Método pseudoespectral

Las funciones${\displaystyle f,{\tilde {f}}}$puede expandirse en una base finita${\displaystyle \{\phi _{n}\}_{n=0,\ldots ,N}}$como

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{N}c_{n}\phi _{n}(x)}$

${\displaystyle {\tilde {f}}(x)=\sum _{n=0}^{N}{\tilde {c}}_{n}\phi _{n}(x)}$

Para simplificar, supongamos que la base es ortogonal y normalizada,${\displaystyle \langle \phi _{n},\phi _{m}\rangle =\delta _{nm}}$utilizando el producto interno${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}dx}$con límites apropiados${\displaystyle a,b}$Los coeficientes se obtienen entonces mediante

${\displaystyle c_{n}=\langle f,\phi _{n}\rangle }$

${\displaystyle {\tilde {c}}_{n}=\langle {\tilde {f}},\phi _{n}\rangle }$

Un poco de cálculo da como resultado entonces

${\displaystyle {\tilde {c}}_{n}=\sum _{m=0}^{N}V_{n-m}c_{m}}$

con${\displaystyle V_{n-m}=\langle V\phi _{m},\phi _{n}\rangle }$. Esto constituye la base del método espectral. Para distinguir la base del${\displaystyle \phi _{n}}$A partir de la base de cuadratura, la expansión a veces se denomina Representación de Base Finita (RBF).

Para una base dada${\displaystyle \{\phi _{n}\}}$y número de${\displaystyle N+1}$funciones base, uno puede intentar encontrar una cuadratura, es decir, un conjunto de${\displaystyle N+1}$puntos y pesos tales que

${\displaystyle \langle \phi _{n},\phi _{m}\rangle =\sum _{i=0}^{N}w_{i}\phi _{n}(x_{i}){\overline {\phi _{m}(x_{i})}}\qquad \qquad n,m=0,\ldots ,N}$

Ejemplos especiales son la cuadratura gaussiana para polinomios y la transformada discreta de Fourier para ondas planas. Cabe destacar que los puntos de la cuadrícula y los pesos,${\displaystyle x_{i},w_{i}}$son una función de la base y del número${\displaystyle N}$.

La cuadratura permite una representación numérica alternativa de la función.${\displaystyle f(x),{\tilde {f}}(x)}$a través de su valor en los puntos de la cuadrícula. Esta representación a veces se denomina Representación de Variables Discretas (DVR) y es completamente equivalente a la expansión en la base.

${\displaystyle f(x_{i})=\sum _{n=0}^{N}c_{n}\phi _{n}(x_{i})}$

${\displaystyle c_{n}=\langle f,\phi _{n}\rangle =\sum _{i=0}^{N}w_{i}f(x_{i}){\overline {\phi _{n}(x_{i})}}}$

La multiplicación con la función${\displaystyle V(x)}$Luego se realiza en cada punto de la cuadrícula,

${\displaystyle {\tilde {f}}(x_{i})=V(x_{i})f(x_{i}).}$

Esto generalmente introduce una aproximación adicional. Para ver esto, podemos calcular uno de los coeficientes.${\displaystyle {\tilde {c}}_{n}}$:

${\displaystyle {\tilde {c}}_{n}=\langle {\tilde {f}},\phi _{n}\rangle =\sum _{i}w_{i}{\tilde {f}}(x_{i}){\overline {\phi _{n}(x_{i})}}=\sum _{i}w_{i}V(x_{i})f(x_{i}){\overline {\phi _{n}(x_{i})}}}$

Sin embargo, utilizando el método espectral, el mismo coeficiente sería${\displaystyle {\tilde {c}}_{n}=\langle Vf,\phi _{n}\rangle }$El método pseudoespectral introduce así la aproximación adicional.

${\displaystyle \langle Vf,\phi _{n}\rangle \approx \sum _{i}w_{i}V(x_{i})f(x_{i}){\overline {\phi _{n}(x_{i})}}.}$

Si el producto${\displaystyle Vf}$puede representarse con el conjunto finito dado de funciones base, la ecuación anterior es exacta debido a la cuadratura elegida.

Si se cumplen condiciones de contorno periódicas con período${\displaystyle [0,L]}$se imponen al sistema, las funciones base pueden generarse mediante ondas planas,

${\displaystyle \phi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {L}}}e^{-\imath k_{n}x}}$

con${\displaystyle k_{n}=(-1)^{n}\lceil n/2\rceil 2\pi /L}$, dónde${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$es la función techo .

La cuadratura para un corte en${\displaystyle n_{\text{max}}=N}$viene dada por la transformada discreta de Fourier . Los puntos de la cuadrícula están igualmente espaciados,${\displaystyle x_{i}=i\Delta x}$con espaciado${\displaystyle \Delta x=L/(N+1)}$y los pesos constantes son${\displaystyle w_{i}=\Delta x}$.

Para la discusión del error, tenga en cuenta que el producto de dos ondas planas es nuevamente una onda plana .${\displaystyle \phi _{a}+\phi _{b}=\phi _{c}}$con${\displaystyle c\leq a+b}$. Por lo tanto, cualitativamente, si las funciones${\displaystyle f(x),V(x)}$puede representarse con suficiente precisión con${\displaystyle N_{f},N_{V}}$funciones base, el método pseudoespectral da resultados precisos si${\displaystyle N_{f}+N_{V}}$Se utilizan funciones base.

Una expansión en ondas planas a menudo tiene una calidad deficiente y necesita muchas funciones base para converger. Sin embargo, la transformación entre la expansión de base y la representación de la cuadrícula se puede realizar utilizando una transformada rápida de Fourier , que escala favorablemente como${\displaystyle N\ln N}$En consecuencia, las ondas planas son una de las expansiones más comunes que se encuentran con los métodos pseudoespectrales.

Otra expansión común es en polinomios clásicos. Aquí se utiliza la cuadratura gaussiana , que establece que siempre se pueden encontrar pesos.${\displaystyle w_{i}}$y puntos${\displaystyle x_{i}}$de tal manera que

${\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)p(x)dx=\sum _{i=0}^{N}w_{i}p(x_{i})}$

se cumple para cualquier polinomio${\displaystyle p(x)}$de grado${\displaystyle 2N+1}$o menos. Normalmente, la función de peso${\displaystyle w(x)}$y rangos${\displaystyle a,b}$se eligen para un problema específico y conducen a una de las diferentes formas de la cuadratura. Para aplicar esto al método pseudoespectral, elegimos funciones base.${\displaystyle \phi _{n}(x)={\sqrt {w(x)}}P_{n}(x)}$, con${\displaystyle P_{n}}$siendo un polinomio de grado${\displaystyle n}$con la propiedad

${\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)P_{n}(x)P_{m}(x)dx=\delta _{mn}.}$

En estas condiciones, el${\displaystyle \phi _{n}}$forman una base ortonormal con respecto al producto escalar${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}dx}$Esta base, junto con los puntos de cuadratura, puede utilizarse posteriormente para el método pseudoespectral.

Para la discusión del error, tenga en cuenta que si${\displaystyle f}$está bien representado por${\displaystyle N_{f}}$funciones básicas y${\displaystyle V}$está bien representado por un polinomio de grado${\displaystyle N_{V}}$, su producto puede expandirse en el primero${\displaystyle N_{f}+N_{V}}$funciones base, y el método pseudoespectral dará resultados precisos para esa cantidad de funciones base.

Estos polinomios aparecen de forma natural en varios problemas estándar. Por ejemplo, el oscilador armónico cuántico se expande idealmente en polinomios de Hermite , y los polinomios de Jacobi se pueden usar para definir las funciones de Legendre asociadas que suelen aparecer en problemas de rotación.