Teorema de equioscilación

En matemáticas , el teorema de equioscilación se refiere a la aproximación de funciones continuas mediante polinomios cuando la función de mérito es la diferencia máxima ( norma uniforme ). Su descubrimiento se atribuye a Chebyshev . ^[1]

Sea una función continua de a . Entre todos los polinomios de grado , el polinomio minimiza la norma uniforme de la diferencia si y solo si hay puntos tales que donde es -1 o +1. ^{[1] [2]}${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización [a,b]}$${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \leq n}$${\estilo de visualización g}$${\displaystyle \|fg\|_{\infty }}$${\estilo de visualización n+2}$${\displaystyle a\leq x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n+1}\leq b}$${\displaystyle f(x_{i})-g(x_{i})=\sigma (-1)^{i}\|fg\|_{\infty }}$${\estilo de visualización \sigma}$

El teorema de equioscilación también es válido cuando los polinomios se sustituyen por funciones racionales: entre todas las funciones racionales cuyo numerador tiene grado y denominador tiene grado , la función racional , siendo y polinomios relativamente primos de grado y , minimiza la norma uniforme de la diferencia si y sólo si hay puntos tales que donde es -1 o +1. ^[1]${\displaystyle \leq n}$${\displaystyle \leq m}$${\displaystyle g=p/q}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización q}$${\estilo de visualización n-\nu}$${\estilo de visualización m-\mu}$${\displaystyle \|fg\|_{\infty }}$${\displaystyle m+n+2-\min\{\mu ,\nu \}}$${\displaystyle a\leq x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n+1}\leq b}$${\displaystyle f(x_{i})-g(x_{i})=\sigma (-1)^{i}\|fg\|_{\infty }}$${\estilo de visualización \sigma}$

Hay varios algoritmos de aproximación minimax disponibles, siendo el más común el algoritmo Remez .

• Notas sobre cómo demostrar el teorema de equioscilación de Chebyshev en Wayback Machine (archivado el 2 de julio de 2011)
• El teorema de equioscilación de Chebyshev de Robert Mayans
• El teorema de alternancia de De la Vallée-Poussin en la Enciclopedia de Matemáticas
• Teoría de aproximación de Remco Bloemen