Datos numéricos validados

La computación numérica validada , también conocida como cálculo riguroso , cálculo verificado , cálculo fiable o verificación numérica ( en alemán : Zuverlässiges Rechnen ), es un método numérico que incluye la evaluación matemáticamente estricta de errores (errores de redondeo, error de truncamiento y error de discretización), y constituye un campo del análisis numérico . Para el cálculo, se suele utilizar la aritmética de intervalos , donde todos los resultados se representan mediante intervalos. Warwick Tucker empleó la computación numérica validada para resolver el decimocuarto problema de Smale ^{[ 1 ]} , y hoy en día se reconoce como una herramienta poderosa para el estudio de sistemas dinámicos ^[²^] .

Importancia

Los cálculos sin verificación pueden dar lugar a resultados desafortunados. A continuación se muestran algunos ejemplos.

El ejemplo de Trump

En la década de 1980, Rump hizo un ejemplo. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} Creó una función compleja e intentó obtener su valor. Los resultados de precisión simple, doble y extendida parecían correctos, pero su signo positivo o negativo era diferente del valor real.

Solución fantasma

Breuer, Plum y McKenna utilizaron el método del espectro para resolver el problema de contorno de la ecuación de Emden e informaron que obtuvieron una solución asimétrica. ^{[ 5 ]} Este resultado del estudio contradijo el estudio teórico de Gidas, Ni y Nirenberg, que afirmaba que no existía una solución asimétrica. ^{[ 6 ]} La solución obtenida por Breuer, Plum y McKenna era una solución fantasma causada por un error de discretización. Este es un caso excepcional, pero nos indica que, al analizar rigurosamente las ecuaciones diferenciales, es necesario verificar las soluciones numéricas.

Accidentes causados por errores numéricos

Los siguientes ejemplos se conocen como accidentes causados por errores numéricos:

Fallo de los misiles interceptores en la Guerra del Golfo (1991) ^{[ 7 ]}
Fracaso del cohete Ariane 5 (1996) ^{[ 8 ]}
Errores en la totalización de los resultados electorales ^{[ 9 ]}

Temas principales

El estudio de los datos numéricos validados se divide en los siguientes campos:

Verificación en álgebra lineal numérica
- Validación de soluciones numéricas de un sistema dado de ecuaciones lineales ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}
- Validación de los autovalores obtenidos numéricamente ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}
- Calcular rigurosamente los determinantes ^{[ 15 ]}
- Validación de soluciones numéricas de ecuaciones matriciales ^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}^{[ 18 ]}^{[ 19 ]}^{[ 20 ]}^{[ 21 ]}^{[ 22 ]}
Verificación de funciones especiales :
- Función gamma ^{[ 23 ]}^{[ 24 ]}
- Funciones elípticas ^{[ 25 ]}
- Funciones hipergeométricas ^{[ 26 ]}
- Función zeta de Hurwitz ^{[ 27 ]}
- función de Bessel
- Función matricial ^{[ 28 ]}^{[ 29 ]}^{[ 30 ]}
Verificación de la cuadratura numérica ^{[ 31 ]}^{[ 32 ]}^{[ 33 ]}
Verificación de ecuaciones no lineales (Se estudian el teorema de Kantorovich , ^{[ 34 ]} el método de Krawczyk, el método de Newton de intervalos y el método de Durand-Kerner-Aberth).
Verificación para soluciones de EDO, EDP ^{[ 35 ]} (Para EDP, se utilizan conocimientos de análisis funcional . ^{[ 34 ]} )
Verificación de programación lineal ^{[ 36 ]}
Verificación de la geometría computacional
Verificación en un entorno de computación de alto rendimiento

Herramientas

Librería INTLAB creada por MATLAB / GNU Octave
Biblioteca kv escrita en C++ . Esta biblioteca puede obtener salidas de precisión múltiple utilizando GNU MPFR .
- kv en GitHub
La biblioteca Arb está escrita en C. Es capaz de calcular rigurosamente varias funciones especiales .
- arb en GitHub
CAPD Una colección de módulos C++ flexibles diseñados principalmente para el cálculo de homología de conjuntos, mapas y números validados para sistemas dinámicos .
JuliaIntervals en GitHub (Biblioteca creada con Julia )
Boost Safe Numerics: biblioteca de encabezados C++ que ofrece reemplazos validados para todos los tipos de enteros integrados .
- Datos numéricos seguros en GitHub

Véase también

Referencias

^ Tucker, Warwick . (1999). "El atractor de Lorenz existe". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences-Series I-Mathematics , 328(12), 1197–1202.
↑ Zin Arai, Hiroshi Kokubu, Paweãl Pilarczyk. Desarrollos recientes en métodos computacionales rigurosos en sistemas dinámicos .
↑ Rump, Siegfried M. (1988). "Algoritmos para inclusiones verificadas: Teoría y práctica." En Fiabilidad en la computación (págs. 109–126). Academic Press.
↑ Loh, Eugene; Walster, G. William (2002). El ejemplo de Rump revisitado. Reliable Computing, 8(3), 245-248.
↑ Breuer, B.; Plum, Michael; McKenna, Patrick J. (2001). "Inclusiones y pruebas de existencia para soluciones de un problema de contorno no lineal mediante métodos numéricos espectrales." En Temas de análisis numérico (págs. 61–77). Springer, Viena.
↑ Gidas, B.; Ni, Wei-Ming; Nirenberg, Louis (1979). "Simetría y propiedades relacionadas mediante el principio del máximo." Communications in Mathematical Physics , 68(3), 209–243.
↑ "El fracaso del misil Patriot" .
↑ Fallo del vuelo 501 de ARIANE 5, http://sunnyday.mit.edu/nasa-class/Ariane5-report.html
↑ El error de redondeo cambia la composición del Parlamento
↑ Yamamoto, T. (1984). Límites de error para soluciones aproximadas de sistemas de ecuaciones. Japan Journal of Applied Mathematics, 1(1), 157.
^ Oishi, S. y Rump, SM (2002). Verificación rápida de soluciones de ecuaciones matriciales. Numerische Mathematik, 90(4), 755-773.
^ Yamamoto, T. (1980). Límites de error para valores propios y vectores propios calculados. Numerische Mathematik, 34(2), 189-199.
^ Yamamoto, T. (1982). Límites de error para valores propios y vectores propios calculados. II. Numerische Mathematik, 40(2), 201-206.
↑ Mayer, G. (1994). Verificación de resultados para autovectores y autovalores. Temas en cálculos validados, Elsevier, Ámsterdam, 209-276.
↑ Ogita, T. (2008). Cálculo numérico verificado del determinante de una matriz. SCAN'2008 El Paso, Texas, 29 de septiembre - 3 de octubre de 2008, 86.
↑ Shinya Miyajima, Cálculo verificado para la solución hermitiana definida positiva de la ecuación algebraica de Riccati conjugada en tiempo discreto, Journal of Computational and Applied Mathematics, Volumen 350, Páginas 80-86, abril de 2019.
↑ Shinya Miyajima, Cálculo rápido y verificado para la solución mínima no negativa de la ecuación algebraica de Riccati no simétrica, Matemáticas Computacionales y Aplicadas, Volumen 37, Número 4, Páginas 4599-4610, septiembre de 2018.
↑ Shinya Miyajima, Cálculo rápido y verificado para la solución de la ecuación de Sylvester de congruencia T, Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, Volumen 35, Número 2, Páginas 541-551, julio de 2018.
↑ Shinya Miyajima, Cálculo rápido y verificado para el solvente de la ecuación matricial cuadrática, The Electronic Journal of Linear Algebra, Volumen 34, Páginas 137-151, marzo de 2018
↑ Shinya Miyajima, Cálculo rápido y verificado para soluciones de ecuaciones algebraicas de Riccati que surgen en la teoría del transporte, Álgebra lineal numérica con aplicaciones, Volumen 24, Número 5, Páginas 1-12, octubre de 2017.
↑ Shinya Miyajima, Cálculo rápido y verificado para la estabilización de soluciones de ecuaciones algebraicas de Riccati en tiempo discreto, Journal of Computational and Applied Mathematics, Volumen 319, Páginas 352-364, agosto de 2017.
↑ Shinya Miyajima, Cálculo rápido y verificado para soluciones de ecuaciones algebraicas de Riccati en tiempo continuo, Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, Volumen 32, Número 2, Páginas 529-544, julio de 2015.
↑ Rump, Siegfried M. (2014). Límites precisos verificados para la función gamma real en todo el rango de punto flotante. Nonlinear Theory and Its Applications, IEICE, 5(3), 339-348.
↑ Yamanaka, Naoya; Okayama, Tomoaki; Oishi, Shin'ichi (noviembre de 2015). Límites de error verificados para la función gamma real mediante la fórmula exponencial doble en un intervalo semiinfinito. En Conferencia internacional sobre aspectos matemáticos de las ciencias de la computación e información (págs. 224-228). Springer.
↑ Johansson, Fredrik (2019). Evaluación numérica de funciones elípticas, integrales elípticas y formas modulares. En Integrales elípticas, funciones elípticas y formas modulares en la teoría cuántica de campos (pp. 269-293). Springer, Cham.
↑ Johansson, Fredrik (2019). Cálculo riguroso de funciones hipergeométricas. ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS), 45(3), 30.
↑ Johansson, Fredrik (2015). Cálculo riguroso de alta precisión de la función zeta de Hurwitz y sus derivadas. Numerical Algorithms, 69(2), 253-270.
↑ Miyajima, S. (2018). Cálculo rápido y verificado de la raíz p-ésima principal de una matriz. en:Journal of Computational and Applied Mathematics , 330, 276-288.
↑ Miyajima, S. (2019). Cálculo verificado para el logaritmo principal de una matriz. Álgebra lineal y sus aplicaciones, 569, 38-61.
↑ Miyajima, S. (2019). Cálculo verificado de la exponencial matricial. Advances in Computational Mathematics, 45(1), 137-152.
↑ Johansson, Fredrik (2017). Arb: aritmética de intervalos de radio de punto medio de precisión arbitraria eficiente. IEEE Transactions on Computers, 66(8), 1281-1292.
↑ Johansson, Fredrik (2018, julio). Integración numérica en aritmética de bolas de precisión arbitraria. En Congreso Internacional sobre Software Matemático (págs. 255-263). Springer, Cham.
↑ Johansson, Fredrik; Mezzarobba, Marc (2018). Cálculo rápido y riguroso de precisión arbitraria de nodos y pesos de cuadratura de Gauss-Legendre. SIAM Journal on Scientific Computing , 40(6), C726-C747.
1 2 Eberhard Zeidler , Análisis funcional no lineal y sus aplicaciones IV. Springer Science & Business Media .
↑ Mitsuhiro T. Nakao, Michael Plum, Yoshitaka Watanabe (2019) Métodos de verificación numérica y demostraciones asistidas por computadora para ecuaciones diferenciales parciales (Springer Series in Computational Mathematics).
↑ Oishi, Shin'ichi; Tanabe, Kunio (2009). Inclusión numérica del punto óptimo para la programación lineal. JSIAM Letters, 1, 5-8.

Lecturas adicionales

Tucker, Warwick (2011). Validated Numerics: A Short Introduction to Rigorous Computations. Princeton University Press .
Moore, Ramon Edgar , Kearfott, R. Baker, Cloud, Michael J. (2009). Introducción al análisis de intervalos. Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas .
Rump, Siegfried M. (2010). Métodos de verificación: resultados rigurosos utilizando aritmética de punto flotante. Acta Numerica , 19, 287–449.

Enlaces externos

Valores numéricos validados para peatones
Reliable Computing , una revista electrónica abierta dedicada a los cálculos numéricos con precisión garantizada, la delimitación de rangos, las demostraciones matemáticas basadas en aritmética de punto flotante y otras teorías y aplicaciones de la aritmética de intervalos y el redondeo dirigido.

[Tucker_1999-1] Tucker, Warwick . (1999). "El atractor de Lorenz existe". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences-Series I-Mathematics , 328(12), 1197–1202.

[Kokubu-2] Zin Arai, Hiroshi Kokubu, Paweãl Pilarczyk. Desarrollos recientes en métodos computacionales rigurosos en sistemas dinámicos .

[Rump_1988-3] Rump, Siegfried M. (1988). "Algoritmos para inclusiones verificadas: Teoría y práctica." En Fiabilidad en la computación (págs. 109–126). Academic Press.

[Loh_2002-4] Loh, Eugene; Walster, G. William (2002). El ejemplo de Rump revisitado. Reliable Computing, 8(3), 245-248.

[Breuer_2001-5] Breuer, B.; Plum, Michael; McKenna, Patrick J. (2001). "Inclusiones y pruebas de existencia para soluciones de un problema de contorno no lineal mediante métodos numéricos espectrales." En Temas de análisis numérico (págs. 61–77). Springer, Viena.

[Gidas_1979-6] Gidas, B.; Ni, Wei-Ming; Nirenberg, Louis (1979). "Simetría y propiedades relacionadas mediante el principio del máximo." Communications in Mathematical Physics , 68(3), 209–243.

[Arnold-7] "El fracaso del misil Patriot" .

[Ariane-8] Fallo del vuelo 501 de ARIANE 5, http://sunnyday.mit.edu/nasa-class/Ariane5-report.html

[Makeup-9] El error de redondeo cambia la composición del Parlamento

[10] Yamamoto, T. (1984). Límites de error para soluciones aproximadas de sistemas de ecuaciones. Japan Journal of Applied Mathematics, 1(1), 157.

[11] Oishi, S. y Rump, SM (2002). Verificación rápida de soluciones de ecuaciones matriciales. Numerische Mathematik, 90(4), 755-773.

[12] Yamamoto, T. (1980). Límites de error para valores propios y vectores propios calculados. Numerische Mathematik, 34(2), 189-199.

[13] Yamamoto, T. (1982). Límites de error para valores propios y vectores propios calculados. II. Numerische Mathematik, 40(2), 201-206.

[14] Mayer, G. (1994). Verificación de resultados para autovectores y autovalores. Temas en cálculos validados, Elsevier, Ámsterdam, 209-276.

[15] Ogita, T. (2008). Cálculo numérico verificado del determinante de una matriz. SCAN'2008 El Paso, Texas, 29 de septiembre - 3 de octubre de 2008, 86.

[16] Shinya Miyajima, Cálculo verificado para la solución hermitiana definida positiva de la ecuación algebraica de Riccati conjugada en tiempo discreto, Journal of Computational and Applied Mathematics, Volumen 350, Páginas 80-86, abril de 2019.

[17] Shinya Miyajima, Cálculo rápido y verificado para la solución mínima no negativa de la ecuación algebraica de Riccati no simétrica, Matemáticas Computacionales y Aplicadas, Volumen 37, Número 4, Páginas 4599-4610, septiembre de 2018.

[18] Shinya Miyajima, Cálculo rápido y verificado para la solución de la ecuación de Sylvester de congruencia T, Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, Volumen 35, Número 2, Páginas 541-551, julio de 2018.

[19] Shinya Miyajima, Cálculo rápido y verificado para el solvente de la ecuación matricial cuadrática, The Electronic Journal of Linear Algebra, Volumen 34, Páginas 137-151, marzo de 2018

[20] Shinya Miyajima, Cálculo rápido y verificado para soluciones de ecuaciones algebraicas de Riccati que surgen en la teoría del transporte, Álgebra lineal numérica con aplicaciones, Volumen 24, Número 5, Páginas 1-12, octubre de 2017.

[21] Shinya Miyajima, Cálculo rápido y verificado para la estabilización de soluciones de ecuaciones algebraicas de Riccati en tiempo discreto, Journal of Computational and Applied Mathematics, Volumen 319, Páginas 352-364, agosto de 2017.

[22] Shinya Miyajima, Cálculo rápido y verificado para soluciones de ecuaciones algebraicas de Riccati en tiempo continuo, Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, Volumen 32, Número 2, Páginas 529-544, julio de 2015.

[Rump_2014-23] Rump, Siegfried M. (2014). Límites precisos verificados para la función gamma real en todo el rango de punto flotante. Nonlinear Theory and Its Applications, IEICE, 5(3), 339-348.

[Yamanaka_2015-24] Yamanaka, Naoya; Okayama, Tomoaki; Oishi, Shin'ichi (noviembre de 2015). Límites de error verificados para la función gamma real mediante la fórmula exponencial doble en un intervalo semiinfinito. En Conferencia internacional sobre aspectos matemáticos de las ciencias de la computación e información (págs. 224-228). Springer.

[Johansson_2019_1-25] Johansson, Fredrik (2019). Evaluación numérica de funciones elípticas, integrales elípticas y formas modulares. En Integrales elípticas, funciones elípticas y formas modulares en la teoría cuántica de campos (pp. 269-293). Springer, Cham.

[Johansson_2019_2-26] Johansson, Fredrik (2019). Cálculo riguroso de funciones hipergeométricas. ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS), 45(3), 30.

[Johansson_2015-27] Johansson, Fredrik (2015). Cálculo riguroso de alta precisión de la función zeta de Hurwitz y sus derivadas. Numerical Algorithms, 69(2), 253-270.

[28] Miyajima, S. (2018). Cálculo rápido y verificado de la raíz p-ésima principal de una matriz. en:Journal of Computational and Applied Mathematics , 330, 276-288.

[29] Miyajima, S. (2019). Cálculo verificado para el logaritmo principal de una matriz. Álgebra lineal y sus aplicaciones, 569, 38-61.

[30] Miyajima, S. (2019). Cálculo verificado de la exponencial matricial. Advances in Computational Mathematics, 45(1), 137-152.

[Johansson_2017-31] Johansson, Fredrik (2017). Arb: aritmética de intervalos de radio de punto medio de precisión arbitraria eficiente. IEEE Transactions on Computers, 66(8), 1281-1292.

[Johansson_2018_1-32] Johansson, Fredrik (2018, julio). Integración numérica en aritmética de bolas de precisión arbitraria. En Congreso Internacional sobre Software Matemático (págs. 255-263). Springer, Cham.

[Johansson_2018_2-33] Johansson, Fredrik; Mezzarobba, Marc (2018). Cálculo rápido y riguroso de precisión arbitraria de nodos y pesos de cuadratura de Gauss-Legendre. SIAM Journal on Scientific Computing , 40(6), C726-C747.

[zeidler-34] 1 2 Eberhard Zeidler , Análisis funcional no lineal y sus aplicaciones IV. Springer Science & Business Media .

[nakao-35] Mitsuhiro T. Nakao, Michael Plum, Yoshitaka Watanabe (2019) Métodos de verificación numérica y demostraciones asistidas por computadora para ecuaciones diferenciales parciales (Springer Series in Computational Mathematics).

[Oishi_2009-36] Oishi, Shin'ichi; Tanabe, Kunio (2009). Inclusión numérica del punto óptimo para la programación lineal. JSIAM Letters, 1, 5-8.

[ 1 ]

[

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]