Constante de Lebesgue

En el análisis numérico , las constantes de Lebesgue (que dependen de un conjunto de nodos y de su tamaño) dan una idea de cuán buena es la interpolación de una función (en los nodos dados) en comparación con la mejor aproximación polinómica de la función (el grado de los polinomios es fijo). La constante de Lebesgue para polinomios de grado como máximo${\displaystyle n}$y para el conjunto de${\displaystyle n+1}$nodos${\displaystyle T}$generalmente se denota por${\displaystyle \Lambda _{n}(T)}$Estas constantes reciben su nombre en honor a Henri Lebesgue .

Corregimos los nodos de interpolación${\displaystyle x_{0},...,x_{n}}$y un intervalo${\displaystyle [a,\,b]}$que contiene todos los nodos de interpolación. El proceso de interpolación mapea la función${\displaystyle f}$a un polinomio${\displaystyle p}$Esto define una asignación${\displaystyle X}$desde el espacio${\displaystyle C([a,b])}$de todas las funciones continuas en${\displaystyle [a,b]}$a sí mismo. El mapa${\displaystyle X}$es lineal y es una proyección sobre el subespacio Π _n de polinomios de grado n o menor.

La constante de Lebesgue${\displaystyle \Lambda _{n}(X)}$se define como la norma del operador de${\displaystyle X}$Esta definición nos exige especificar una norma sobre${\displaystyle C([a,b])}$La norma uniforme suele ser la más conveniente.

La constante de Lebesgue limita el error de interpolación: sea${\displaystyle p^{*}}$denota la mejor aproximación de${\displaystyle f}$entre los polinomios de grado${\displaystyle n}$o menos. En otras palabras,${\displaystyle p^{*}}$minimiza${\displaystyle \|pf\|}$entre todos los p en Π _n . Entonces

${\displaystyle \|fX(f)\|\leq (\Lambda _{n}(T)+1)\left\|fp^{*}\right\|.}$

Aquí demostraremos esta afirmación con la norma máxima.

${\displaystyle \|fX(f)\|\leq \|fp^{*}\|+\|p^{*}-X(f)\|}$

por la desigualdad triangular . Pero${\displaystyle X}$es una proyección sobre Π _n , por lo tanto

p ^∗ − X ( f ) = X ( p ^∗ ) − X ( f ) = X ( p ^∗ − f ) .

Esto finaliza la prueba ya que${\displaystyle \|X(p^{*}-f)\|\leq \|X\|\|p^{*}-f\|=\|X\|\|fp^{*}\|}$. Nótese que esta relación también se presenta como un caso especial del lema de Lebesgue .

En otras palabras, el polinomio de interpolación es, como máximo, un factor Λ _n ( T ) + 1 peor que la mejor aproximación posible. Esto sugiere que busquemos un conjunto de nodos de interpolación con una constante de Lebesgue pequeña.

La constante de Lebesgue se puede expresar en términos de los polinomios base de Lagrange :

${\displaystyle \ell _{j}(x):=\prod _{\begin{smallmatrix}i=0\\j\neq i\end{smallmatrix}}^{n}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}.}$

De hecho, tenemos la función de Lebesgue.

${\displaystyle \lambda _ {n}(x)=\sum _ {j=0}^{n}|\ell _ {j}(x)|.}$

y la constante de Lebesgue (o número de Lebesgue) para la cuadrícula es su valor máximo.

${\displaystyle \Lambda _{n}(T)=\max _{x\in [a,b]}\lambda _{n}(x)}$

Sin embargo, no es fácil encontrar una expresión explícita para Λ _n ( T ) .

En el caso de nodos equidistantes, la constante de Lebesgue crece exponencialmente . Más precisamente, tenemos la siguiente estimación asintótica.

${\displaystyle \Lambda _{n}(T)\sim {\frac {2^{n+1}}{n\log n}}\qquad {\text{ cuando }}n\to \infty .}$

Por otro lado, la constante de Lebesgue crece solo logarítmicamente si se utilizan nodos de Chebyshev , ya que tenemos

${\displaystyle {\tfrac {2}{\pi }}\log(n+1)+a<\Lambda _{n}(T)<{\tfrac {2}{\pi }}\log(n+1)+1,\qquad a=0.9625\ldots }$

Concluimos nuevamente que los nodos de Chebyshev son una muy buena opción para la interpolación polinómica . Sin embargo, existe una transformación (lineal) sencilla de los nodos de Chebyshev que proporciona una mejor constante de Lebesgue. Sea t _i el i -ésimo nodo de Chebyshev. Entonces, definimos

${\displaystyle s_{i}={\frac {t_{i}}{\cos \left({\frac {\pi }{2(n+1)}}\right)}}.}$

Para tales nodos:

${\displaystyle \Lambda _{n}(S)<{\tfrac {2}{\pi }}\log(n+1)+b,\qquad b=0.7219\ldots }$

Sin embargo, esos nodos no son óptimos (es decir, no minimizan las constantes de Lebesgue) y la búsqueda de un conjunto óptimo de nodos (que ya se ha demostrado que es único bajo ciertas suposiciones) sigue siendo un tema fascinante en las matemáticas actuales. Sin embargo, este conjunto de nodos es óptimo para la interpolación sobre${\displaystyle C_{M}^{n}[-1,1]}$el conjunto de funciones n veces diferenciables cuyas derivadas n -ésimas están acotadas en valores absolutos por una constante M como demostró NS Hoang. Usando una computadora , se pueden aproximar los valores de las constantes de Lebesgue mínimas, aquí para el intervalo canónico [−1, 1] :

Hay infinitos conjuntos de nodos no numerables en [−1,1] que minimizan, para un n > 1 fijo, la constante de Lebesgue. Sin embargo, si asumimos que siempre tomamos −1 y 1 como nodos para la interpolación (lo que se denomina configuración de nodos canónica ), entonces dicho conjunto es único y cero-simétrico. Para ilustrar esta propiedad, veremos qué sucede cuando n = 2 (es decir, consideramos 3 nodos de interpolación, en cuyo caso la propiedad no es trivial). Se puede comprobar que cada conjunto de nodos (cero-simétricos) de tipo (− a , 0, a ) es óptimo cuando ⁠ √ 8 / 3 ⁠ ≤ a ≤ 1 (consideramos solo nodos en [−1, 1]). Si forzamos que el conjunto de nodos sea del tipo (−1, b , 1) , entonces b debe ser igual a 0 (consulte la función de Lebesgue, cuyo máximo es la constante de Lebesgue). Todos los conjuntos óptimos arbitrarios (es decir, simétricos o asimétricos cero) de nodos en [−1,1] cuando n = 2 han sido determinados por F. Schurer, y de forma alternativa por H.-J. Rack y R. Vajda (2014).

Si asumimos que tomamos −1 y 1 como nodos para la interpolación, entonces, como demostraron H.-J. Rack (1984 y 2013), para el caso n = 3, se conocen los valores explícitos de los 4 nodos de interpolación óptimos (únicos y simétricos respecto a cero) y el valor explícito de la constante de Lebesgue mínima. Todos los conjuntos óptimos arbitrarios de 4 nodos de interpolación en [1,1] cuando n = 3 han sido determinados explícitamente, de dos maneras diferentes pero equivalentes, por H.-J. Rack y R. Vajda (2015).

Los puntos de Padua proporcionan otro conjunto de nodos con crecimiento lento (aunque no tan lento como los nodos de Chebyshev) y con la propiedad adicional de ser un conjunto de puntos unisolventes .

Las constantes de Lebesgue también aparecen en otro problema. Sea p ( x ) un polinomio de grado n expresado en la forma lagrangiana asociada a los puntos del vector t (es decir, el vector u de sus coeficientes es el vector que contiene los valores${\displaystyle p(t_{i})}$). Dejar${\displaystyle {\hat {p}}(x)}$sea ​​un polinomio obtenido al cambiar ligeramente los coeficientes u del polinomio original p ( x ) a${\displaystyle {\hat {u}}}$Consideremos la desigualdad:

${\displaystyle {\frac {\|p-{\hat {p}}\|}{\|p\|}}\leq \Lambda _{n}(T){\frac {\|u-{\hat {u}}\|}{\|u\|}}}$

Esto significa que el error (relativo) en los valores de${\displaystyle {\hat {p}}(x)}$No será mayor que la constante de Lebesgue apropiada multiplicada por el error relativo en los coeficientes. En este sentido, la constante de Lebesgue puede considerarse como el número de condición relativo del operador que asigna a cada vector de coeficientes u el conjunto de valores del polinomio con coeficientes u en la forma lagrangiana. De hecho, podemos definir dicho operador para cada base polinómica, pero su número de condición es mayor que la constante de Lebesgue óptima para la mayoría de las bases convenientes.

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• Constantes de Lebesgue en MathWorld .