Interpolación transfinita

En análisis numérico , la interpolación transfinita es un método para construir funciones sobre un dominio plano de manera que coincidan con una función dada en el contorno. Este método se aplica en el modelado geométrico y en el campo del método de elementos finitos . ^{[ 1 ]}

El método de interpolación transfinita, introducido por primera vez por William J. Gordon y Charles A. Hall, ^{[ 2 ]} recibe su nombre debido a que una función perteneciente a esta clase puede coincidir con la función primitiva en un número no numerable de puntos. ^{[ 3 ]} En palabras de los autores:

Utilizamos el término "transfinito" para describir la clase general de esquemas de interpolación estudiados en este trabajo, ya que, a diferencia de los métodos clásicos de interpolación de dimensiones superiores que hacen coincidir la función primitiva F en un número finito de puntos distintos, estos métodos hacen coincidir F en un número no numerable (transfinito) de puntos.

La interpolación transfinita es similar al parche de Coons , inventado en 1967. ^{[ 4 ]}

Con curvas parametrizadas${\displaystyle {\vec {c}}_{1}(u)}$,${\displaystyle {\vec {c}}_{3}(u)}$que describe un par de lados opuestos de un dominio, y ${\displaystyle {\vec {c}}_{2}(v)}$,${\displaystyle {\vec {c}}_{4}(v)}$describiendo el otro par. La posición del punto (u,v) en el dominio es

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\vec {S}}(u,v)&=&(1-v){\vec {c}}_{1}(u)+v{\vec {c}}_{3}(u)+(1-u){\vec {c}}_{2}(v)+u{\vec {c}}_{4}(v)\\&&-\left[(1-u)(1-v){\vec {P}}_{1,2}+uv{\vec {P}}_{3,4}+u(1-v){\vec {P}}_{1,4}+(1-u)v{\vec {P}}_{3,2}\right]\end{array}}}$

donde, por ejemplo,${\displaystyle {\vec {P}}_{1,2}}$es el punto donde las curvas${\displaystyle {\vec {c}}_{1}}$y${\displaystyle {\vec {c}}_{2}}$encontrarse.