Quasiconvex function

In mathematics, a quasiconvex function is a real-valued function defined on a convex subset of a real vector space, such that for any real number y, the set of points on which the function value is at most y is a convex set. In other words, the inverse image of any set of the form ${\displaystyle (-\infty ,y)}$ is a convex set. An equivalent definition is: along any interval in the function domain, the function attains the highest value on one of the endpoints.

Quasiconvexity is a more general property than convexity: all convex functions are also quasiconvex, but not all quasiconvex functions are convex.

For one-dimensional functions (functions on R), to check graphically whether a function is quasiconvex, move a horizontal line from minus infinity upwards, and verify that, whenever the line intersects the region above the function graph, the intersection is an interval.

A quasiconcave function is the negative of a quasiconvex function. In a quasiconcave function, for any real number y, the set of points on which the function value is at leasty is convex. Equivalently, along any interval in the function domain, the function attains the lowest value on one of the endpoints. In one dimension, verify that, for any horizontal line that intersects the region below the function graph, the intersection is an interval.

Univariateunimodal functions are quasiconvex or quasiconcave, however this is not necessarily the case for functions with multiple arguments. For example, the 2-dimensional Rosenbrock function is unimodal but not quasiconvex and functions with star-convex sublevel sets can be unimodal without being quasiconvex.

Una función definida en un subconjunto convexo de un espacio vectorial real es cuasiconvexa si para todo y tenemos${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle x,y\in S}$${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}.}$

En otras palabras, la función objetivo es cuasiconvexa si y solo si el máximo de a lo largo de una línea recta entre dos puntos extremos cualesquiera nunca es mayor que el valor en el punto extremo superior. Nótese que los puntos y pueden ser puntos en un espacio n -dimensional. Si la desigualdad es estricta, es decir${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)<\max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}}$

Para todo y , entonces es estrictamente cuasiconvexa . Es decir, la cuasiconvexidad estricta requiere que un punto situado directamente entre otros dos puntos debe dar un valor de la función menor que el que da uno de los otros puntos.${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle \lambda \in (0,1)}$${\displaystyle f}$

Una forma alternativa (véase la introducción) de definir una función cuasiconvexa consiste en exigir que cada subconjunto sea un conjunto convexo. De ello se deduce que, para toda función estrictamente cuasiconvexa, existe una transformación de coordenadas estrictamente monótona creciente tal que es estrictamente convexa.${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle S_{\alpha }(f)=\{x\mid f(x)\leq \alpha \}}$${\displaystyle m:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle m(f(x))}$

Una función cuasiconcava es una función cuyo negativo es cuasiconvexo, y una función estrictamente cuasiconcava es una función cuyo negativo es estrictamente cuasiconvexo. De forma equivalente, una función es cuasiconcava si y solo si${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\geq \min {\big \{}f(x),f(y){\big \}}.}$

Una función (estrictamente) cuasiconvexa tiene conjuntos de contorno inferior (estrictamente) convexos , mientras que una función (estrictamente) cuasiconcava tiene conjuntos de contorno superior (estrictamente) convexos . Las distribuciones de probabilidad unimodales , como la distribución gaussiana, son ejemplos comunes de funciones cuasiconcavas que no son cóncavas.

Una función que es a la vez cuasiconvexa y cuasiconcava es cuasilineal y satisface

${\displaystyle \min {\big \{}f(x),f(y){\big \}}\leq f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}}$

Para una función cuasilineal definida en un plano, los conjuntos de nivel son siempre líneas. De forma más general, los conjuntos de nivel de una función cuasilineal sobre son planos de dimensión .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n-1}$

Las funciones cuasiconvexas tienen aplicaciones en el análisis matemático , en la optimización matemática y en la teoría de juegos y la economía .

• Toda función convexa es cuasiconvexa.
• Una función cóncava puede ser cuasiconvexa. Por ejemplo, es a la vez cóncava y cuasiconvexa.${\displaystyle x\mapsto \log(x)}$
• Cualquier función monótona es a la vez cuasiconvexa y cuasiconcava. En términos más generales, una función que disminuye hasta un punto y aumenta a partir de ese punto es cuasiconvexa (compárese con la unimodalidad ).
• La función piso es un ejemplo de función cuasiconvexa que no es ni convexa ni continua.${\displaystyle x\mapsto \lfloor x\rfloor }$

• Función convexa
• Función cóncava
• función cóncava logarítmica
• Pseudoconvexidad en el sentido de varias variables complejas (no convexidad generalizada)
• Función pseudoconvexa
• Función invexa
• Concavificación

• Avriel, M., Diewert, WE, Schaible, S. y Zang, I., Concavidad generalizada , Plenum Press, 1988.
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• Singer, Ivan. Análisis convexo abstracto . Serie de monografías y textos avanzados de la Sociedad Matemática Canadiense. Publicación de Wiley-Interscience. John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1997. xxii + 491 págs. ISBN  0-471-16015-6

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• Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad - por Martin J. Osborne, Departamento de Economía de la Universidad de Toronto