Método pseudoespectral de Bellman

El método pseudoespectral de Bellman es un método pseudoespectral para el control óptimo basado en el principio de optimalidad de Bellman . Forma parte de la teoría más amplia del control óptimo pseudoespectral , término acuñado por Ross . ^{[ 1 ]} El método recibe su nombre de Richard E. Bellman . Fue introducido por Ross et al. ^{[ 2 ] [ 3 ]} inicialmente como un medio para resolver problemas de control óptimo multiescala, y posteriormente se amplió para obtener soluciones subóptimas para problemas generales de control óptimo.

La versión multiescala del método pseudoespectral de Bellman se basa en la propiedad de convergencia espectral de los métodos pseudoespectrales de Ross-Fahroo . Es decir, debido a que el método pseudoespectral de Ross-Fahroo converge a una velocidad exponencialmente rápida, se obtiene convergencia puntual a una solución con un número muy bajo de nodos, incluso cuando la solución tiene componentes de alta frecuencia. Este fenómeno de aliasing en el control óptimo fue descubierto por primera vez por Ross et al. ^{[ 2 ].} En lugar de utilizar técnicas de procesamiento de señales para evitar el aliasing en la solución, Ross et al. propusieron que el principio de optimalidad de Bellman se puede aplicar a la solución convergente para extraer información entre los nodos. Debido a que los nodos de Gauss-Lobatto se agrupan en los puntos límite, Ross et al. sugirieron que si la densidad de nodos alrededor de las condiciones iniciales satisface el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon , entonces la solución completa se puede recuperar resolviendo el problema de control óptimo de forma recursiva sobre segmentos por partes conocidos como segmentos de Bellman. ^{[ 2 ]}

En una versión ampliada del método, Ross et al. ^{[ 3 ]} propusieron que también podría utilizarse para generar soluciones factibles que no necesariamente fueran óptimas. En esta versión, se puede aplicar el método pseudoespectral de Bellman con un número aún menor de nodos, aun sabiendo que la solución podría no haber convergido a la óptima. En esta situación, se obtiene una solución factible.

Una característica notable del método pseudoespectral de Bellman es que determina automáticamente varias medidas de suboptimalidad basadas en el costo pseudoespectral original y el costo generado por la suma de los segmentos de Bellman. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Una de las ventajas computacionales del método pseudoespectral de Bellman es que permite evitar las reglas gaussianas en la distribución de los nodos. Es decir, en un método pseudoespectral estándar, la distribución de los nodos es gaussiana (típicamente Gauss-Lobatto para horizonte finito y Gauss-Radau para horizonte infinito). Los puntos gaussianos son dispersos en el centro del intervalo (el centro se define de forma desplazada para problemas de horizonte infinito) y densos en los límites. La acumulación de puntos de segundo orden cerca de los límites produce un desperdicio de nodos. El método pseudoespectral de Bellman aprovecha la acumulación de nodos en el punto inicial para suavizar la solución y descartar los nodos restantes. De este modo, la distribución final de nodos es no gaussiana y densa, mientras que el método computacional conserva una estructura dispersa.

El método pseudoespectral de Bellman fue aplicado por primera vez por Ross et al. ^{[ 2 ]} para resolver el complejo problema de la optimización de trayectorias con empuje muy bajo. Se ha aplicado con éxito para resolver un problema práctico de generación de soluciones de muy alta precisión para un problema de inyección trans-terrestre, que consiste en llevar una cápsula espacial desde una órbita lunar a una condición de interfaz terrestre precisa para una reentrada exitosa. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

El método pseudoespectral de Bellman se utiliza comúnmente como una verificación adicional de la optimalidad de una solución pseudoespectral generada por los métodos pseudoespectrales de Ross-Fahroo. Es decir, además del uso del principio de mínimo de Pontryagin junto con las soluciones obtenidas por los métodos pseudoespectrales de Ross-Fahroo, el método pseudoespectral de Bellman se utiliza como una prueba primal exclusiva sobre la optimalidad de la solución calculada. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

• método pseudoespectral de Legendre
• método pseudoespectral de Chebyshev
• método de anudado pseudoespectral