Error de truncamiento

Una serie sumatoria para${\displaystyle e^{x}}$está dada por una serie infinita como $${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$$

En realidad, solo podemos usar un número finito de estos términos, ya que usar todos ellos requeriría una cantidad infinita de tiempo de cálculo. Entonces, supongamos que usamos solo tres términos de la serie, entonces $${\displaystyle e^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}}$$

En este caso, el error de truncamiento es${\displaystyle {\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$

Ejemplo A:

Dada la siguiente serie infinita, encuentre el error de truncamiento para x = 0,75 si solo se utilizan los tres primeros términos de la serie. $${\displaystyle S=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,\qquad \left|x\right|<1.}$$

Solución

Utilizando solo los tres primeros términos de la serie se obtiene $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{3}&=\left(1+x+x^{2}\right)_{x=0.75}\\&=1+0.75+\left(0.75\right)^{2}\\&=2.3125\end{aligned}}}$$

La suma de una serie geométrica infinita $${\displaystyle S=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ,\ r<1}$$ es dado por $${\displaystyle S={\frac {a}{1-r}}}$$

Para nuestra serie, a = 1 y r = 0,75 , para dar $${\displaystyle S={\frac {1}{1-0,75}}=4}$$

El error de truncamiento es, por lo tanto, $${\displaystyle \mathrm {TE} =4-2,3125=1,6875}$$

La definición de la primera derivada exacta de la función viene dada por $${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$$

Sin embargo, si estamos calculando la derivada numéricamente,${\displaystyle h}$tiene que ser finito. El error causado por elegir${\displaystyle h}$Ser finito es un error de truncamiento en el proceso matemático de diferenciación.

Ejemplo A:

Encuentra la truncación al calcular la primera derivada de${\displaystyle f(x)=5x^{3}}$en${\displaystyle x=7}$utilizando un tamaño de paso de${\displaystyle h=0.25}$

Solución:

La primera derivada de${\displaystyle f(x)=5x^{3}}$es $${\displaystyle f'(x)=15x^{2},}$$ y en${\displaystyle x=7}$, $${\displaystyle f'(7)=735.}$$

El valor aproximado viene dado por $${\displaystyle f'(7)={\frac {f(7+0.25)-f(7)}{0.25}}=761.5625}$$

El error de truncamiento es, por lo tanto, $${\displaystyle \mathrm {TE} =735-761.5625=-26.5625}$$

La definición de la integral exacta de una función${\displaystyle f(x)}$de${\displaystyle a}$a${\displaystyle b}$se da de la siguiente manera.

Dejar${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$sea ​​una función definida en un intervalo cerrado${\displaystyle [a,b]}$de los números reales,${\displaystyle \mathbb {R} }$, y $${\displaystyle P=\left\{[x_{0},x_{1}],[x_{1},x_{2}],\dots ,[x_{n-1},x_{n}]\right\},}$$ sea ​​una partición de I , donde $${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}=b.}$$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i}}$$ dónde${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$y${\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]}$.

Esto implica que estamos calculando el área bajo la curva utilizando un número infinito de rectángulos. Sin embargo, si calculamos la integral numéricamente, solo podemos usar un número finito de rectángulos. El error que se produce al elegir un número finito de rectángulos en lugar de un número infinito es un error de truncamiento en el proceso matemático de integración.

Ejemplo A.

Para la integral $${\displaystyle \int _{3}^{9}x^{2}{dx}}$$Calcula el error de truncamiento si se utiliza una suma de Riemann de dos segmentos por la izquierda con segmentos de igual ancho.

Solución

Tenemos el valor exacto como $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{3}^{9}{x^{2}{dx}}&=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{3}^{9}\\&=\left[{\frac {9^{3}-3^{3}}{3}}\right]\\&=234\end{aligned}}}$$

Utilizando dos rectángulos de igual ancho para aproximar el área (véase la Figura 2) bajo la curva, el valor aproximado de la integral

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{3}^{9}x^{2}\,dx&\approx \left.\left(x^{2}\right)\right|_{x=3}(6-3)+\left.\left(x^{2}\right)\right|_{x=6}(9-6)\\&=(3^{2})3+(6^{2})3\\&=27+108\\&=135\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Error de truncamiento}}&={\text{Valor exacto}}-{\text{Valor aproximado}}\\&=234-135\\&=99.\end{aligned}}}$$

En ocasiones, por error, el error de redondeo (consecuencia del uso de números de coma flotante de precisión finita en ordenadores) también se denomina error de truncamiento, especialmente si el número se redondea truncando. Este no es el uso correcto del término «error de truncamiento»; sin embargo, llamarlo truncamiento de un número puede ser aceptable.

El error de truncamiento puede causar${\displaystyle (A+B)+C\neq A+(B+C)}$dentro de una computadora cuando${\displaystyle A=-10^{25},B=10^{25},C=1}$porque${\displaystyle (A+B)+C=(0)+C=1}$(como debería), mientras${\displaystyle A+(B+C)=A+(B)=0}$. Aquí,${\displaystyle A+(B+C)}$tiene un error de truncamiento igual a 1. Este error de truncamiento se produce porque los ordenadores no almacenan los dígitos menos significativos de un número entero extremadamente grande.