Métodos numéricos Sinc

En análisis numérico y matemáticas aplicadas , los métodos numéricos sinc son técnicas numéricas ^{[ 1 ]} para encontrar soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales parciales y ecuaciones integrales basadas en las traslaciones de la función sinc y la función cardinal C(f,h) que es una expansión de f definida por

${\displaystyle C(f,h)(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(kh)\,{\textrm {sinc}}\left({\dfrac {x}{h}}-k\right)}$

donde el tamaño del paso h>0 y donde la función sinc se define por

${\displaystyle {\textrm {sinc}}(x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}$

Los métodos de aproximación Sinc son excelentes para problemas cuyas soluciones pueden tener singularidades, dominios infinitos o capas límite.

La expansión Sinc truncada de f se define mediante la siguiente serie:

${\displaystyle C_{M,N}(f,h)(x)=\displaystyle \sum _{k=-M}^{N}f(kh)\,{\textrm {sinc}}\left({\dfrac {x}{h}}-k\right)}$.

• aproximación de funciones,
• aproximación de derivadas ,
• integración aproximada definida e indefinida ,
• solución aproximada de problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) con valores iniciales y de contorno,
• aproximación e inversión de las transformadas de Fourier y Laplace ,
• aproximación de transformadas de Hilbert ,
• aproximación de convolución definida e indefinida ,
• solución aproximada de ecuaciones diferenciales parciales,
• solución aproximada de ecuaciones integrales ,
• construcción de mapas conformes.

De hecho, las funciones Sinc son omnipresentes para aproximar cualquier operación de cálculo.

En la configuración estándar de los métodos numéricos sinc, se sabe que los errores (en notación de O grande ) son${\displaystyle O\left(e^{-c{\sqrt {n}}}\right)}$con algún c>0, donde n es el número de nodos o bases utilizados en los métodos. Sin embargo, Sugihara ^{[ 2 ]} ha descubierto recientemente que los errores en los métodos numéricos Sinc basados ​​en la transformación exponencial doble son${\displaystyle O\left(e^{-{\frac {kn}{\ln n}}}\right)}$con algún k>0, en una configuración que también es significativa tanto teórica como prácticamente y se consideran las mejores posibles en cierto sentido matemático.

• Stenger, Frank (2011). Manual de métodos numéricos Sinc . Boca Raton, Florida: CRC Press. ISBN 9781439821596.
• Lund, John; Bowers, Kenneth (1992). Métodos Sinc para cuadratura y ecuaciones diferenciales . Filadelfia: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). ISBN 9780898712988.