Relajación dinámica

La relajación dinámica es un método numérico que, entre otras cosas, se puede utilizar para encontrar la forma óptima de estructuras de cables y tejidos . El objetivo es hallar una geometría donde todas las fuerzas estén en equilibrio . Antiguamente, esto se lograba mediante modelado directo, utilizando cadenas y pesas colgantes (véase Gaudí ), o mediante películas de jabón , que tienen la propiedad de ajustarse para encontrar una superficie mínima .

El método de relajación dinámica se basa en la discretización del continuo considerado mediante la concentración de la masa en los nodos y la definición de la relación entre nodos en términos de rigidez (véase también el método de elementos finitos ). El sistema oscila alrededor de la posición de equilibrio bajo la influencia de cargas. Se sigue un proceso iterativo simulando un proceso pseudodinámico en el tiempo, con cada iteración basada en una actualización de la geometría, ^{[ 1 ]} similar a la integración de salto de rana y relacionada con la integración de Verlet de velocidad .

Considerando la segunda ley del movimiento de Newton (la fuerza es igual a la masa multiplicada por la aceleración) en el${\displaystyle x}$dirección en el${\displaystyle i}$^nodo en el tiempo${\displaystyle t}$:

${\displaystyle R_{ix}(t)=M_{i}A_{ix}(t){\frac {}{}}}$

Dónde:

${\displaystyle R}$es la fuerza residual

${\displaystyle M}$es la masa nodal

${\displaystyle A}$es la aceleración nodal

Cabe señalar que se pueden elegir masas nodales ficticias para acelerar el proceso de búsqueda de formas.

La relación entre la velocidad${\displaystyle V}$, la geometría${\displaystyle X}$y los residuos se pueden obtener realizando una doble integración numérica de la aceleración (aquí en forma de diferencias finitas centrales ^{[ 2 ]} ),  :

${\displaystyle V_{ix}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)=V_{ix}\left(t-{\frac {\Delta t}{2}}\right)+{\frac {\Delta t}{M_{i}}}R_{ix}(t)}$

${\displaystyle X_{i}(t+\Delta t)=X_{i}(t)+\Delta t\times V_{ix}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)}$

Dónde:

${\displaystyle \Delta t}$es el intervalo de tiempo entre dos actualizaciones.

Mediante el principio de equilibrio de fuerzas, se puede obtener la relación entre los residuos y la geometría:

${\displaystyle R_{ix}(t+\Delta t)=P_{ix}(t+\Delta t)+\sum {\frac {T_{m}(t+\Delta t)}{l_{m}(t+\Delta t)}}\times (X_{j}(t+\Delta t)-X_{i}(t+\Delta t))}$

dónde:

${\displaystyle P}$es el componente de carga aplicada

${\displaystyle T}$es la tensión en el enlace${\displaystyle m}$entre nodos${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$

${\displaystyle l}$es la longitud del enlace.

La suma debe abarcar las fuerzas en todas las conexiones entre el nodo y los demás nodos. Al repetir el uso de la relación entre los residuos y la geometría, y la relación entre la geometría y el residuo, se simula el proceso pseudodinámico.

1. Establezca la energía cinética inicial y todos los componentes de velocidad nodal en cero:

${\displaystyle E_{k}(t=0)=0{\frac {}{}}}$

${\displaystyle V_{i}(t=0)=0{\frac {}{}}}$

2. Calcular el conjunto geométrico y el componente de carga aplicada:

${\displaystyle X_{i}(t=0){\frac {}{}}}$

${\displaystyle P_{i}(t=0){\frac {}{}}}$

3. Calcular el residuo:

${\displaystyle T_{m}(t){\frac {}{}}}$

${\displaystyle R_{i}(t){\frac {}{}}}$

4. Restablecer a cero los residuos de los nodos restringidos.

5. Actualizar velocidad y coordenadas:

${\displaystyle V_{i}(t+{\frac {\Delta t}{2}}){\frac {}{}}}$

${\displaystyle X_{i}(t+\Delta t){\frac {}{}}}$

6. Repita el paso 3 hasta que la estructura esté en equilibrio estático.

Es posible hacer que la relajación dinámica sea más eficiente computacionalmente (reduciendo el número de iteraciones) mediante el uso de amortiguación. ^{[ 1 ]} Hay dos métodos de amortiguación:

• Amortiguación viscosa , que supone que la conexión entre los nodos tiene un componente de fuerza viscosa.
• La amortiguación de la energía cinética, donde se calculan las coordenadas en el punto de máxima energía cinética (la posición de equilibrio), actualiza la geometría a esta posición y restablece la velocidad a cero.

La ventaja de la amortiguación viscosa radica en que representa la realidad de un cable con propiedades viscosas. Además, es fácil de implementar, ya que la velocidad ya está calculada. La amortiguación de la energía cinética es una amortiguación artificial que no representa un efecto real, pero que reduce drásticamente el número de iteraciones necesarias para encontrar una solución. Sin embargo, conlleva una penalización computacional, puesto que es necesario calcular la energía cinética y la posición del pico, tras lo cual la geometría debe actualizarse a dicha posición.

• Estructuras de tracción
• Optimización (matemáticas)

• AS Day, Introducción a la relajación dinámica. The Engineer 1965, 219:218–221
• HA BUCHHOLDT, Introducción a las estructuras de techos de cables , 2.ª ed., Londres, Telford, 1999