Función invexa

En cálculo vectorial , una función invexa es una función diferenciable.${\displaystyle f}$de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$a${\displaystyle \mathbb {R} }$para la cual existe una función con valores vectoriales${\displaystyle \eta }$de tal manera que

${\displaystyle f(x)-f(u)\geq \eta (x,u)\cdot \nabla f(u),\,}$

para todo x y u .

Las funciones invexas fueron introducidas por Hanson como una generalización de las funciones convexas . ^{[ 1 ]} Ben-Israel y Mond proporcionaron una demostración simple de que una función es invexa si y solo si cada punto estacionario es un mínimo global , un teorema enunciado por primera vez por Craven y Glover. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Hanson también demostró que si el objetivo y las restricciones de un problema de optimización son invexos con respecto a la misma función${\displaystyle \eta (x,u)}$, entonces las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker son suficientes para un mínimo global.

Una ligera generalización de las funciones invexas llamadas funciones invexas de tipo I son la clase más general de funciones para las cuales las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker son necesarias y suficientes para un mínimo global. ^{[ 4 ]} Consideremos un programa matemático de la forma

${\displaystyle {\begin{array}{rl}\min &f(x)\\{\text{st}}&g(x)\leq 0\end{array}}}$

dónde${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$y${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$son funciones diferenciables. Sea${\displaystyle F=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\;|\;g(x)\leq 0\}}$denota la región factible de este programa. La función${\displaystyle f}$es una función objetivo de tipo I y la función${\displaystyle g}$es una función de restricción de tipo I en${\displaystyle x_{0}}$con respecto a${\displaystyle \eta }$si existe una función con valores vectoriales${\displaystyle \eta }$definido en${\displaystyle F}$de tal manera que

${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq \eta (x)\cdot \nabla {f(x_{0})}}$

y

${\displaystyle -g(x_{0})\geq \eta (x)\cdot \nabla {g(x_{0})}}$

a pesar de${\displaystyle x\in {F}}$. ^{[ 5 ]} Nótese que, a diferencia de la invexidad, la invexidad de tipo I se define en relación con un punto${\displaystyle x_{0}}$.

Teorema (Teorema 2.1 en ^{[ 4 ]} ): Si${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$son de tipo I invexos en un punto${\displaystyle x^{*}}$con respecto a${\displaystyle \eta }$y las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker se satisfacen en${\displaystyle x^{*}}$, entonces${\displaystyle x^{*}}$es un minimizador global de${\displaystyle f}$encima${\displaystyle F}$.

Dejar${\displaystyle E}$de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$a${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y${\displaystyle f}$de${\displaystyle \mathbb {M} }$a${\displaystyle \mathbb {R} }$frijol${\displaystyle E}$-función diferenciable en un conjunto abierto no vacío${\displaystyle \mathbb {M} \subset \mathbb {R} ^{n}}$. Entonces${\displaystyle f}$Se dice que es una función E-invexa en ${\displaystyle u}$ si existe una función con valores vectoriales${\displaystyle \eta }$de tal manera que

${\displaystyle (f\circ E)(x)-(f\circ E)(u)\geq \nabla (f\circ E)(u)\cdot \eta (E(x),E(u)),\,}$

a pesar de${\displaystyle x}$y${\displaystyle u}$en${\displaystyle \mathbb {M} }$.

Abdulaleem introdujo las funciones E-invexas como una generalización de las funciones convexas diferenciables . ^{[ 6 ]}

Dejar${\displaystyle E:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$, y${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}$Sea un conjunto abierto E-invexo. Un par de vectores${\displaystyle (f,g)}$, dónde${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$Se dice que es de tipo E I con respecto a una función vectorial , donde representan respectivamente las funciones objetivo y de restricción.${\displaystyle \eta :M\times M\to \mathbb {R} ^{n}}$, en${\displaystyle u\in M}$, si se cumplen las siguientes desigualdades para todos${\displaystyle x\in F_{E}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\;|\;g(E(x))\leq 0\}}$:

${\displaystyle f_{i}(E(x))-f_{i}(E(u))\geq \nabla f_{i}(E(u))\cdot \eta (E(x),E(u)),}$

${\displaystyle -g_{j}(E(u))\geq \nabla g_{j}(E(u))\cdot \eta (E(x),E(u)).}$

• Función convexa
• Función pseudoconvexa
• función cuasiconvexa

• SK Mishra y G. Giorgi, Invexidad y optimización, Optimización no convexa y sus aplicaciones, Vol. 88 , Springer-Verlag, Berlín, 2008.
• SK Mishra, S.-Y. Wang y KK Lai, Convexidad generalizada y optimización vectorial, Springer, Nueva York, 2009.