Optimización biconvexa

La optimización biconvexa es una generalización de la optimización convexa donde la función objetivo y el conjunto de restricciones pueden ser biconvexos. Existen métodos que permiten encontrar el óptimo global de estos problemas. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Un conjunto${\displaystyle B\subset X\times Y}$se denomina conjunto biconvexo en${\displaystyle X\times Y}$si para cada fijo${\displaystyle y\in Y}$,${\displaystyle B_{y}=\{x\in X:(x,y)\in B\}}$es un conjunto convexo en${\displaystyle X}$y para cada fijo${\displaystyle x\in X}$,${\displaystyle B_{x}=\{y\in Y:(x,y)\in B\}}$es un conjunto convexo en${\displaystyle Y}$.

Una función${\displaystyle f(x,y):B\to \mathbb {R} }$Se denomina función biconvexa si se fija${\displaystyle x}$,${\displaystyle f_{x}(y)=f(x,y)}$es convexo sobre${\displaystyle Y}$y reparación${\displaystyle y}$,${\displaystyle f_{y}(x)=f(x,y)}$es convexo sobre${\displaystyle X}$.

Una práctica común para resolver un problema biconvexo (que no garantiza la optimalidad global de la solución) es actualizar alternativamente${\displaystyle x,y}$fijando uno de ellos y resolviendo el problema de optimización convexa correspondiente. ^{[ 1 ]}

La generalización a funciones de más de dos argumentos se denomina función multiconvexa por bloques .${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{K})\to \mathbb {R} }$ es multiconvexo por bloques si y solo si es convexo con respecto a cada uno de los argumentos individuales mientras se mantienen fijos todos los demás. ^{[ 3 ]}