Puntos de Padua

En la interpolación polinómica de dos variables , los puntos de Padua son el primer ejemplo conocido (y hasta ahora el único) de un conjunto de puntos unisolvente (es decir, el polinomio interpolador es único) con un crecimiento mínimo de su constante de Lebesgue , que se ha demostrado que es${\displaystyle O(\log ^{2}n)}$. ^{[ 1 ]} Su nombre se debe a la Universidad de Padua , donde fueron descubiertos originalmente. ^{[ 2 ]}

Los puntos se definen en el dominio${\displaystyle [-1,1]\times [-1,1]\subset \mathbb {R} ^{2}}$Es posible utilizar los puntos con cuatro orientaciones, obtenidas mediante rotaciones sucesivas de 90 grados: de esta forma obtenemos cuatro familias diferentes de puntos de Padua.

Podemos ver el punto de Padua como un " muestreo " de una curva paramétrica , llamada curva generadora , que es ligeramente diferente para cada una de las cuatro familias, de modo que los puntos para el grado de interpolación${\displaystyle n}$y familia${\displaystyle s}$puede definirse como

${\displaystyle {\text{Pad}}_{n}^{s}=\lbrace \mathbf {\xi } =(\xi _{1},\xi _{2})\rbrace =\left\lbrace \gamma _{s}\left({\frac {k\pi }{n(n+1)}}\right),k=0,\ldots ,n(n+1)\right\rbrace .}$

En realidad, los puntos de Padua se encuentran exactamente en las autointersecciones de la curva y en las intersecciones de la curva con los límites del cuadrado.${\displaystyle [-1,1]^{2}}$La cardinalidad del conjunto${\displaystyle \operatorname {Pad} _{n}^{s}}$es${\textstyle |\operatorname {Pad} _{n}^{s}|={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$Además, para cada familia de puntos de Padua, dos puntos se encuentran en vértices consecutivos del cuadrado.${\displaystyle [-1,1]^{2}}$,${\displaystyle 2n-1}$Los puntos se encuentran en los bordes del cuadrado, y los puntos restantes se encuentran en las autointersecciones de la curva generatriz dentro del cuadrado. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Las cuatro curvas generadoras son curvas paramétricas cerradas en el intervalo${\displaystyle [0,2\pi ]}$y son un caso especial de curvas de Lissajous .

La representación explícita de su polinomio de Lagrange fundamental se basa en el núcleo reproductor.${\displaystyle K_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}$,${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2})}$y${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},y_{2})}$, del espacio${\displaystyle \Pi _{n}^{2}([-1,1]^{2})}$equipado con el producto interior

${\displaystyle \langle f,g\rangle ={\frac {1}{\pi ^{2}}}\int _{[-1,1]^{2}}f(x_{1},x_{2})g(x_{1},x_{2}){\frac {dx_{1}}{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}}{\frac {dx_{2}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}}}$

definido por

${\displaystyle K_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\sum _{k=0}^{n}\sum _{j=0}^{k}{\hat {T}}_{j}(x_{1}){\hat {T}}_{k-j}(x_{2}){\hat {T}}_{j}(y_{1}){\hat {T}}_{k-j}(y_{2})}$

con${\displaystyle {\hat {T}}_{j}}$representando el polinomio de Chebyshev normalizado de grado${\displaystyle j}$(eso es,${\displaystyle {\hat {T}}_{0}=T_{0}}$y${\displaystyle {\hat {T}}_{p}={\sqrt {2}}T_{p}}$, dónde${\displaystyle T_{p}(\cdot )=\cos(p\arccos(\cdot ))}$es el polinomio clásico de Chebyshev de primera especie de grado${\displaystyle p}$). ^{[ 3 ]} Para las cuatro familias de puntos de Padua, que podemos denotar por${\displaystyle \operatorname {Pad} _{n}^{s}=\lbrace \mathbf {\xi } =(\xi _{1},\xi _{2})\rbrace }$,${\displaystyle s=\lbrace 1,2,3,4\rbrace }$, la fórmula de interpolación de orden${\displaystyle n}$de la función${\displaystyle f\colon [-1,1]^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$en el punto objetivo genérico${\displaystyle \mathbf {x} \in [-1,1]^{2}}$es entonces

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}^{s}f(\mathbf {x} )=\sum _{\mathbf {\xi } \in \operatorname {Pad} _{n}^{s}}f(\mathbf {\xi } )L_{\mathbf {\xi } }^{s}(\mathbf {x} )}$

dónde${\displaystyle L_{\mathbf {\xi } }^{s}(\mathbf {x} )}$es el polinomio de Lagrange fundamental

${\displaystyle L_{\mathbf {\xi } }^{s}(\mathbf {x} )=w_{\mathbf {\xi } }(K_{n}(\mathbf {\xi } ,\mathbf {x} )-T_{n}(\xi _{i})T_{n}(x_{i})),\quad s=1,2,3,4,\quad i=2-(s\mod 2).}$

Los pesos${\displaystyle w_{\mathbf {\xi } }}$se definen como

${\displaystyle w_{\mathbf {\xi } }={\frac {1}{n(n+1)}}\cdot {\begin{cases}{\frac {1}{2}}{\text{ if }}\mathbf {\xi } {\text{ is a vertex point}}\\1{\text{ if }}\mathbf {\xi } {\text{ is an edge point}}\\2{\text{ if }}\mathbf {\xi } {\text{ is an interior point.}}\end{cases}}}$

• Lista de publicaciones relacionadas con los puntos de Padua y algunos programas de interpolación .