Programación fraccionaria

En optimización matemática , la programación fraccionaria es una generalización de la programación fraccionaria lineal . La función objetivo en un programa fraccionario es una relación de dos funciones que, en general, son no lineales. La relación que se va a optimizar suele describir algún tipo de eficiencia de un sistema.

Sean funciones de valor real definidas en un conjunto . Sea . El programa no lineal${\displaystyle f,g,h_{j},j=1,\ldots ,m}$${\displaystyle \mathbf {S} _{0}\subconjunto \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {S} =\{{\boldsymbol {x}}\in \mathbf {S} _{0}:h_{j}({\boldsymbol {x}})\leq 0,j=1,\ldots ,m\}}$

${\displaystyle {\underset {{\boldsymbol {x}}\in \mathbf {S} }{\text{maximizar}}}\quad {\frac {f({\boldsymbol {x}})}{g({\boldsymbol {x}})}},}$

donde en , se llama programa fraccionario. ${\displaystyle g({\boldsymbol {x}})>0}$${\displaystyle \mathbf {S}}$

Un programa fraccionario en el que f es no negativo y cóncavo, g es positivo y convexo, y S es un conjunto convexo se denomina programa fraccionario cóncavo . Si g es afín, no es necesario restringir el signo de f . El programa fraccionario lineal es un caso especial de un programa fraccionario cóncavo en el que todas las funciones son afines. ${\displaystyle f,g,h_{j},j=1,\ldots ,m}$

La función es semiestrictamente cuasiconcava en S. Si f y g son diferenciables, entonces q es pseudocóncava . En un programa fraccionario lineal, la función objetivo es pseudolineal . ${\displaystyle q({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {x}})/g({\boldsymbol {x}})}$

Mediante la transformación , cualquier programa fraccionario cóncavo se puede transformar en el programa cóncavo libre de parámetros equivalente ^[1]${\displaystyle {\boldsymbol {y}}={\frac {\boldsymbol {x}}{g({\boldsymbol {x}})}};t={\frac {1}{g({\boldsymbol {x}})}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {{\frac {\boldsymbol {y}}{t}}\in \mathbf {S} _{0}}{\text{maximizar}}}\quad &tf\left({\frac {\boldsymbol {y}}{t}}\right)\\{\text{sujeto a}}\quad &tg\left({\frac {\boldsymbol {y}}{t}}\right)\leq 1,\\&t\geq 0.\end{aligned}}}$

Si g es afín, la primera restricción se cambia a y se puede descartar el supuesto de que g es positivo. Además, se simplifica a . ${\displaystyle tg({\frac {\boldsymbol {y}}{t}})=1}$${\displaystyle g({\boldsymbol {y}})=1}$

El dual lagrangiano del programa cóncavo equivalente es

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {\boldsymbol {u}}{\text{minimizar}}}\quad &{\underset {{\boldsymbol {x}}\in \mathbf {S} _{0}}{\operatorname {sup} }}{\frac {f({\boldsymbol {x}})-{\boldsymbol {u}}^{T}{\boldsymbol {h}}({\boldsymbol {x}})}{g({\boldsymbol {x}})}}\\{\text{sujeto a}}\quad &u_{i}\geq 0,\quad i=1,\dots ,m.\end{aligned}}}$

• Avriel, Mordecai; Diewert, Walter E.; Schaible, Siegfried; Zang, Israel (1988). Concavidad generalizada . Plenum Press.
• Schaible, Siegfried (1983). "Programación fraccionada". Zeitschrift für Investigación de operaciones . 27 : 39–54. doi :10.1007/bf01916898. S2CID  28766871.