Hispanopedia WikiEn matemáticas aplicadas , una cuadrícula o malla se define como el conjunto de formas más pequeñas formadas después de la discretización de un dominio geométrico. El mallado tiene aplicaciones en los campos de la geografía, el diseño, la dinámica de fluidos computacional [ 1 ] y, más generalmente, en la resolución numérica de ecuaciones diferenciales parciales . El dominio geométrico puede ser de cualquier dimensión. El mallado bidimensional incluye polígonos simples , polígonos con agujeros , dominios múltiples y dominios curvos. En tres dimensiones hay tres tipos de entradas: poliedros simples , poliedros geométricos y poliedros múltiples. Antes de definir el tipo de malla, es necesario comprender los elementos (su forma y tamaño).
Elementos
Un elemento de malla es una de las formas más pequeñas mencionadas en la introducción. La forma de los elementos es crucial para resolver problemas en dinámica de fluidos computacional. Generalmente, se basa en la relación de aspecto ; es decir, la relación de aspecto de un elemento determina si es adecuado usarlo o si se debe optar por otro con una relación de aspecto diferente. Por ejemplo, si la relación de aspecto es grande, la velocidad del solucionador disminuye, mientras que si es pequeña, aumenta. Una relación de aspecto grande también presenta la limitación de generar errores de interpolación . Sin embargo, si los resultados varían con la dirección, entonces se utiliza una relación de aspecto grande.
Ecuación del flujo de fluidos y sistema de coordenadas
La mayoría de las ecuaciones de flujo de fluidos se resuelven fácilmente mediante procedimientos de discretización utilizando el sistema de coordenadas cartesianas . [ 2 ] En este sistema, la implementación del método de volumen finito es más sencilla y fácil de comprender. Sin embargo, la mayoría de los problemas de ingeniería involucran geometrías complejas que no funcionan bien en el sistema de coordenadas cartesianas. Cuando la región límite del flujo no coincide con las líneas de coordenadas de la malla estructurada, podemos resolver el problema mediante una aproximación geométrica. Las figuras 1a y 1b muestran cómo se puede aproximar un cilindro con el sistema de coordenadas cartesianas.
La geometría de la curva del cilindro en coordenadas cartesianas se aproxima mediante un método de aproximación por pasos. Sin embargo, este método requiere mucho tiempo y es muy tedioso. Además, existe otro problema: las celdas dentro de la parte sólida del cilindro, llamadas celdas muertas, no participan en los cálculos, por lo que deben eliminarse, ya que de lo contrario consumirían espacio adicional en la computadora u otros recursos. La aproximación por pasos no es uniforme y, por lo tanto, genera errores significativos. Si bien la malla se puede refinar utilizando una malla fina para cubrir la región de la pared, esto conlleva un desperdicio de recursos de memoria.
Por lo tanto, existen limitaciones al utilizar métodos de dinámica de fluidos computacional basados en sistemas de coordenadas simples (cartesianos o cilíndricos), ya que estos sistemas fallan al modelar geometrías complejas como las de un perfil aerodinámico, hornos, cámaras de combustión de turbinas de gas, motores de combustión interna, etc.
Clasificación de mallas en dinámica de fluidos computacional
a) Disposiciones de cuadrícula curvilínea estructuradas (vértices con vecindad similar).
b) Disposiciones de cuadrícula no estructuradas (vértices con variación en la vecindad).
Rejillas curvilíneas estructuradas
1) Los puntos de la cuadrícula se identifican en la intersección de las líneas de coordenadas.
2) Hay un número fijo de cuadrículas vecinas para la cuadrícula interior.
3) Se pueden organizar en una matriz y se pueden nombrar mediante los índices I, J, K f (en tres dimensiones).
Estas también se conocen como mallas adaptadas al cuerpo y funcionan según el principio de mapear el dominio de flujo en un dominio computacional con una forma simple. El mapeo es bastante tedioso si involucra geometría compleja. Para modelar este tipo de geometría, dividimos la región de flujo en varios subdominios más pequeños. Todas estas regiones se mallan por separado y se unen correctamente con las vecinas. Este tipo de disposición se conoce como malla estructurada en bloques. Este tipo de sistema es más flexible que el anterior. Las mallas estructuradas bidimensionales utilizan elementos cuadriláteros, mientras que las mallas tridimensionales utilizan hexaedros. Hay dos tipos de mallas de coordenadas adaptadas al cuerpo:
a) Coordenada curvilínea ortogonal.
En la malla ortogonal, las líneas de la cuadrícula son perpendiculares a la intersección. Esto se muestra en la Figura 2.
b) Coordenada no ortogonal.
La figura 3 muestra cuadrículas no ortogonales. En ella se observa que las líneas de la cuadrícula no se intersecan en un ángulo de 90 grados. En ambos casos, los límites del dominio coinciden con las líneas de coordenadas; por lo tanto, se pueden incorporar todos los detalles geométricos. Las cuadrículas se pueden refinar fácilmente para capturar características importantes del flujo.
Comparación entre cuadrículas cartesianas y curvilíneas
La comparación entre cuadrículas cartesianas y curvilíneas muestra que en las cuadrículas cartesianas se desperdician celdas al procesar objetos. La distribución de la función es mucho más precisa en las cuadrículas curvilíneas. Los recursos requeridos en las cuadrículas curvilíneas son menores que en las cartesianas, lo que permite ahorrar mucha memoria. Por lo tanto, podemos afirmar que las cuadrículas gruesas capturan los detalles del flujo de manera eficiente.
Desventajas de las cuadrículas curvilíneas
Las dificultades asociadas con las cuadrículas curvilíneas están relacionadas con las ecuaciones. [ 3 ]
En el sistema cartesiano, la ecuación se resuelve fácilmente, pero en el sistema de coordenadas curvilíneas resulta difícil resolver ecuaciones complejas. La diferencia entre las distintas técnicas radica en el tipo de malla requerida y la variable dependiente necesaria en la ecuación de momento. Generar mallas que incluyan todas las características geométricas es fundamental. En el mapeo, la geometría física se corresponde con la geometría computacional.
Nos enfrentamos a dificultades al generar mallas adaptadas a la geometría, como la de la cámara de combustión de un motor de combustión interna. Por ejemplo, el mapeo de válvulas en un motor de combustión interna se realiza con sumo cuidado para que las regiones de un tipo coincidan exactamente con las de otro. En algunas regiones, se utiliza deliberadamente una malla densa para acomodar características complejas. Sin embargo, esto genera una resolución de malla innecesaria, lo que provoca variaciones locales en el dominio de la solución.
Red estructurada en bloques
En este tipo de malla, el dominio se divide en distintas regiones. Cada región tiene una estructura de malla diferente . También es posible utilizar distintos sistemas de coordenadas para cada región, lo que aumenta considerablemente la flexibilidad de las mallas y permite un refinamiento más preciso de la región donde se captura la geometría. La Figura 4 muestra el uso de la técnica de malla de bloques. Las ventajas de esta técnica son su fácil generación, la discretización sencilla de las ecuaciones y la facilidad para gestionar contornos curvos. Se pueden manejar diferentes bloques con el grado de detalle requerido en la malla. GridPro permite crear mallas estructuradas multibloque de gran calidad.
Redes no estructuradas
En geometrías mucho más complejas, es lógico usar un gran número de bloques y, por lo tanto, conduce a mallas no estructuradas. [ 4 ] Estas son ampliamente aceptadas en dinámica de fluidos computacional porque nos brindan mucha más flexibilidad y los recursos de la computadora también se utilizan de manera eficiente. En este caso, la malla no estructurada bidimensional usa elementos triangulares, mientras que la tridimensional usa elementos tetraédricos. Estas son combinaciones de mallas estructuradas pequeñas dispuestas en un patrón no estructurado. En este tipo de malla, cada celda individual se trata como un bloque. No hay una estructura de líneas de coordenadas dada por la malla. La ventaja de este tipo de mallas es que la malla se puede refinar donde sea necesario. Esto se basa en el hecho de que, dado que el volumen de control puede ser de cualquier forma, por lo que se elimina la restricción en el número de celdas adyacentes. Esto usa varias combinaciones de formas de celda. También se puede usar una malla híbrida . Las mallas híbridas son aquellas en las que se usa una mezcla de elementos triangulares y cuadriláteros para construir mallas. En tres dimensiones, la combinación de elementos tetraédricos y hexaédricos da como resultado una malla híbrida. En la Figura 5 se muestra un ejemplo de malla híbrida. Las mallas no estructuradas reducen el tiempo necesario para el mallado y el mapeo . Por lo tanto, la generación de la malla es más rápida y sencilla. Diversas técnicas automáticas, especialmente las asociadas al Método de Elementos Finitos, también utilizan mallas no estructuradas. El refinamiento y la adaptación de la malla son sencillos en este tipo de mallas.
Mejora de la malla
Esto se logra mediante dos técnicas: suavizado y volteo. En el suavizado de malla, se ajusta la posición de los vértices. En el volteo, se intercambian las diagonales del cuadrilátero triangulado. El volteo mejora la calidad de los triángulos.
Referencias
- ↑ Patankar, Suhas V. (1980). Transferencia de calor numérica y flujo de fluidos . Hemisphere Publishing Corporation. ISBN 0891165223.
- ↑ Marshall, D., y Ruffin, SM, "Un esquema de malla cartesiana de contorno incrustado para flujos viscosos utilizando un nuevo tratamiento de condición de contorno de pared viscosa", AIAA Paper 2004-0581, presentado en la 42.ª Reunión de Ciencias Aeroespaciales de la AIAA, enero de 2004.
- ↑ Versteeg, HK; Malalasekera, W. (2007). Introducción a la dinámica de fluidos computacional : el método de volumen finito (2.ª ed.). Harlow: Prentice Hall. ISBN 9780131274983.
- ↑ Karmna, Steve L. Jr., "Splitfor: Un código CFD de cuadrícula prismática cartesiana no estructurada 3D para geometrías complejas", documento AIAA 95-0343, presentado en la 33.ª Reunión y Exposición de Ciencias Aeroespaciales, Reno, Nevada, enero de 1995.
Véase también
- Diagrama de Voronoi
- Tipos de malla # Clasificación de las mallas en soluciones computacionales de ecuaciones diferenciales parciales
- Grafo reticular
- panal (geometría)
- red global discreta
- Dinámica de fluidos computacional
- Método de elementos finitos