Método de disparo múltiple directo

En el área de las matemáticas conocida como ecuaciones diferenciales ordinarias numéricas , el método de disparo múltiple directo es un método numérico para la solución de problemas de valor límite . El método divide el intervalo en el que se busca una solución en varios intervalos más pequeños, resuelve un problema de valor inicial en cada uno de los intervalos más pequeños e impone condiciones de coincidencia adicionales para formar una solución en todo el intervalo. El método constituye una mejora significativa en la distribución de la no linealidad y la estabilidad numérica con respecto a los métodos de disparo único .

Los métodos de disparo se pueden utilizar para resolver problemas de valores límite (BVP) como en los que se conocen los puntos de tiempo t _a y t _b y buscamos $${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{a})=y_{a},\quad y(t_{b})=y_{b},}$$$${\displaystyle y(t),\quad t\in (t_{a},t_{b}).}$$

Los métodos de disparo único proceden de la siguiente manera. Sea y ( t ; t ₀ , y ₀ ) la solución del problema de valor inicial (PIV). Defina la función F ( p ) como la diferencia entre y ( t _b ; p ) y el valor límite especificado y _b : F ( p ) = y ( t _b ; p ) − y _b . Entonces para cada solución ( y _a , y _b ) del problema de valor límite tenemos y _a = y ₀ mientras que y _b corresponde a una raíz de F . Esta raíz puede resolverse mediante cualquier método de búsqueda de raíces dado que se satisfacen ciertos prerrequisitos dependientes del método. Esto a menudo requerirá conjeturas iniciales para y _a e y _b . Normalmente, la búsqueda analítica de raíces es imposible y se utilizan métodos iterativos como el método de Newton para esta tarea.$${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=p}$$

La aplicación del disparo único para la solución numérica de problemas de valores en la frontera presenta varios inconvenientes.

• Para un valor inicial dado y ₀ la solución del PVI obviamente debe existir en el intervalo [ t _a , t _b ] para que podamos evaluar la función F cuya raíz se busca.

En el caso de EDO altamente no lineales o inestables, esto requiere que la estimación inicial y ₀ sea extremadamente cercana a una solución real pero desconocida y _a . Los valores iniciales que se eligen ligeramente fuera de la solución verdadera pueden conducir a singularidades o fallas del método de resolución de EDO. Sin embargo, la elección de tales soluciones es inevitable en un método iterativo de búsqueda de raíces.

• Los cálculos numéricos de precisión finita pueden hacer que sea imposible encontrar valores iniciales que permitan la solución de la EDO en todo el intervalo de tiempo.
• La no linealidad de la EDO se convierte efectivamente en una no linealidad de F y requiere una técnica de búsqueda de raíces capaz de resolver sistemas no lineales. Estos métodos suelen converger más lentamente a medida que las no linealidades se vuelven más severas. El rendimiento del solucionador de problemas de valores en la frontera se ve afectado por esto.
• Incluso las EDO estables y bien condicionadas pueden dar lugar a BVP inestables y mal condicionadas. Una ligera alteración del valor inicial y ₀ puede generar un salto extremadamente grande en la solución de la EDO y ( t _b ; t _a , y ₀ ) y, por tanto, en los valores de la función F cuya raíz se busca. Los métodos no analíticos de búsqueda de raíces rara vez pueden hacer frente a este comportamiento.

Un método directo de disparo múltiple divide el intervalo [ t _a , t _b ] introduciendo puntos de cuadrícula adicionales El método comienza adivinando de alguna manera los valores de y en todos los puntos de cuadrícula t _k con 0 ≤ k ≤ N − 1 . Denotemos estas suposiciones por y _k . Sea y ( t ; t _k , y _k ) la solución que emana del k ésimo punto de cuadrícula, es decir, la solución del problema del valor inicial Todas estas soluciones se pueden unir para formar una trayectoria continua si los valores y coinciden en los puntos de cuadrícula. Por lo tanto, las soluciones del problema del valor límite corresponden a las soluciones del siguiente sistema de N ecuaciones: Las N −2 ecuaciones centrales son las condiciones de coincidencia, y la primera y la última ecuación son las condiciones y ( t _a ) = y _a e y ( t _b ) = y _b del problema del valor límite. El método de disparo múltiple resuelve el problema del valor límite resolviendo este sistema de ecuaciones. Normalmente, para esta última tarea se utiliza una modificación del método de Newton .$${\displaystyle t_{a}=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{N}=t_{b}.}$$$${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{k})=y_{k}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}y(t_{1};t_{0},y_{0})&=y_{1}\\&\;\,\vdots \\y(t_{N-1};t_{N-2},y_{N-2})&=y_{N-1}\\y(t_{N};t_{N-1},y_{N-1})&=y_{b}.\end{aligned}}}$$

Se ha adoptado el disparo múltiple para derivar solucionadores paralelos para problemas de valor inicial . ^[1] Por ejemplo, el método de integración paralela en el tiempo Parareal se puede derivar como un algoritmo de disparo múltiple con una aproximación especial del jacobiano . ^[2]

• Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introducción al análisis numérico (3.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95452-3. Véanse las secciones 7.3.5 y siguientes.
• Bock, Hans Georg; Plitt, Karl J. (1984), "Un algoritmo de disparo múltiple para la solución directa de problemas de control óptimo", Actas del 9.º Congreso Mundial de la IFAC, 9.º Congreso Mundial de la IFAC: Un puente entre la ciencia y la tecnología del control, Budapest, Hungría, 2-6 de julio de 1984, vol. 17, Budapest, págs. 1603–1608, doi : 10.1016/S1474-6670(17)61205-9{{citation}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )
• Morrison, David D.; Riley, James D.; Zancanaro, John F. (diciembre de 1962), "Método de disparo múltiple para problemas de valor límite de dos puntos" (PDF) , Commun. ACM , 5 (12): 613–614, doi :10.1145/355580.369128, S2CID  8774159