Programación geométrica

Un programa geométrico ( PG ) es un problema de optimización de la forma

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\mbox{minimizar}}&f_{0}(x)\\{\mbox{sujeto a}}&f_{i}(x)\leq 1,\quad i=1,\ldots ,m\\&g_{i}(x)=1,\quad i=1,\ldots ,p,\end{array}}}$

dónde${\displaystyle f_{0},\dots ,f_{m}}$son sinónimos y${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{p}}$son monomios. En el contexto de la programación geométrica (a diferencia de las matemáticas estándar), un monomio es una función de${\displaystyle \mathbb {R} _{++}^{n}}$a${\displaystyle \mathbb {R} }$definido como

${\displaystyle x\mapsto cx_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}\cdots x_{n}^{a_{n}}}$

dónde${\displaystyle c>0\ }$y${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} }$Un posinomio es cualquier suma de monomios. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

La programación geométrica está estrechamente relacionada con la optimización convexa : cualquier GP puede hacerse convexa mediante un cambio de variables. ^{[ 2 ]} Los GP tienen numerosas aplicaciones, incluyendo el dimensionamiento de componentes en el diseño de circuitos integrados , ^{[ 3 ] [ 4 ]} el diseño de aeronaves, ^{[ 5 ]} la estimación de máxima verosimilitud para la regresión logística en estadística y el ajuste de parámetros de sistemas lineales positivos en la teoría de control . ^{[ 6 ]}

Los programas geométricos no son en general problemas de optimización convexa, pero pueden transformarse en problemas convexos mediante un cambio de variables y una transformación de las funciones objetivo y de restricción. En particular, después de realizar el cambio de variables${\displaystyle y_{i}=\log(x_{i})}$y tomando el logaritmo de las funciones objetivo y de restricción, las funciones${\displaystyle f_{i}}$, es decir, los posinomios, se transforman en funciones log-sum-exp , que son convexas, y las funciones${\displaystyle g_{i}}$, es decir, los monomios, se vuelven afines . Por lo tanto, esta transformación transforma cada GP en un programa convexo equivalente. ^{[ 2 ]} De hecho, esta transformación log-log puede usarse para convertir una clase más amplia de problemas, conocida como programación convexa log-log (LLCP), en una forma convexa equivalente. ^{[ 7 ]}

Existen varios paquetes de software que ayudan a formular y resolver problemas geométricos.

• MOSEK es un solucionador comercial capaz de resolver programas geométricos, así como otros problemas de optimización no lineal.
• CVXOPT es un solucionador de código abierto para problemas de optimización convexa.
• GPkit es un paquete de Python para definir y manipular de forma limpia modelos de programación geométrica. Aquí encontrará varios ejemplos de modelos GP escritos con este paquete .
• GGPLAB es una caja de herramientas de MATLAB para especificar y resolver programas geométricos (GP) y programas geométricos generalizados (GGP).
• CVXPY es un lenguaje de modelado integrado en Python para especificar y resolver problemas de optimización convexa, incluidos GP, GGP y LLCP. ^{[ 7 ]}

• Signomio
• Clarence Zener