Dualidad de Wolfe

En optimización matemática , la dualidad de Wolfe , que recibe su nombre de Philip Wolfe , es un tipo de problema dual en el que la función objetivo y las restricciones son funciones diferenciables . Mediante este concepto, se puede encontrar una cota inferior para un problema de minimización gracias al principio de dualidad débil . ^{[ 1 ]}

Para un problema de minimización con restricciones de desigualdad,

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\underset {x}{\operatorname {minimizar} }}&&f(x)\\&\operatorname {sujeto\;a} &&g_{i}(x)\leq 0,\quad i=1,\dots ,m\end{aligned}}}$

El problema dual lagrangiano es

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\underset {u}{\operatorname {maximizar} }}&&\inf _{x}\left(f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}g_{j}(x)\right)\\&\operatorname {sujeto\;a} &&u_{i}\geq 0,\quad i=1,\dots ,m\end{aligned}}}$

donde la función objetivo es la función dual de Lagrange. Siempre que las funciones${\displaystyle f}$y${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{m}}$son convexas y continuamente diferenciables, el ínfimo se produce donde el gradiente es igual a cero. El problema

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\underset {x,u}{\operatorname {maximizar} }}&&f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}g_{j}(x)\\&\operatorname {sujeto\;a} &&\nabla f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}\nabla g_{j}(x)=0\\&&&u_{i}\geq 0,\quad i=1,\dots ,m\end{aligned}}}$

Se denomina problema dual de Wolfe. ^{[ 2 ]} Este problema emplea las condiciones KKT como restricción. Además, la restricción de igualdad.${\displaystyle \nabla f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}\nabla g_{j}(x)}$es no lineal en general, por lo que el problema dual de Wolfe puede ser un problema de optimización no convexo. En cualquier caso, se cumple la dualidad débil. ^{[ 3 ]}

• Dualidad lagrangiana
• Dualidad de Fenchel