Modelo de estrés algebraico explícito

El modelo de tensión algebraica surge en la dinámica de fluidos computacional . Se pueden adoptar dos enfoques principales. En el primero, se supone que el transporte de las tensiones turbulentas es proporcional a la energía cinética turbulenta; mientras que en el segundo, se supone que los efectos convectivos y difusivos son despreciables. Los modelos de tensión algebraica solo se pueden utilizar donde los flujos convectivos y difusivos son despreciables, es decir, flujos dominados por la fuente. Para simplificar el EASM existente y lograr una implementación numérica eficiente, la base tensorial subyacente juega un papel importante. La base tensorial de cinco términos que se introduce aquí intenta combinar una precisión óptima de la base completa con las ventajas de un concepto puramente bidimensional. Por lo tanto, se identifica una base de cinco términos adecuada. Con base en ella, se diseña el nuevo modelo y se valida en combinación con diferentes modelos de fondo de tipo viscosidad turbulenta.

En el marco de los cierres de punto único (modelos de transporte de tensiones de Reynolds = RSTM), aún se proporciona la mejor representación de la física del flujo. Debido a los requisitos numéricos, es deseable una formulación explícita basada en un número reducido de tensores , la cual ya se introdujo originalmente. La mayoría de los modelos de tensión algebraicos explícitos se formulan utilizando una base de 10 términos:

${\displaystyle b_{ij}=\sum _{\lambda =1}^{10}G^{(\lambda )}T_{ij}^{(\lambda )}}$

La reducción de la base tensorial, sin embargo, requiere un enorme esfuerzo matemático para transformar la formulación de tensiones algebraicas de un modelo RSTM lineal algebraico dado en una base tensorial específica, conservando todas las propiedades importantes del modelo subyacente. Esta transformación puede aplicarse a cualquier base tensorial. En las presentes investigaciones, se busca encontrar un conjunto óptimo de tensores base y sus coeficientes correspondientes.

El método de proyección se introdujo para permitir una solución aproximada de la ecuación de transporte algebraica de las tensiones de Reynolds. A diferencia del enfoque de la base tensorial, esta no se inserta en la ecuación algebraica, sino que se proyecta. Por lo tanto, los tensores de la base elegidos no necesitan formar una base completa. Sin embargo, la proyección fallará si los tensores de la base son linealmente dependientes. En el caso de una base completa, la proyección conduce a la misma solución que la inserción directa; de lo contrario, se obtiene una solución aproximada.

Para demostrar que el método de proyección conduce a la misma solución que la inserción directa, se deriva el EASM para flujos bidimensionales. En los flujos bidimensionales, solo los tensores son independientes.

${\displaystyle T_{ij}^{(1)}=s_{ij}}$

${\displaystyle T_{ij}^{(2)}=s_{ik}w_{kj}-w_{ik}s_{kj}}$

${\displaystyle T_{ij}^{(3)}=s_{ik}s_{kj}-s_{mk}s_{km}{\frac {1}{3}}\delta _{ij}}$

La proyección conduce entonces a los mismos coeficientes. Este EASM bidimensional se utiliza como punto de partida para un EASM optimizado que incluye efectos tridimensionales. Por ejemplo, la variación del esfuerzo cortante en una tubería giratoria no se puede predecir con tensores cuadráticos. Por lo tanto, el EASM se extendió con un tensor cúbico. Para no afectar el rendimiento en flujos 2D, se eligió un tensor que se anula en flujos 2D. Esto permite concentrar la determinación de los coeficientes en flujos 3D. Un tensor cúbico que se anula en flujo 3D es:

${\ Displaystyle T_ {ij} ^ {(5)} = w_ {ik} s_ {kl} s_ {lj} -s_ {ik} s_ {kl} w_ {lj}}$

La proyección con tensores T ⁽¹⁾ , T ⁽²⁾ , T ⁽³⁾ y T ⁽⁵⁾ produce entonces los coeficientes del EASM.

Un resultado directo de la derivación del EASM es una formulación variable de C _μ . Como los generadores del EASM extendido fueron elegidos para preservar la formulación 2D existente, la expresión de C _μ permanece sin cambios:

${\displaystyle C\mu ={\frac {-A_{1}g}{g^{2}-{\frac {2}{3}}A_{3}^{2}\eta _{1}-2A^{2}\eta _{2}}}}$

A _i son las constantes del modelo subyacente de presión-deformación. Dado que η ₁ siempre es positivo, es posible que C _μ se vuelva singular. Por lo tanto, en la primera derivación de EASM se introdujo una regularización que evita la singularidad al limitar el rango de η _1. Sin embargo, Wallin et al. señalaron que la regularización deterioró el rendimiento de EASM. En su modelo, la metodología se refinó para tener en cuenta el coeficiente.

${\displaystyle g=C_{1}-2b_{ij}}$

Esto conduce a una ecuación condicional no lineal débil para los coeficientes EASM y se debe resolver una ecuación adicional para g. En 3D la ecuación de g es de sexto orden, por lo que una solución cerrada solo es posible en flujos 2D, donde la ecuación se reduce a tercer orden. Para evitar la búsqueda de raíces de una ecuación polinómica, se utiliza un enfoque cuasi autoconsistente. Demostró que al usar una expresión C _μ de un modelo lineal realizable en lugar de la expresión EASM- C _μ en la ecuación de g, se obtienen las mismas propiedades de g. Para un amplio rango de y el enfoque cuasi autoconsistente es casi idéntico a la solución totalmente autoconsistente. Por lo tanto, la calidad del EASM no se ve afectada con la ventaja de no tener una ecuación no lineal adicional. Dado que en las proyecciones para determinar los coeficientes EASM la complejidad se reduce al descuidar invariantes de orden superior.

• Gatski, TB y Speziale, CG, "Sobre modelos explícitos de tensión algebraica para flujos turbulentos complejos". J. Fluid Mech.
• Rung, T., "Entwicklung anisotroper Wirbelzähigkeitsbeziehungen mit Hilfe von Projektionstechniken", tesis doctoral, Technische Universität Berlin, 2000
• Taulbee, DB, "Un modelo mejorado de tensión de Reynolds algebraico y el correspondiente modelo de tensión no lineal", Phys. Fluids, 28, pp 2555–2561, 1992
• Lübcke, H., Rung, T. y Thiele, F. "Predicción del mecanismo de propagación de chorros de pared turbulentos 3D con cierres explícitos de tensiones de Reynolds", Eng. Turbulence Modelling and Experiments 5, Mallorca, 2002
• Wallin, S. y Johansson, AV, "Un nuevo modelo explícito algebraico de turbulencia de tensiones de Reynolds que incluye un tratamiento mejorado cerca de la pared", Flow Modelling and Turbulence Measurements IV
• Taulbee, DB, "Un modelo algebraico mejorado de esfuerzos de Reynolds y su correspondiente modelo de esfuerzos no lineal"
• Jongen, T. y Gatski, TB, "Relaciones de tensión algebraicas explícitas generales y mejores aproximaciones para flujos tridimensionales", Int. J. Engineering Science