Reconstrucción del campo vectorial

La reconstrucción de campos vectoriales ^{[ 1 ]} es un método para crear un campo vectorial a partir de datos experimentales o generados por computadora , generalmente con el objetivo de encontrar un modelo de ecuación diferencial del sistema.

Un modelo de ecuaciones diferenciales describe el valor de las variables dependientes a medida que evolucionan en el tiempo o el espacio, mediante ecuaciones que involucran dichas variables y sus derivadas con respecto a algunas variables independientes , generalmente el tiempo y/o el espacio. Una ecuación diferencial ordinaria es aquella en la que las variables dependientes del sistema son funciones de una sola variable independiente. Muchos sistemas físicos, químicos, biológicos y eléctricos se describen adecuadamente mediante ecuaciones diferenciales ordinarias. Con frecuencia, se asume que un sistema se rige por ecuaciones diferenciales, pero se desconoce la influencia exacta de diversos factores en su estado. Por ejemplo, un circuito eléctrico puede estar descrito teóricamente por un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, pero debido a la tolerancia de las resistencias , las variaciones de la tensión de alimentación o las interferencias externas, se desconocen los parámetros exactos del sistema. Para algunos sistemas, especialmente aquellos que presentan caos , un pequeño cambio en los valores de los parámetros puede provocar un gran cambio en su comportamiento, por lo que un modelo preciso es de suma importancia. Por lo tanto, puede ser necesario construir ecuaciones diferenciales más exactas, basándose en el comportamiento real del sistema en lugar de un modelo teórico. Idealmente, se medirían todas las variables dinámicas involucradas durante un período prolongado, utilizando diversas condiciones iniciales , para luego construir o ajustar un modelo de ecuaciones diferenciales a partir de estas mediciones.

En algunos casos, es posible que no se conozcan los procesos involucrados en un sistema lo suficiente como para formular un modelo. En otros casos, puede que solo se tenga acceso a una variable dinámica para las mediciones, es decir, si se dispone de una serie temporal escalar . Si solo se dispone de una serie temporal escalar, es necesario utilizar el método de incrustación de retardo temporal o coordenadas derivadas para obtener un conjunto suficientemente grande de variables dinámicas que describan el sistema.

En resumen, una vez que se ha obtenido un conjunto de mediciones del estado del sistema durante un período de tiempo determinado, se calculan las derivadas de estas mediciones, lo que conforma un campo vectorial local. A continuación, se puede determinar un campo vectorial global coherente con este campo local. Esto se suele realizar mediante un ajuste por mínimos cuadrados a los datos de las derivadas.

En el mejor de los casos, se dispone de flujos de datos de mediciones de todas las variables del sistema, igualmente espaciados en el tiempo, por ejemplo

s ₁ (t), s ₂ (t), ... , s _k (t)

para

t = t ₁ , t ₂ ,..., t _n ,

partiendo de varias condiciones iniciales diferentes. Luego, la tarea de encontrar un campo vectorial, y por lo tanto un modelo de ecuación diferencial, consiste en ajustar funciones, por ejemplo, una spline cúbica , a los datos para obtener un conjunto de funciones de tiempo continuo.

x ₁ (t), x ₂ (t), ... , x _k (t),

Se calculan las derivadas temporales dx₁ _/ dt, dx₂ / _dt ,..., _dxₖ /dt de las funciones, y luego se realiza un ajuste por mínimos cuadrados utilizando funciones de base ortogonales ( polinomios ortogonales , funciones de base radial , etc.) para cada componente de los vectores tangentes, con el fin de obtener un campo vectorial global. A partir de este campo vectorial global, se puede obtener una ecuación diferencial.

Existen varios métodos para crear las funciones base para el ajuste por mínimos cuadrados. El método más común es el proceso de Gram-Schmidt , que crea un conjunto de vectores base ortogonales que luego se pueden normalizar fácilmente. Este método comienza seleccionando una base estándar cualquiera β={v ₁ , v ₂ ,...,v _n }. A continuación, se define el primer vector v ₁ =u _1. Luego, se define u ₂ =v ₂ -proj _{u 1} v ₂ . Este proceso se repite para k vectores, siendo el vector final u _k = v _k -Σ _(j=1) ^(k-1) proj _{u k} v _k . Esto crea un conjunto de vectores base estándar ortogonales.

La razón para usar una base ortogonal estándar en lugar de una base estándar radica en la creación del ajuste por mínimos cuadrados que se realiza a continuación. La creación de un ajuste por mínimos cuadrados comienza asumiendo una función, en el caso de la reconstrucción de un polinomio de grado n ^, y ajustando la curva a los datos mediante constantes. La precisión del ajuste puede incrementarse aumentando el grado del polinomio utilizado. Si se utilizara un conjunto de funciones base estándar no ortogonales, sería necesario recalcular los coeficientes constantes de la función que describe el ajuste. Sin embargo, al usar el conjunto ortogonal de funciones base, no es necesario recalcular los coeficientes constantes.

La reconstrucción de campos vectoriales tiene varias aplicaciones y muchos enfoques diferentes. Algunos matemáticos no solo han utilizado funciones de base radial y polinomios para reconstruir un campo vectorial, sino que también han utilizado exponentes de Lyapunov y descomposición en valores singulares . ^{[ 2 ]} Gouesbet y Letellier utilizaron una aproximación polinómica multivariada y mínimos cuadrados para reconstruir su campo vectorial. Este método se aplicó al sistema de Rössler y al sistema de Lorenz , así como a las oscilaciones de lentes térmicas .

El sistema Rossler, el sistema Lorenz y la oscilación de la lente térmica siguen las ecuaciones diferenciales en el sistema estándar como

X'=Y, Y'=Z y Z'=F(X,Y,Z)

donde F(X,Y,Z) se conoce como la función estándar. ^{[ 3 ]}

En ciertas situaciones, el modelo no es muy eficiente y pueden surgir dificultades si tiene un gran número de coeficientes y presenta una solución divergente. Por ejemplo, las ecuaciones diferenciales no autónomas dan los resultados descritos anteriormente. ^{[ 4 ]} En este caso, la modificación del enfoque estándar en la aplicación proporciona una mejor manera de seguir desarrollando la reconstrucción vectorial global.

Por lo general, el sistema que se modela de esta manera es un sistema dinámico caótico , porque los sistemas caóticos exploran una gran parte del espacio de fases y la estimación de la dinámica global basada en la dinámica local será mejor que con un sistema que explora solo una pequeña parte del espacio.

Con frecuencia, se dispone de una única medición escalar de la serie temporal de un sistema con más de un grado de libertad . La serie temporal puede no provenir de una variable del sistema, sino ser una función de todas las variables, como la temperatura en un reactor de tanque agitado que utiliza varias especies químicas. En este caso, se debe emplear la técnica de incrustación de coordenadas con retardo ^{[ 5 ]} , donde se construye un vector de estado que consta de los datos en el instante t y varias versiones retardadas de dichos datos.

Una revisión exhaustiva del tema está disponible en ^{[ 6 ].}

^{En [ 7 ]} se presenta un modelo matemático global junto con simulaciones numéricas con aplicaciones a campos de velocidad del viento.