0\,,

de tal manera que las cinco raíces de la quíntica de De Moivre vienen dadas por

x_{k}=\omega ^{k}{\sqrt[{5}]{y_{i}}}-{\frac {a}{\omega ^{k}{\sqrt[{5}]{y_{i}}}}},

donde y _i es cualquier raíz de la ecuación cuadrática auxiliar y ω es cualquiera de las cuatro raíces quintas primitivas de la unidad . Esto se puede generalizar fácilmente para construir una ecuación séptica resoluble y otros grados impares, no necesariamente primos.

Otros problemas quíntuples resolubles

Existen infinitos problemas quínticos resolubles en la forma de Bring-Jerrard que han sido parametrizados en una sección anterior.

Hasta el escalado de la variable, hay exactamente cinco quínticos resolubles de la forma $x^{5}+ax^{2}+b$ , que son ^{[ 6 ]} (donde s es un factor de escala):

x^{5}-2s^{3}x^{2}-{\frac {s^{5}}{5}}

x^{5}-100s^{3}x^{2}-1000s^{5}

x^{5}-5s^{3}x^{2}-3s^{5}

x^{5}-5s^{3}x^{2}+15s^{5}

x^{5}-25s^{3}x^{2}-300s^{5}

Paxton Young (1888) dio varios ejemplos de ecuaciones quíntuples resolubles:

Se puede construir una secuencia infinita de ecuaciones quíntuples resolubles, cuyas raíces son sumas de raíces $enésimas$ de la unidad , donde $n = 10 k + 1$ es un número primo :

También existen dos familias parametrizadas de quínticas resolubles: la quíntica de Kondo-Brumer,

x^{5}+(a-3)\,x^{4}+(-a+b+3)\,x^{3}+(a^{2}-a-1-2b)\,x^{2}+b\,x+a=0

y la familia dependiendo de los parámetros $a,\ell ,m$

x^{5}-5\,p\left(2\,x^{3}+a\,x^{2}+b\,x\right)-p\,c=0

dónde

p={\tfrac {1}{4}}\left[\,\ell ^{2}(4m^{2}+a^{2})-m^{2}\,\right]\;,

b=\ell \,(4m^{2}+a^{2})-5p-2m^{2}\;,

c={\tfrac {1}{2}}\left[\,b(a+4m)-p(a-4m)-a^{2}m\,\right]\;.

Caso irreducible

De forma análoga a las ecuaciones cúbicas , existen ecuaciones quíntuples resolubles que tienen cinco raíces reales, cuyas soluciones en radicales involucran raíces de números complejos. Este es el caso irreducible de la ecuación quíntica, que se analiza en Dummit. ^{[ 7 ]}^{: p. 17.} De hecho, si una ecuación quíntica irreducible tiene todas sus raíces reales, ninguna raíz puede expresarse únicamente en términos de radicales reales (como sucede con todos los grados polinomiales que no son potencias de 2).

Más allá de los radicales

Hacia 1835, Jerrard demostró que $las$ ecuaciones quínticas se pueden resolver usando ultrarradicales (también conocidos como radicales de Bring ), la única raíz real de $t⁵ + t - a = 0$ para números reales $a$ . En 1858, Charles Hermite mostró que el radical de Bring podía caracterizarse en términos de las funciones theta de Jacobi y sus funciones modulares elípticas asociadas , usando un enfoque similar al más conocido de resolver ecuaciones cúbicas mediante funciones trigonométricas . Casi al mismo tiempo, Leopold Kronecker , usando la teoría de grupos , desarrolló una forma más simple de derivar el resultado de Hermite, como lo había hecho Francesco Brioschi . Más tarde, Felix Klein ideó un método que relaciona las simetrías del icosaedro , la teoría de Galois y las funciones modulares elípticas que aparecen en la solución de Hermite, dando una explicación de por qué deberían aparecer, y desarrolló su propia solución en términos de funciones hipergeométricas generalizadas . ^{[ 8 ]} Fenómenos similares ocurren en grado $7$ ( ecuaciones sépticas ) y $11$ , como estudió Klein y discutió en Simetría icosaédrica § Geometrías relacionadas .

Resolver con radicales Bring

Una transformación de Tschirnhaus , que puede calcularse resolviendo una ecuación cuártica , reduce la ecuación quíntica general de la forma

x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\,

a la forma normal de Bring-Jerrard $x 5 - x + t = 0$ .

Las raíces de esta ecuación no pueden expresarse mediante radicales. Sin embargo, en 1858, Charles Hermite publicó la primera solución conocida de esta ecuación en términos de funciones elípticas . ^{[ 9 ]} Casi al mismo tiempo, Francesco Brioschi ^{[ 10 ]} y Leopold Kronecker ^{[ 11 ]} encontraron soluciones equivalentes.

Consulte Bring radical para obtener más detalles sobre estas soluciones y algunas relacionadas.

Aplicación a la mecánica celeste

Determinar la ubicación de los puntos lagrangianos de una órbita astronómica en la que las masas de ambos objetos no son despreciables implica resolver una ecuación quíntica.

Más precisamente, las ubicaciones de L2 y L1 son las soluciones de las siguientes ecuaciones, donde las fuerzas gravitacionales de dos masas sobre una tercera (por ejemplo, el Sol y la Tierra sobre satélites como _Gaia_yel Telescopio Espacial James Webb en L2 y _SOHO en L1 _{) proporcionan la}fuerza centrípeta del satélite necesaria para estar en una órbita síncrona con la Tierra alrededor del Sol:

{\frac {GmM_{S}}{(R\pm r)^{2}}}\pm {\frac {GmM_{E}}{r^{2}}}=m\omega ^{2}(R\pm r)

El signo ± corresponde a L ₂ y L ₁ , respectivamente; G es la constante gravitacional , ω la velocidad angular , r la distancia del satélite a la Tierra, R la distancia del Sol a la Tierra (es decir, el semieje mayor de la órbita de la Tierra), y m , M _E y M _S son las masas respectivas del satélite, la Tierra y el Sol .

Utilizando la tercera ley de Kepler $\omega ^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{P^{2}}}={\frac {G(M_{S}+M_{E})}{R^{3}}}$ y reordenando todos los términos se obtiene el quíntico

ar^{5}+br^{4}+cr^{3}+dr^{2}+er+f=0

con:

{\begin{aligned}&a=\pm (M_{S}+M_{E}),\\&b=+(M_{S}+M_{E})3R,\\&c=\pm (M_{S}+M_{E})3R^{2},\\&d=+(M_{E}\mp M_{E})R^{3}\ ({\text{thus }}d=0{\text{ for }}L_{2}),\\&e=\pm M_{E}2R^{4},\\&f=\mp M_{E}R^{5}.\end{aligned}}

Al resolver estas dos ecuaciones quínticas se obtiene $r = 1,501 \times$ 10⁹ $m$ $para$ L₂ y r $=$ $1,491 \times$ $10⁹$ $m$ para L₁ . Los puntos _lagrangianosSol-Tierra L₂ _yL₁ se suelen dar a 1,5 millones de km de la _Tierra_.

Si la masa del objeto más pequeño ( ME ) es mucho menor que la masa del objeto más grande ( MS ₎ , entonces la ecuación quíntica se puede reducir considerablemente y L1 _y L2 _están aproximadamente en el radio de la esfera de Hill _, dado por:

r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{E}}{3M_{S}}}}

Eso también da como resultado $r = 1,5 \times 10 9 m$ para satélites en L ₁ y L ₂ en el sistema Sol-Tierra.

Véase también

Notas

↑ Elia, M.; Filipponi, P. (1998). "Ecuaciones de la forma Bring-Jerrard, la sección áurea y los números de Fibonacci cuadrados" (PDF) . The Fibonacci Quarterly . 36 (3): 282–286 .
↑ A. Cayley, "Sobre una nueva ecuación auxiliar en la teoría de ecuaciones de quinto orden", Philosophical Transactions of the Royal Society of London 151 :263-276 (1861) doi : 10.1098/rstl.1861.0014
↑ Esta formulación del resultado de Cayley se extrae del artículo de Lazard (2004).
↑ George Paxton Young, "Ecuaciones quínticas resolubles con coeficientes conmensurables", American Journal of Mathematics 10 :99–130 (1888), JSTOR 2369502
↑ Lazard (2004 , pág. 207)
↑ Elkies, Noam. "Trinomios ax ⁿ + bx + c con grupos de Galois interesantes" . Universidad de Harvard .
↑ David S. Dummit, Resolución de ecuaciones quínticas resolubles. Archivado el 7 de marzo de 2012 en Wayback Machine.
↑ ( Klein 1888 ) ; una exposición moderna se da en ( Tóth 2002 , Sección 1.6, Tema adicional: Teoría del icosaedro de Klein, pág. 66 )
^ Hermita, Charles (1858). "Sobre la resolución de la ecuación del cinquième degré". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . XLVI (I): 508-515 .
^ Brioschi, Francesco (1858). "Sul Metodo di Kronecker per la Risoluzione delle Equazioni di Quinto Grado". Atti Dell'i. R. Istituto Lombardo di Scienze, Lettere ed Arti . Yo : 275-282 .
^ Kronecker, Leopold (1858). "Sobre la resolución de la ecuación del cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . XLVI (I): 1150-1152 .

Referencias

Charles Hermite, "Sur la résolution de l'équation du cinquème degré", Obras de Charles Hermite , 2 :5–21, Gauthier-Villars, 1908.
Klein, Felix (1888). Lecciones sobre el icosaedro y la solución de ecuaciones de quinto grado . Traducido por Morrice, George Gavin. Trübner & Co. ISBN 0-486-49528-0.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
Leopold Kronecker, "Sur la résolution de l'equation du cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 46 :1:1150–1152 1858.
Blair Spearman y Kenneth S. Williams, "Caracterización de ecuaciones quínticas resolubles $x 5 + ax + b$ , American Mathematical Monthly , 101 :986–992 (1994).
Ian Stewart, Teoría de Galois, 2.ª edición, Chapman and Hall, 1989. ISBN 0-412-34550-1. Analiza la teoría de Galois en general, incluyendo una demostración de la insolubilidad del problema quíntico general.
Jörg Bewersdorff , Teoría de Galois para principiantes: Una perspectiva histórica , American Mathematical Society, 2006. ISBN 0-8218-3817-2. El capítulo 8 ( La solución de ecuaciones de quinto grado en Wayback Machine (archivado el 31 de marzo de 2010) ) ofrece una descripción de la solución de ecuaciones quíntuples resolubles $x$ $5$ $+$ $cx$ $+$ $d$ .
Victor S. Adamchik y David J. Jeffrey, "Transformaciones polinómicas de Tschirnhaus, Bring y Jerrard", ACM SIGSAM Bulletin , vol. 37, n.º 3, septiembre de 2003, págs. 90-94.
Ehrenfried Walter von Tschirnhaus, "Un método para eliminar todos los términos intermedios de una ecuación dada", Boletín ACM SIGSAM , vol. 37, núm. 1, marzo de 2003, págs. 1–3.
Lazard, Daniel (2004). "Resolver quinticas en radicales". En Olav Arnfinn Laudal ; Ragni Piene (eds.). El legado de Niels Henrik Abel . Berlina. págs. 207–225 . ISBN 3-540-43826-2Archivado del original el 6 de enero de 2005.{{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )
Tóth, Gábor (2002), Grupos de Möbius finitos, inmersiones mínimas de esferas y módulos

Enlaces externos

Mathworld - Ecuación quíntica : más detalles sobre los métodos para resolver ecuaciones quínticas.
Resolución de ecuaciones quíntuples resolubles Archivado el 7 de marzo de 2012 en Wayback Machine : un método para resolver ecuaciones quíntuples resolubles debido a David S. Dummit.
Un método para eliminar todos los términos intermedios de una ecuación dada : una traducción reciente al inglés del artículo de Tschirnhaus de 1683.
Bruce Bartlett: La curva quíntica, el icosaedro y las curvas elípticas , AMS Notices (abril de 2024)

[1] Elia, M.; Filipponi, P. (1998). "Ecuaciones de la forma Bring-Jerrard, la sección áurea y los números de Fibonacci cuadrados" (PDF) . The Fibonacci Quarterly . 36 (3): 282–286 .

[2] A. Cayley, "Sobre una nueva ecuación auxiliar en la teoría de ecuaciones de quinto orden", Philosophical Transactions of the Royal Society of London 151 :263-276 (1861) doi : 10.1098/rstl.1861.0014

[3] Esta formulación del resultado de Cayley se extrae del artículo de Lazard (2004).

[4] George Paxton Young, "Ecuaciones quínticas resolubles con coeficientes conmensurables", American Journal of Mathematics 10 :99–130 (1888), JSTOR 2369502

[5] Lazard (2004 , pág. 207)

[6] Elkies, Noam. "Trinomios ax ⁿ + bx + c con grupos de Galois interesantes" . Universidad de Harvard .

[7] David S. Dummit, Resolución de ecuaciones quínticas resolubles. Archivado el 7 de marzo de 2012 en Wayback Machine.

[8] ( Klein 1888 ) ; una exposición moderna se da en ( Tóth 2002 , Sección 1.6, Tema adicional: Teoría del icosaedro de Klein, pág. 66 )

[hermite-9] Hermita, Charles (1858). "Sobre la resolución de la ecuación del cinquième degré". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . XLVI (I): 508-515 .

[10] Brioschi, Francesco (1858). "Sul Metodo di Kronecker per la Risoluzione delle Equazioni di Quinto Grado". Atti Dell'i. R. Istituto Lombardo di Scienze, Lettere ed Arti . Yo : 275-282 .

[11] Kronecker, Leopold (1858). "Sobre la resolución de la ecuación del cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . XLVI (I): 1150-1152 .

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