Interpolación de Birkhoff

En matemáticas , la interpolación de Birkhoff es una extensión de la interpolación polinómica . Se refiere al problema de encontrar un polinomio.${\displaystyle P(x)}$de grado${\displaystyle d}$de tal manera que solo ciertos derivados tengan valores específicos en puntos específicos:

${\displaystyle P^{(n_{i})}(x_{i})=y_{i}\qquad {\mbox{para }}i=1,\ldots ,d,}$

donde apuntan los datos${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$y los enteros no negativos${\displaystyle n_{i}}$se dan. Se diferencia de la interpolación de Hermite en que es posible especificar derivadas de${\displaystyle P(x)}$En algunos puntos, sin especificar las derivadas inferiores ni el polinomio en sí. El nombre hace referencia a George David Birkhoff , quien estudió el problema por primera vez en 1906. ^{[ 1 ]}

A diferencia de la interpolación de Lagrange y la interpolación de Hermite , un problema de interpolación de Birkhoff no siempre tiene una solución única. Por ejemplo, no existe un polinomio cuadrático.${\displaystyle P(x)}$de tal manera que${\displaystyle P(-1)=P(1)=0}$y${\displaystyle P^{(1)}(0)=1}$. Por otro lado, el problema de interpolación de Birkhoff donde los valores de${\displaystyle P^{(1)}(-1),P(0)}$y${\displaystyle P^{(1)}(1)}$Se dan siempre con una solución única. ^{[ 2 ]}

Un problema importante en la teoría de la interpolación de Birkhoff es clasificar aquellos problemas que tienen una solución única. Schoenberg ^{[ 3 ]} formula el problema de la siguiente manera. Sea${\displaystyle d}$denotemos el número de condiciones (como arriba) y sea${\displaystyle k}$sea ​​el número de puntos de interpolación. Dado un${\displaystyle d\times k}$matriz${\displaystyle E}$, todas cuyas entradas son o${\displaystyle 0}$o${\displaystyle 1}$, de tal manera que exactamente${\displaystyle d}$Las entradas son${\displaystyle 1}$, entonces el problema correspondiente es determinar${\displaystyle P(x)}$de tal manera que

${\displaystyle P^{(j)}(x_{i})=y_{i,j}\qquad \forall (i,j)/e_{ij}=1}$

La matriz${\displaystyle E}$Se denomina matriz de incidencia . Por ejemplo, las matrices de incidencia para los problemas de interpolación mencionados en el párrafo anterior son:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}\qquad \mathrm {and} \qquad {\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}.}$

Ahora la pregunta es: ¿Es posible un problema de interpolación de Birkhoff con una matriz de incidencia dada?${\displaystyle E}$¿Tiene una solución única para cualquier elección de puntos de interpolación?

El caso con${\displaystyle k=2}$George Pólya abordó el tema de los puntos de interpolación en 1931. ^{[ 4 ]} Dejemos${\displaystyle S_{m}}$denota la suma de las entradas en el primero${\displaystyle m}$columnas de la matriz de incidencia:

${\displaystyle S_{m}=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{m}e_{ij}.}$

Luego el problema de interpolación de Birkhoff con${\displaystyle k=2}$tiene una solución única si y solo si${\displaystyle S_{m}\geqslant m\quad \forall m}$Schoenberg demostró que esta es una condición necesaria para todos los valores de${\displaystyle k}$.

Consideremos una función diferenciable.${\displaystyle f(x)}$en${\displaystyle [a,b]}$, de tal manera que${\displaystyle f(a)=f(b)}$Veamos que no existe ningún polinomio cuadrático de interpolación de Birkhoff tal que${\displaystyle P^{(1)}(c)=f^{(1)}(c)}$dónde${\displaystyle c={\frac {a+b}{2}}}$: Desde${\displaystyle f(a)=f(b)}$, se puede escribir el polinomio como${\displaystyle P(x)=A(x-c)^{2}+B}$( completando el cuadrado ) donde${\displaystyle A,B}$son simplemente los coeficientes de interpolación. La derivada del polinomio de interpolación viene dada por${\displaystyle P^{(1)}(x)=2A(x-c)^{2}}$Esto implica${\displaystyle P^{(1)}(c)=0}$, sin embargo, esto es absurdo, ya que${\displaystyle f^{(1)}(c)}$no es necesariamente${\displaystyle 0}$La matriz de incidencia viene dada por:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}_{3\times 3}}$

Consideremos una función diferenciable.${\displaystyle f(x)}$en${\displaystyle [a,b]}$y denotan${\displaystyle x_{0}=a,x_{2}=b}$con${\displaystyle x_{1}\in [a,b]}$Veamos que efectivamente existe un polinomio cuadrático de interpolación de Birkhoff tal que${\displaystyle P(x_{1})=f(x_{1})}$y${\displaystyle P^{(1)}(x_{0})=f^{(1)}(x_{0}),P^{(1)}(x_{2})=f^{(1)}(x_{2})}$. Construir el polinomio interpolador de${\displaystyle f^{(1)}(x)}$en los nodos${\displaystyle x_{0},x_{2}}$, de tal manera que${\displaystyle \displaystyle P_{1}(x)={\frac {f^{(1)}(x_{2})-f^{(1)}(x_{0})}{x_{2}-x_{0}}}(x-x_{0})+f^{(1)}(x_{0})}$. Por lo tanto, el polinomio  :${\displaystyle \displaystyle P_{2}(x)=f(x_{1})+\int _{x_{1}}^{x}\!P_{1}(t)\;\mathrm {d} t}$es el polinomio de interpolación de Birkhoff. La matriz de incidencia viene dada por:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}_{3\times 3}}$

Dado un número natural${\displaystyle N}$y una función diferenciable${\displaystyle f(x)}$en${\displaystyle [a,b]}$¿Existe algún polinomio tal que:${\displaystyle P(x_{0})=f(x_{0})}$y${\displaystyle P^{(1)}(x_{i})=f^{(1)}(x_{i})}$para${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$con${\displaystyle x_{0},x_{1},\cdots ,x_{N}\in [a,b]}$Construya el polinomio de Lagrange/Newton (el mismo polinomio de interpolación, pero con una forma diferente de calcularlo y expresarlo).${\displaystyle P_{N-1}(x)}$que satisface${\displaystyle P_{N-1}(x_{i})=f^{(1)}(x_{i})}$para${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$, entonces el polinomio${\displaystyle \displaystyle P_{N}(x)=f(x_{0})+\int _{x_{0}}^{x}\!P_{N-1}(t)\;\mathrm {d} t}$es el polinomio de interpolación de Birkhoff que satisface las condiciones anteriores. La matriz de incidencia viene dada por:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&1&0&\cdots &0\\\end{pmatrix}}_{N\times N}}$

Dado un número natural${\displaystyle N}$y un${\displaystyle 2N}$función diferenciable${\displaystyle f(x)}$en${\displaystyle [a,b]}$¿Existe algún polinomio tal que:${\displaystyle P^{(k)}(a)=f^{(k)}(a)}$y${\displaystyle P^{(k)}(b)=f^{(k)}(b)}$para${\displaystyle k=0,2,\cdots ,2N}$¿Construir?${\displaystyle P_{1}(x)}$como el polinomio interpolador de${\displaystyle f(x)}$en${\displaystyle x=a}$y${\displaystyle x=b}$, de tal manera que${\displaystyle P_{1}(x)={\frac {f^{(2N)}(b)-f^{(2N)}(a)}{b-a}}(x-a)+f^{(2N)}(a)}$. Defina entonces las iteraciones${\displaystyle \displaystyle P_{k+2}(x)={\frac {f^{(2N-2k)}(b)-f^{(2N-2k)}(a)}{b-a}}(x-a)+f^{(2N-2k)}(a)+\int _{a}^{x}\!\int _{a}^{t}\!P_{k}(s)\;\mathrm {d} s\;\mathrm {d} t}$. Entonces${\displaystyle P_{2N+1}(x)}$es el polinomio de interpolación de Birkhoff. La matriz de incidencia viene dada por:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&1&0\cdots \\1&0&1&0\cdots \\\end{pmatrix}}_{2\times N}}$