Concavificación

En matemáticas, la concavificación es el proceso de convertir una función no cóncava en una función cóncava . Un concepto relacionado es la convexificación : la conversión de una función no convexa en una función convexa . Es especialmente importante en economía y optimización matemática . ^{[ 1 ]}

Concavificación de una función cuasicóncava mediante transformación monótona

Un caso especial importante de concavificación se da cuando la función original es una función cuasiconcava . Se sabe que:

Toda función cóncava es cuasicóncava, pero lo contrario no es cierto.
Toda transformación monótona de una función cuasiconcava es también cuasiconcava. Por ejemplo, si es cuasiconcava y es una función monótonamente creciente, entonces también es cuasiconcava. $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $x\mapsto g(f(x))$

Por lo tanto, una pregunta natural es: dada una función cuasicóncava , ¿existe una función monótonamente creciente tal que sea cóncava? $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $x\mapsto g(f(x))$

Ejemplo y contraejemplo

Como ejemplo, consideremos la función en el dominio . Esta función es cuasicóncava, pero no es cóncava (de hecho, es estrictamente convexa). Se puede concavificar, por ejemplo, mediante la transformación monótona , ya que es cóncava. $x\mapsto f(x)=x^{2}$ $x\geq 0$ $t\mapsto g(t)=t^{1/4}$ $x\mapsto g(f(x))={\sqrt {x}}$

No toda función cóncava puede ser concavificada de esta manera. Fenchel mostró un contraejemplo. ^{[ 2 ]} Su ejemplo es: . Fenchel demostró que esta función es cuasicóncava, pero no existe ninguna transformación monótona tal que sea cóncava. ^[³^]^:^7–9 $(x,y)\mapsto f(x,y):=y+{\sqrt {x+y^{2}}}$ $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $(x,y)\mapsto g(f(x,y))$

Basándonos en estos ejemplos, definimos una función como cóncava si existe una transformación monótona que la hace cóncava. La pregunta ahora es: ¿qué funciones cuasiconcavas son cóncavas?

Concavidad

Yakar Kannai trata la cuestión en profundidad en el contexto de las funciones de utilidad , dando condiciones suficientes bajo las cuales las preferencias convexas continuas pueden representarse mediante funciones de utilidad cóncavas. ^{[ 4 ]}

Sus resultados fueron generalizados posteriormente por Connell y Rasmussen, ^{[ 3 ]} quienes proporcionan condiciones necesarias y suficientes para la concavidad. Demuestran que la función incumple dichas condiciones y, por lo tanto, no es concavable. Prueban que esta función es estrictamente cuasiconcava y que su gradiente no se anula, pero no es concavable. $(x,y)\mapsto f(x,y)=e^{e^{x}}\cdot y$

Referencias

↑ Li, D.; Sun, XL; Biswal, MP; Gao, F. (2001-07-01). "Convexificación, concavidad y monotonización en la optimización global". Annals of Operations Research . 105 ( 1– 4): 213– 226. doi : 10.1023/A:1013313901854 . ISSN 0254-5330 . S2CID 7570136 .
↑ Fenchel (1953). Conos convexos, conjuntos y funciones . Universidad de Princeton.
1 2 Connell, Christopher; Rasmusen, Eric Bennett (diciembre de 2017). "Concavificando lo cuasicóncavo". Journal of Convex Analysis . 24 (4): 1239– 1262.
↑ Kannai, Yakar (1977-03-01). "Concavidad y construcciones de funciones de utilidad cóncavas". Journal of Mathematical Economics . 4 (1): 1– 56. doi : 10.1016/0304-4068(77)90015-5 . ISSN 0304-4068 .

[1] Li, D.; Sun, XL; Biswal, MP; Gao, F. (2001-07-01). "Convexificación, concavidad y monotonización en la optimización global". Annals of Operations Research . 105 ( 1– 4): 213– 226. doi : 10.1023/A:1013313901854 . ISSN 0254-5330 . S2CID 7570136 .

[2] Fenchel (1953). Conos convexos, conjuntos y funciones . Universidad de Princeton.

[Connell_2012-3] 1 2 Connell, Christopher; Rasmusen, Eric Bennett (diciembre de 2017). "Concavificando lo cuasicóncavo". Journal of Convex Analysis . 24 (4): 1239– 1262.

[4] Kannai, Yakar (1977-03-01). "Concavidad y construcciones de funciones de utilidad cóncavas". Journal of Mathematical Economics . 4 (1): 1– 56. doi : 10.1016/0304-4068(77)90015-5 . ISSN 0304-4068 .

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