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Articulo de referencia

DIIS

DIIS ( inversión directa en el subespacio iterativo o inversión directa del subespacio iterativo ), también conocida como mezcla de Pulay , es una técnica para extrapolar la sol...

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DIIS ( inversión directa en el subespacio iterativo o inversión directa del subespacio iterativo ), también conocida como mezcla de Pulay , es una técnica para extrapolar la solución de un conjunto de ecuaciones lineales minimizando directamente un residuo de error (por ejemplo, un tamaño de paso de Newton-Raphson ) con respecto a una combinación lineal de vectores de muestra conocidos. DIIS fue desarrollada por Peter Pulay en el campo de la química cuántica computacional con la intención de acelerar y estabilizar la convergencia del método de campo autoconsistente de Hartree-Fock . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

En cada iteración, el método construye una combinación lineal de vectores de error aproximados de iteraciones anteriores. Los coeficientes de la combinación lineal se determinan para aproximar de la mejor manera posible, en el sentido de mínimos cuadrados , el vector nulo . Los coeficientes recién determinados se utilizan para extrapolar la variable de la función para la siguiente iteración.

Se ha demostrado que el método es equivalente a la aceleración de Anderson preexistente [ 4 ] y que se reduce a GMRES en el caso lineal [ 5 ] .

Detalles

En cada iteración, se determina un vector de error aproximado, e i , correspondiente al valor de la variable, p i . Después de suficientes iteraciones, se construye una combinación lineal de m vectores de error anteriores.

mimetro+1=∑i=1metro doimii.{\displaystyle \mathbf {e} _{m+1}=\sum _{i=1}^{m}\ c_{i}\mathbf {e} _{i}.}

El método DIIS busca minimizar la norma de e m +1 bajo la restricción de que la suma de los coeficientes sea igual a uno. La razón por la que los coeficientes deben sumar uno se puede ver si escribimos el vector de prueba como la suma de la solución exacta ( p f ) y un vector de error. En la aproximación DIIS, obtenemos:

pag=∑idoi(pagF+mii)=pagF∑idoi+∑idoimii{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &=\sum _{i}c_{i}\left(\mathbf {p} ^{\text{f}}+\mathbf {e} _{i}\right)\\&=\mathbf {p} ^{\text{f}}\sum _{i}c_{i}+\sum _{i}c_{i}\mathbf {e} _{i}\end{aligned}}}

Minimizamos el segundo término, aunque es evidente que la suma de los coeficientes debe ser igual a uno si queremos encontrar la solución exacta. La minimización se realiza mediante una técnica de multiplicadores de Lagrange . Introduciendo un multiplicador indeterminado λ , se construye un lagrangiano como

L=‖mimetro+1‖2−2λ(∑i doi−1),=∑ijdojBjidoi−2λ(∑i doi−1), dónde Bij=⟨mij,mii⟩.{\displaystyle {\begin{aligned}L&=\left\|\mathbf {e} _{m+1}\right\|^{2}-2\lambda \left(\sum _{i}\ c_{i}-1\right),\\&=\sum _{ij}c_{j}B_{ji}c_{i}-2\lambda \left(\sum _{i}\ c_{i}-1\right),{\text{ donde }}B_{ij}=\langle \mathbf {e} _{j},\mathbf {e} _{i}\rangle .\end{aligned}}}

Igualar a cero las derivadas de L con respecto a los coeficientes y el multiplicador conduce a un sistema de ( m + 1) ecuaciones lineales que deben resolverse para los m coeficientes (y el multiplicador de Lagrange).

[B11B12B13...B1metro−1B21B22B23...B2metro−1B31B32B33...B3metro−1⋮⋮⋮⋮⋱⋮Bmetro1Bmetro2Bmetro3...Bmetrometro−1111...10][do1do2do3⋮dometroλ]=[000⋮01]{\displaystyle {\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}&B_{13}&...&B_{1m}&-1\\B_{21}&B_{22}&B_{23}&...&B_{2m}&-1\\B_{31}&B_{32}&B_{33}&...&B_{3m}&-1\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{m1}&B_{m2}&B_{m3}&...&B_{mm}&-1\\1&1&1&...&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\\\vdots \\c_{m}\\\lambda \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\\vdots \\0\\1\end{bmatrix}}}

Al mover el signo menos a λ , se obtiene un problema simétrico equivalente.

[B11B12B13...B1metro1B21B22B23...B2metro1B31B32B33...B3metro1⋮⋮⋮⋮⋱⋮Bmetro1Bmetro2Bmetro3...Bmetrometro1111...10][do1do2do3⋮dometro−λ]=[000⋮01]{\displaystyle {\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}&B_{13}&...&B_{1m}&1\\B_{21}&B_{22}&B_{23}&...&B_{2m}&1\\B_{31}&B_{32}&B_{33}&...&B_{3m}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{m1}&B_{m2}&B_{m3}&...&B_{mm}&1\\1&1&1&...&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\\\vdots \\c_{m}\\-\lambda \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\\vdots \\0\\1\end{bmatrix}}}

Los coeficientes se utilizan luego para actualizar la variable como

pagmetro+1=∑i=1metrodoipagi.{\displaystyle \mathbf {p} _{m+1}=\sum _{i=1}^{m}c_{i}\mathbf {p} _{i}.}

Referencias

  1. ↑ Pulay, Péter (1980). "Aceleración de la convergencia de secuencias iterativas: el caso de la iteración SCF". Chemical Physics Letters . 73 (2): 393– 398. Bibcode : 1980CPL....73..393P . doi : 10.1016/0009-2614(80)80396-4 .
  2. ↑ Pulay, Péter (1982). "Aceleración mejorada de la convergencia SCF". Journal of Computational Chemistry . 3 (4): 556– 560. doi : 10.1002/jcc.540030413 . S2CID 120876883 . 
  3. ↑ Shepard, Ron; Minkoff, Michael (2010). "Algunos comentarios sobre el método DIIS". Molecular Physics . 105 ( 19–22 ): 2839–2848 . Bibcode : 2007MolPh.105.2839S . doi : 10.1080/00268970701691611 . S2CID 94014926 . 
  4. ↑ Lin, Lin; Yang, Chao (2013). "Precondicionador elíptico para acelerar la iteración del campo autoconsistente en la teoría funcional de la densidad de Kohn-Sham". SIAM Journal on Scientific Computing . 35 (5): S277– S298. doi : 10.1137/120880604 .
  5. ↑ Walker, Homer F.; Ni, Peng (enero de 2011). "Aceleración de Anderson para iteraciones de punto fijo". SIAM Journal on Numerical Analysis . 49 (4): 1715– 1735. CiteSeerX 10.1.1.722.2636 . doi : 10.1137/10078356X . 

Literatura

  • Garza, Alejandro J.; Scuseria, Gustavo E. (2012). "Comparación de técnicas de aceleración de convergencia de campo autoconsistente" (PDF) . Journal of Chemical Physics . 173 (5): 054110. Bibcode : 2012JChPh.137e4110G . doi : 10.1063/1.4740249 . hdl : 1911/94152 . PMID 22894335 . 
  • Rohwedder, Thorsten; Schneider, Reinhold (2011). "Análisis del método de aceleración DIIS utilizado en cálculos de química cuántica". Journal of Mathematical Chemistry . 49 (9): 1889. CiteSeerX 10.1.1.461.1285 . doi : 10.1007/s10910-011-9863-y . S2CID 51759476 .  

Véase también

  • Las matemáticas de DIIS