Aproximación de funciones por mínimos cuadrados

En matemáticas , la aproximación de funciones por mínimos cuadrados aplica este principio a la aproximación de funciones mediante una suma ponderada de otras funciones. La mejor aproximación se define como aquella que minimiza la diferencia entre la función original y la aproximación; en el método de mínimos cuadrados, la calidad de la aproximación se mide en términos de las diferencias al cuadrado entre ambas.

Análisis funcional

Una generalización a la aproximación de un conjunto de datos es la aproximación de una función mediante una suma de otras funciones, generalmente un conjunto ortogonal : ^{[ 1 ]}

f(x)\approx f_{n}(x)=a_{1}\phi _{1}(x)+a_{2}\phi _{2}(x)+\cdots +a_{n}\phi _{n}(x),\

con el conjunto de funciones { $\ \phi _{j}(x)$ } un conjunto ortonormal sobre el intervalo de interés, digamos [a, b] : véase también el teorema de Fejér . Los coeficientes { $\ a_{j}$ } se seleccionan para que la magnitud de la diferencia || f − f _n || ² sea lo más pequeña posible. Por ejemplo, la magnitud, o norma, de una función g ( x ) en el intervalo [a, b] se puede definir mediante: ^{[ 2 ]}

\|g\|=\left(\int _{a}^{b}g^{*}(x)g(x)\,dx\right)^{1/2}

donde el '*' denota el conjugado complejo en el caso de funciones complejas. La extensión del teorema de Pitágoras de esta manera conduce a espacios de funciones y a la noción de medida de Lebesgue , una idea de "espacio" más general que la base original de la geometría euclidiana . El { $\phi _{j}(x)\$ } satisfacen relaciones de ortonormalidad : ^{[ 3 ]}

\int _{a}^{b}\phi _{i}^{*}(x)\phi _{j}(x)\,dx=\delta _{ij},

donde δ _ij es la delta de Kronecker . Sustituyendo la función f _n en estas ecuaciones se llega al teorema de Pitágoras n- dimensional : ^[⁴^]

\|f_{n}\|^{2}=|a_{1}|^{2}+|a_{2}|^{2}+\cdots +|a_{n}|^{2}.\,

Se ha encontrado que los coeficientes { a _j } que hacen que || f − f _n || ² sea lo más pequeño posible son: ^{[ 1 ]}

a_{j}=\int _{a}^{b}\phi _{j}^{*}(x)f(x)\,dx.

La generalización del teorema de Pitágoras n -dimensional a espacios de producto interno reales de dimensión infinita se conoce como identidad de Parseval o ecuación de Parseval. ^[⁵^] Ejemplos particulares de dicha representación de una función son la serie de Fourier y la serie de Fourier generalizada .

Discusión adicional

Utilizando álgebra lineal

De ello se deduce que se puede encontrar una "mejor" aproximación de otra función minimizando el área entre dos funciones, una función continua. $f$ en $[a,b]$ y una función $g\in W$ dónde $W$ es un subespacio de $C[a,b]$ :

{\text{Área}}=\int _{a}^{b}\left\vert f(x)-g(x)\right\vert \,dx,

todo dentro del subespacio $W$ Debido a la frecuente dificultad de evaluar integrandos que involucran valor absoluto, se puede definir en su lugar

\int _{a}^{b}[f(x)-g(x)]^{2}\,dx

como criterio adecuado para obtener la aproximación de mínimos cuadrados, función $g$ , de $f$ con respecto al espacio del producto interno $W$ .

Tal como, $\lVert fg\rVert ^{2}$ o, equivalentemente, $\lVert fg\rVert$ , por lo tanto, puede escribirse en forma vectorial:

\int _{a}^{b}[f(x)-g(x)]^{2}\,dx=\left\langle fg,fg\right\rangle =\lVert fg\rVert ^{2}.

En otras palabras, la aproximación de mínimos cuadrados de $f$ es la función $g\in {\text{ subespacio }}W$ más cercano a $f$ en términos del producto interno $\left\langle f,g\right\rangle$ Además, esto se puede aplicar con un teorema:

Dejar

f

ser continuo en

[a,b]

y dejar

W

sea un subespacio de dimensión finita de

C[a,b]

. La función de aproximación por mínimos cuadrados de

f

con respecto a

W

es dado por

g=\left\langle f,{\vec {w}}_{1}\right\rangle {\vec {w}}_{1}+\left\langle f,{\vec {w}}_{2}\right\rangle {\vec {w}}_{2}+\cdots +\left\langle f,{\vec {w}}_{n}\right\rangle {\vec {w}}_{n},

dónde

B=\{{\vec {w}}_{1},{\vec {w}}_{2},\dots,{\vec {w}}_{n}\}

es una base ortonormal para

W

.

Referencias

1 2 Cornelius Lanczos (1988). Análisis aplicado (Reimpresión de la edición de Prentice-Hall de 1956 ). Dover Publications. págs. 212-213 . ISBN 0-486-65656-X.
↑ Gerald B Folland (2009). «Ecuación 3.14» . Análisis de Fourier y su aplicación (Reimpresión de la edición de Wadsworth y Brooks/Cole de 1992). Librería de la American Mathematical Society. pág. 69. ISBN 978-0-8218-4790-9.
↑ Folland, Gerald B (2009). Análisis de Fourier y sus aplicaciones . Sociedad Matemática Americana. pág. 69. ISBN 978-0-8218-4790-9.
↑ David J. Saville, Graham R. Wood (1991). "§2.5 Suma de cuadrados" . Métodos estadísticos: el enfoque geométrico (3.ª ed.). Springer. pág. 30. ISBN 0-387-97517-9.
↑ Gerald B Folland (13 de enero de 2009). "Ecuación 3.22" . Obra citada . American Mathematical Soc. pág. 77. ISBN 978-0-8218-4790-9.

[Lanczos-1] 1 2 Cornelius Lanczos (1988). Análisis aplicado (Reimpresión de la edición de Prentice-Hall de 1956 ). Dover Publications. págs. 212-213 . ISBN 0-486-65656-X.

[Folland-2] Gerald B Folland (2009). «Ecuación 3.14» . Análisis de Fourier y su aplicación (Reimpresión de la edición de Wadsworth y Brooks/Cole de 1992). Librería de la American Mathematical Society. pág. 69. ISBN 978-0-8218-4790-9.

[Folland2-3] Folland, Gerald B (2009). Análisis de Fourier y sus aplicaciones . Sociedad Matemática Americana. pág. 69. ISBN 978-0-8218-4790-9.

[Wood-4] David J. Saville, Graham R. Wood (1991). "§2.5 Suma de cuadrados" . Métodos estadísticos: el enfoque geométrico (3.ª ed.). Springer. pág. 30. ISBN 0-387-97517-9.

[Folland3-5] Gerald B Folland (13 de enero de 2009). "Ecuación 3.22" . Obra citada . American Mathematical Soc. pág. 77. ISBN 978-0-8218-4790-9.

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