Glosario de teoría de categorías

Este es un glosario de propiedades y conceptos de la teoría de categorías en matemáticas , incluyendo aquellos de la teoría de topos . (Véase también Esquema de la teoría de categorías ).

• Notas sobre los fundamentos : En muchas exposiciones (por ejemplo, la de Vistoli), se ignoran las cuestiones de teoría de conjuntos; esto significa, por ejemplo, que no se distingue entre categorías pequeñas y grandes y que se puede formar arbitrariamente una localización de una categoría. ^{[ 1 ]} Al igual que esas exposiciones, este glosario también ignora generalmente las cuestiones de teoría de conjuntos, excepto cuando son relevantes (por ejemplo, la discusión sobre accesibilidad).

Especialmente para categorías superiores, los conceptos de la topología algebraica también se utilizan en la teoría de categorías. Para ello, véase también el glosario de topología algebraica .

Las notaciones y convenciones utilizadas a lo largo del artículo son:

• [ n ] = {0, 1, 2, …, n }, que se considera una categoría (escribiendo${\displaystyle i\to j\Leftrightarrow i\leq j}$.)
• Cat , la categoría de categorías (pequeñas) , donde los objetos son categorías (que son pequeñas con respecto a algún universo) y los morfismos son functores .
• Fct ( C , D ), la categoría de funtores : la categoría de funtores de una categoría C a una categoría D .
• Conjunto , la categoría de conjuntos (pequeños).
• Conjunto s , la categoría de conjuntos simpliciales .
• Se le da el estado predeterminado a "débil" en lugar de "estricto"; por ejemplo, " n- categoría" significa " n- categoría débil", no la estricta, por defecto.
• Por categoría infinita , nos referimos a una cuasicategoría , el modelo más popular, a menos que se estén discutiendo otros modelos.
• El número cero 0 es un número natural.

2 categorías

1. Una 2-categoría es una generalización de una categoría donde también existen 2-morfismos entre morfismos.  

2. Una (2, 1)-categoría es una 2-categoría en la que todo 2-morfismo es invertible.  

abeliano

Una categoría es abeliana si tiene un objeto cero, tiene todas las reducciones y extracciones, y todos los monomorfismos y epimorfismos son normales.

accesible

1. Dado un número cardinal κ, un objeto X en una categoría es κ-accesible (o κ-compacto o κ-presentable) si  ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,-)}$conmuta con colímites filtrados por κ.

2. Dado un cardinal regular κ, una categoría es κ-accesible si tiene colímites κ-filtrados y existe un pequeño conjunto S de objetos κ-compactos que genera la categoría bajo colímites, lo que significa que cada objeto puede escribirse como un colímite de diagramas de objetos en S.  

aditivo

Una categoría es aditiva si es preaditiva (para ser precisos, tiene alguna estructura preaditiva) y admite todos los coproductos finitos . Aunque "preaditivo" es una estructura adicional, se puede demostrar que "aditivo" es una propiedad de una categoría; es decir, se puede preguntar si una categoría dada es aditiva o no. ^{[ 2 ]}

adecuado

Una subcategoría adecuada es una subcategoría en la que la incrustación de Yoneda de la categoría ambiental sigue siendo totalmente fiel.

adición

Una adjunción (también llamada par adjunto) es un par de functores F : C → D , G : D → C tales que existe una biyección "natural".

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{D}(F(X),Y)\simeq \operatorname {Hom} _{C}(X,G(Y))}$;

Se dice que F es adjunto izquierdo de G y G es adjunto derecho de F. Aquí, "natural" significa que hay un isomorfismo natural.${\displaystyle \operatorname {Hom} _{D}(F(-),-)\simeq \operatorname {Hom} _{C}(-,G(-))}$de bifuntores (que son contravariantes en la primera variable).

álgebra para una mónada

Dado un monad T en una categoría X , un álgebra para T o un T -álgebra es un objeto en X con una acción monoide de T ("álgebra" es engañoso y " T -objeto" es quizás un término mejor). Por ejemplo, dado un grupo G que determina un monad T en Set de la manera estándar, un T -álgebra es un conjunto con una acción de G.

algebraico

Una categoría algebraica es una categoría que es monádica sobre Set .

amnésico

Un functor es amnésico si tiene la propiedad: si k es un isomorfismo y F ( k ) es una identidad, entonces k es una identidad.

anodino

extensión anodina

equilibrado

Una categoría está equilibrada si cada bimorfismo (es decir, tanto monomorfismo como epimorfismo) es un isomorfismo.

Teorema de Beck

El teorema de Beck caracteriza la categoría de álgebras para una mónada dada .

bicategoría

Una bicategoría es un modelo de una 2-categoría débil .

bifunctor

Un bifunctor de un par de categorías C y D a una categoría E es un functor C × D → E. Por ejemplo, para cualquier categoría C ,${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,-)}$es un bifunctor de C ^op y C a Set .

bimonoideo

Una categoría bimonoide es una categoría con dos estructuras monoidales, una distribuida sobre la otra.

bimorfismo

Un bimorfismo es un morfismo que es a la vez un epimorfismo y un monomorfismo.

Localización de Bousfield

Véase la localización de Bousfield .

cálculo de functores

El cálculo de funtores es una técnica para estudiar funtores de manera similar a como se estudia una función mediante su desarrollo en serie de Taylor ; de ahí el término "cálculo".

cálculo de fracciones

cálculo de fracciones .

cartesiana cerrada

Una categoría es cartesiana cerrada si tiene un objeto terminal y si cualesquiera dos objetos tienen un producto y una exponencial.

functor cartesiano

Dadas las categorías relativas${\displaystyle p:F\to C,q:G\to C}$sobre la misma categoría base C , un functor${\displaystyle f:F\to G}$Una matriz sobre C es cartesiana si envía morfismos cartesianos a morfismos cartesianos.

morfismo cartesiano

1. Dado un functor π: C → D (por ejemplo, un preapilamiento sobre esquemas), un morfismo f : x → y en C es π-cartesiano si, para cada objeto z en C , cada morfismo g : z → y en C y cada morfismo v : π( z ) → π( x ) en D tales que π( g ) = π( f ) ∘ v , existe un único morfismo u : z → x tal que π( u ) = v y g = f ∘ u .  

2. Dado un functor π: C → D (por ejemplo, un preapilamiento sobre anillos), un morfismo f : x → y en C es π-cocartesiano si, para cada objeto z en C , cada morfismo g : x → z en C y cada morfismo v : π( y ) → π( z ) en D tales que π( g ) = v ∘ π( f ), existe un único morfismo u : y → z tal que π( u ) = v y g = u ∘ f . (En resumen, f es el dual de un morfismo π-cartesiano).  

cuadrado cartesiano

Un diagrama conmutativo que es isomorfo al diagrama dado como un producto fibrado.

lógica categórica

La lógica categórica es un enfoque de la lógica matemática que utiliza la teoría de categorías.

probabilidad categórica

probabilidad categórica

categorización

La categorización es un proceso que consiste en reemplazar conjuntos y conceptos de la teoría de conjuntos por categorías y conceptos de la teoría de categorías de una manera no trivial para capturar las características propias de cada categoría. La descategorización es el proceso inverso a la categorización.

La teoría de categorías se originó... con la necesidad de guiar cálculos complejos que implican el paso al límite en el estudio del salto cualitativo de los espacios a los objetos homotópicos/homológicos. ... Pero la teoría de categorías no se conforma con la mera clasificación al estilo de la metafísica wolffiana (aunque algunos de sus practicantes puedan hacerlo); más bien, la mutabilidad de estructuras matemáticamente precisas (mediante morfismos) es el contenido esencial de la teoría de categorías.

— William Lawvere, ^{[ 3 ]}

categoría

Una categoría consta de los siguientes datos

1. Una clase de objetos,
2. Para cada par de objetos X , Y , un conjunto${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)}$, cuyos elementos se denominan morfismos de X a Y ,
3. Para cada triplete de objetos X , Y , Z , se genera un mapa (llamado composición).

   ${\displaystyle \circ$ :\operatorname {Hom} (Y,Z)\times \operatorname {Hom} (X,Y)\to \operatorname {Hom} (X,Z),\,(g,f)\mapsto g\circ f} ,

4. Para cada objeto X , un morfismo identidad${\displaystyle \operatorname {id} _{X}\in \operatorname {Hom} (X,X)}$

sujeto a las condiciones: para cualquier morfismo${\displaystyle f:X\to Y}$,${\displaystyle g:Y\to Z}$y${\displaystyle h:Z\to W}$,

• ${\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)}$y${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}\circ f=f\circ \operatorname {id} _{X}=f}$.

Por ejemplo, un conjunto parcialmente ordenado puede verse como una categoría: los objetos son los elementos del conjunto y para cada par de objetos x , y , existe un morfismo único.${\displaystyle x\to y}$si y solo si${\displaystyle x\leq y}$; la asociatividad de la composición implica transitividad.

categoría de

1. La categoría de categorías (pequeñas) , denotada por Cat , es una categoría donde los objetos son todas las categorías que son pequeñas con respecto a algún universo fijo y los morfismos son todos los functores .  

2. Categoría de módulos , categoría de espacios topológicos , categoría de grupos , categoría de espacios métricos , etc.  

espacio de clasificación

El espacio de clasificación de una categoría C es la realización geométrica del nervio de C.

co-

A menudo se usa como sinónimo de op-; por ejemplo, un colímite se refiere a un op-límite en el sentido de que es un límite en la categoría opuesta. Pero podría haber una distinción; por ejemplo, una op-fibración no es lo mismo que una cofibración .

mónada de codensidad

Mónada de codensidad .

coend

El co-extremo de un functor${\displaystyle F:C^{\text{op}}\times C\to X}$es el dual del extremo de F y se denota por

${\displaystyle \int ^{c\in C}F(c,c)}$.

Por ejemplo, si R es un anillo, M un R -módulo derecho y N un R -módulo izquierdo, entonces el producto tensorial de M y N es

${\displaystyle M\otimes _{R}N=\int ^{R}M\otimes _{\mathbb {Z} }N}$

donde R se considera una categoría con un objeto cuyos morfismos son los elementos de R.

ecualizador

El coecualizador de un par de morfismos${\displaystyle f,g:A\to B}$es el colímite del par. Es el dual de un ecualizador.

coherador

coherador

teorema de coherencia

Un teorema de coherencia es un teorema que establece que una estructura débil es equivalente a una estructura estricta.

coherente

1. Una categoría coherente (por ahora, véase https://ncatlab.org/nlab/show/coherent+category ).  

2. Un topos coherente .  

cohesivo

categoría cohesiva .

coimage

La coimagen de un morfismo f : X → Y es el coecualizador de${\displaystyle X\times _{Y}X\rightrightarrows X}$.

ópera coloreada

Otro término para multicategoría , una categoría generalizada donde un morfismo puede tener varios dominios. La noción de "ópera coloreada" es más primitiva que la de operada: de hecho, una operada puede definirse como una operada coloreada con un solo objeto.

coma

Funtores dados${\displaystyle f:C\to B,g:D\to B}$, la categoría de coma${\displaystyle (f\downarrow g)}$es una categoría donde (1) los objetos son morfismos${\displaystyle f(c)\to g(d)}$y (2) un morfismo de${\displaystyle \alpha :f(c)\to g(d)}$a${\displaystyle \beta :f(c')\to g(d')}$consta de${\displaystyle c\to c'}$y${\displaystyle d\to d'}$de tal manera que${\displaystyle f(c)\to f(c'){\overset {\beta }{\to }}g(d')}$es${\displaystyle f(c){\overset {\alpha }{\to }}g(d)\to g(d').}$Por ejemplo, si f es el functor identidad y g es el functor constante con un valor b , entonces es la categoría de rebanadas de B sobre un objeto b .

cómonad

Una comónada en una categoría X es un comonoide en la categoría monoidal de endofuntores de X.

compacto

Probablemente sinónimo de accesible .

completo

Una categoría está completa si existen todos los límites pequeños.

lo completo

Teorema de completitud de Deligne ; véase.

composición

1. Una composición de morfismos en una categoría es parte del dato que define la categoría.  

2. Si  ${\displaystyle f:C\to D,\,g:D\to E}$son functores, entonces la composición${\displaystyle g\circ f}$o${\displaystyle gf}$es el functor definido por: para un objeto x y un morfismo u en C ,${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x)),\,(g\circ f)(u)=g(f(u))}$.

3. Las transformaciones naturales se componen punto por punto: si  ${\displaystyle \varphi :f\to g,\,\psi :g\to h}$son transformaciones naturales, entonces${\displaystyle \psi \circ \varphi}$es la transformación natural dada por${\displaystyle (\psi \circ \varphi )_{x}=\psi _{x}\circ \varphi _{x}}$.

computad

computad .

concreto

Una categoría concreta C es una categoría tal que existe un functor fiel de C a Set ; por ejemplo, Vec , Grp y Top .

cono

Un cono es una forma de expresar la propiedad universal de un colímite (o dualmente un límite). Se puede demostrar ^{[ 4 ]} que el colímite${\displaystyle \varinjlim }$es el adjunto izquierdo del functor diagonal${\displaystyle \Delta :C\to \operatorname {Fct} (I,C)}$, que envía un objeto X al functor constante con valor X ; es decir, para cualquier X y cualquier functor${\displaystyle f:I\to C}$,

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\varinjlim f,X)\simeq \operatorname {Hom} (f,\Delta _{X}),}$

siempre que exista el colímite en cuestión. El lado derecho es entonces el conjunto de conos con ^vértice X. ^{[ 5} ]

conectado

Una categoría es conexa si, para cada par de objetos x , y , existe una secuencia finita de objetos zᵢ tal _que${\displaystyle z_{0}=x,z_{n}=y}$y cualquiera${\displaystyle \operatorname {Hom} (z_{i},z_{i+1})}$o${\displaystyle \operatorname {Hom} (z_{i+1},z_{i})}$no está vacío para cualquier i .

functor conservador

Un functor conservativo es aquel que refleja isomorfismos. Muchos functores olvidadizos son conservativos, pero el functor olvidadizo de Top a Set no lo es.

constante

Un functor es constante si asigna a cada objeto de una categoría el mismo objeto A y a cada morfismo la identidad en A. Dicho de otra manera, un functor${\displaystyle f:C\to D}$es constante si se factoriza como:${\displaystyle C\to \{A\}{\overset {i}{\to }}D}$para algún objeto A en D , donde i es la inclusión de la categoría discreta { A }.

functor contravariante

Un functor contravariante F de una categoría C a una categoría D es un functor (covariante) de C ^op a D. A veces también se le llama prefaisceato, especialmente cuando D es Set o las variantes. Por ejemplo, para cada conjunto S , sea${\displaystyle {\mathfrak {P}}(S)}$sea ​​el conjunto potencia de S y para cada función${\displaystyle f:S\to T}$, definir

${\displaystyle {\mathfrak {P}}(f):{\mathfrak {P}}(T)\to {\mathfrak {P}}(S)}$

enviando un subconjunto A de T a la preimagen${\displaystyle f^{-1}(A)}$. Con esto,${\displaystyle {\mathfrak {P}}:\mathbf {Set} \to \mathbf {Set} }$es un functor contravariante.

coproducto

El coproducto de una familia de objetos X _i en una categoría C indexada por un conjunto I es el límite inductivo.${\displaystyle \varinjlim }$del functor${\displaystyle I\to C,\,i\mapsto X_{i}}$, donde I se considera una categoría discreta. Es el dual del producto de la familia. Por ejemplo, un coproducto en Grp es un producto libre .

centro

El núcleo de una categoría es el grupoide máximo contenido en la categoría.

cúbico

Un conjunto cúbico es una alternativa a un conjunto simplicial; un simplex se reemplaza por un cubo.

convolución diurna

Dado un grupo o monoide M , la convolución de Day es el producto tensorial en${\displaystyle \mathbf {Fct} (M,\mathbf {Set} )}$. ^{[ 6 ]}

Dendroidal

Conjunto dendroidal .

denso

Una subcategoría densa es otro nombre para una subcategoría adecuada .

teorema de densidad

El teorema de densidad establece que todo prehaz (un functor contravariante multivaluado) es un colímite de prehaces representables. El lema de Yoneda incrusta una categoría C en la categoría de prehaces sobre C. El teorema de densidad afirma entonces que la imagen es "densa". El término "densidad" se debe a la analogía con el teorema de densidad de Jacobson (u otras variantes) en álgebra abstracta.

functor diagonal

1. Dadas las categorías I y C , el functor diagonal es el functor   

${\displaystyle \Delta :C\to \mathbf {Fct} (I,C),\,A\mapsto \Delta _{A}}$

que envía cada objeto A al functor constante con valor A y cada morfismo${\displaystyle f:A\to B}$a la transformación natural${\displaystyle \Delta _{f,i}:\Delta _{A}(i)=A\to \Delta _{B}(i)=B}$eso es f en cada i .

diagrama

1. Dada una categoría C , un diagrama en C es un functor.  ${\displaystyle f:I\to C}$de una categoría I. Por ejemplo, si${\displaystyle I=\mathbb {N} }$Sin morfismos distintos de las identidades, un diagrama simplemente se reduce a una secuencia de objetos. Para un I general , normalmente existe un morfismo entre las imágenes de los objetos en I bajo f (de ahí el término diagrama).

2. Diagrama simplicial , un diagrama del lado opuesto  ${\displaystyle \Delta ^{\textrm {op}}}$de la categoría simplex.

conjunto diagramático

Un conjunto diagramático es una alternativa a un conjunto simplicial o a un conjunto cúbico.

categoría de calificación diferencial

Una categoría graduada diferencial es una categoría cuyos conjuntos Hom están equipados con estructuras de módulos graduados diferenciales . En particular, si la categoría tiene un solo objeto, es lo mismo que un módulo graduado diferencial.

límite directo

Un límite directo es el colímite de un sistema directo .

discreto

Una categoría es discreta si cada morfismo es un morfismo identidad (de algún objeto). Por ejemplo, un conjunto puede considerarse una categoría discreta.

distribuidor

Otro término para "profunctor".

doble

doble categoría .

Equivalencia Dwyer-Kan

Una equivalencia de Dwyer-Kan es una generalización de una equivalencia de categorías al contexto simplicial. ^{[ 7 ]}

Elemental

1. La teoría elemental de las categorías abstractas .  

2. La teoría elemental de la categoría de conjuntos .  

3. La teoría elemental de la categoría de categorías .  

Categoría Eilenberg-Moore

Otro nombre para la categoría de álgebras para una mónada dada .

Categoría Eilenberg-Zilber

Categoría de Eilenberg-Zilber .

vacío

La categoría vacía es una categoría sin objetos. Es lo mismo que el conjunto vacío cuando este último se considera una categoría discreta.

fin

El final de un functor${\displaystyle F:C^{\text{op}}\times C\to X}$es el límite

${\displaystyle \int _{c\in C}F(c,c)=\varprojlim (F^{\#}:C^{\#}\to X)}$

dónde${\displaystyle C^{\#}}$es la categoría (llamada categoría de subdivisión de C ) cuyos objetos son símbolos${\displaystyle c^{\#},u^{\#}}$para todos los objetos c y todos los morfismos u en C y cuyos morfismos son${\displaystyle b^{\#}\to u^{\#}}$y${\displaystyle u^{\#}\to c^{\#}}$si${\displaystyle u:b\to c}$y dónde${\displaystyle F^{\#}}$es inducido por F de modo que${\displaystyle c^{\#}}$iría a${\displaystyle F(c,c)}$y${\displaystyle u^{\#},u:b\to c}$iría a${\displaystyle F(b,c)}$. Por ejemplo, para functores${\displaystyle F,G:C\to X}$,

${\displaystyle \int _{c\in C}\operatorname {Hom} (F(c),G(c))}$

es el conjunto de transformaciones naturales de F a G. Para más ejemplos, consulte este hilo de mathoverflow . El dual de un extremo es un co-extremo.

endofunctor

Un functor entre la misma categoría.

categoría enriquecida

Dada una categoría monoidal ( C , ⊗, 1), una categoría enriquecida sobre C es, informalmente, una categoría cuyos conjuntos Hom están en C . Más precisamente, una categoría D enriquecida sobre C es un conjunto de datos que consiste en

1. Una clase de objetos,
2. Para cada par de objetos X , Y en D , un objeto${\displaystyle \operatorname {Map} _{D}(X,Y)}$en C , llamado objeto de mapeo de X a Y ,
3. Para cada triplete de objetos X , Y , Z en D , un morfismo en C ,

   ${\displaystyle \circ$ :\operatorname {Map} _{D}(Y,Z)\otimes \operatorname {Map} _{D}(X,Y)\to \operatorname {Map} _{D}(X,Z)} ,

   llamada la composición,

4. Para cada objeto X en D , un morfismo${\displaystyle 1_{X}:1\to \operatorname {Map} _{D}(X,X)}$en C , llamado morfismo unitario de X

sujeto a las condiciones de que (aproximadamente) las composiciones sean asociativas y los morfismos unitarios actúen como identidad multiplicativa.

Por ejemplo, una categoría enriquecida sobre conjuntos es una categoría ordinaria.

epimorfismo

Un morfismo f es un epimorfismo si${\displaystyle g=h}$cuando sea${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$En otras palabras, f es el dual de un monomorfismo.

igualada

El ecualizador de un par de morfismos${\displaystyle f,g:A\to B}$es el límite del par. Es el dual de un coecualizador.

equivalencia

1. Un functor es una equivalencia si es fiel, completo y esencialmente sobreyectivo.  

2. Un morfismo en una ∞-categoría C es una equivalencia si da un isomorfismo en la categoría de homotopía de C.  

equivalente

Una categoría es equivalente a otra categoría si existe una equivalencia entre ellas.

esencialmente sobreyectivo

Un functor F se denomina esencialmente sobreyectivo (o isomorfismo-denso) si para cada objeto B existe un objeto A tal que F ( A ) es isomorfo a B .

evaluación

Dadas las categorías C , D y un objeto A en C , la evaluación en A es el functor

${\displaystyle \mathbf {Fct} (C,D)\to D,\,\,F\mapsto F(A).}$

Por ejemplo, los axiomas de Eilenberg-Steenrod dan un ejemplo en el que el functor es una equivalencia.

exacto

1. Una secuencia exacta es típicamente una secuencia (de enteros negativos arbitrarios a enteros positivos arbitrarios) de mapas   

${\displaystyle \cdots \to E_{1}{\overset {f_{1}}{\to }}E_{2}{\overset {f_{2}}{\to }}E_{3}\to \cdots }$

de tal manera que la imagen de${\displaystyle f_{i}}$es el núcleo de${\displaystyle f_{i+1}}$Esta noción puede generalizarse de diversas maneras.

2. Una sucesión exacta corta es una sucesión de la forma  ${\displaystyle 0\to E\to F\to G\to 0}$.

3. Se dice que un functor (por ejemplo, entre categorías abelianas) es exacto si toma secuencias exactas cortas a secuencias exactas cortas.  

4. Una categoría exacta es, aproximadamente, una categoría en la que existe la noción de una secuencia exacta corta.  

5. Una categoría exacta en el sentido de Barr .  

salida

categoría de ruta de salida

fiel

Un functor es fiel si es inyectivo cuando se restringe a cada conjunto de hom .

categoría fundamental

El functor de categoría fundamental${\displaystyle \tau _{1}:s\mathbf {Set} \to \mathbf {Cat} }$es el adjunto izquierdo del functor de nervio N. Para cada categoría C ,${\displaystyle \tau _{1}NC=C}$.

grupoide fundamental

1. El grupoide fundamental de un espacio topológico X es una categoría donde los objetos son los puntos en X y los morfismos las clases de homotopía de caminos.  

2. El grupoide fundamental de un complejo de Kan X es la categoría donde un objeto es un 0-símplex (vértice).  ${\displaystyle \Delta ^{0}\to X}$, un morfismo es una clase de homotopía de un 1-símplex (camino)${\displaystyle \Delta ^{1}\to X}$y la composición está determinada por la propiedad Kan.

categoría de fibras

Se dice que un functor π: C → D exhibe C como una categoría fibrada sobre D si, para cada morfismo g : x → π( y ) en D , existe un morfismo π-cartesiano f : x' → y en C tal que π( f ) = g . Si D es la categoría de esquemas afines (por ejemplo, de tipo finito sobre algún cuerpo), entonces π se denomina más comúnmente un preapilamiento . Nota : π suele ser un functor olvidadizo y, de hecho, la construcción de Grothendieck implica que toda categoría fibrada puede tomarse de esa forma (salvo equivalencias en un sentido adecuado).

producto de fibra

Dada una categoría C y un conjunto I , el producto fibrado sobre un objeto S de una familia de objetos X _i en C indexada por I es el producto de la familia en la categoría de rebanadas.${\displaystyle C_{/S}}$de C sobre S (siempre que haya${\displaystyle X_{i}\to S}$). El producto fibrado de dos objetos X e Y sobre un objeto S se denota por${\displaystyle X\times _{S}Y}$y también se le llama cuadrado cartesiano .

fibrante

Un objeto es fibrante si el único morfismo que lo une al objeto final es una fibración, cuando existe la noción de fibración.

filtrado

1. Una categoría filtrada (también llamada categoría filtrante) es una categoría no vacía con las propiedades (1) dados los objetos i y j , existe un objeto k y morfismos i → k y j → k y (2) dados los morfismos u , v : i → j , existe un objeto k y un morfismo w : j → k tales que w ∘ u = w ∘ v . Una categoría I es filtrada si y solo si, para cada categoría finita J y functor f : J → I , el conjunto  ${\displaystyle \varprojlim \operatorname {Hom} (f(j),i)}$no es vacío para algún objeto i en I.

2. Dado un número cardinal π, se dice que una categoría es π-filtrante si, para cada categoría J cuyo conjunto de morfismos tiene un número cardinal estrictamente menor que π, el conjunto  ${\displaystyle \varprojlim \operatorname {Hom} (f(j),i)}$no es vacío para algún objeto i en I.

final

Sinónimo de terminal

mónada finita

Una mónada finita o una mónada algebraica es una mónada en Set cuyo endofunctor subyacente conmuta con colímites filtrados.

finito

Una categoría es finita si solo tiene un número finito de morfismos.

functor olvidadizo

El functor olvidadizo es, aproximadamente, un functor que pierde algunos de los datos de los objetos; por ejemplo, el functor${\displaystyle \mathbf {Grp} \to \mathbf {Set} }$Un functor olvidadizo que envía un grupo a su conjunto subyacente y un homomorfismo de grupo a sí mismo.

categoría libre

La categoría gratuita generada por un gráfico${\displaystyle G}$es una categoría junto con el mapa${\displaystyle G\to UC}$= el gráfico subyacente de${\displaystyle C}$de tal manera que (1) los objetos son exactamente los vértices de${\displaystyle G}$y (2)${\displaystyle G\to UD}$para una categoría${\displaystyle D}$factores únicos a través de${\displaystyle G\to UC}$. Por ejemplo,${\displaystyle [n]=\{0,\cdots ,n\}}$es una categoría gratuita.

finalización gratuita

Finalización gratuita , co-finalización gratuita .

functor libre

Un functor libre es el adjunto izquierdo de un functor olvidadizo. Por ejemplo, para un anillo R , el functor que envía un conjunto X al R -módulo libre generado por X es un functor libre (de ahí su nombre).

Categoría de Frobenius

Una categoría de Frobenius es una categoría exacta que tiene suficientes objetos inyectivos y suficientes objetos proyectivos, de tal manera que la clase de objetos inyectivos coincide con la de objetos proyectivos.

Categoría Fukaya

Ver categoría Fukaya .

lleno

1. Un functor es completo si es sobreyectivo cuando se restringe a cada conjunto de hom .  

2. Una categoría A es una subcategoría completa de una categoría B si el functor de inclusión de A a B es completo.  

functor

Dadas las categorías C y D , un functor F de C a D es una aplicación que preserva la estructura de C a D ; es decir, consiste en un objeto F ( x ) en D para cada objeto x en C y un morfismo F ( f ) en D para cada morfismo f en C que satisface las condiciones: (1)${\displaystyle F(f\circ g)=F(f)\circ F(g)}$cuando sea${\displaystyle f\circ g}$se define y (2)${\displaystyle F(\operatorname {id} _{x})=\operatorname {id} _{F(x)}}$. Por ejemplo,

${\displaystyle {\mathfrak {P}}:\mathbf {Set} \to \mathbf {Set} ,\,S\mapsto {\mathfrak {P}}(S)}$,

dónde${\displaystyle {\mathfrak {P}}(S)}$es el conjunto potencia de S es un functor si definimos: para cada función${\displaystyle f:S\to T}$,${\displaystyle {\mathfrak {P}}(f):{\mathfrak {P}}(S)\to {\mathfrak {P}}(T)}$por${\displaystyle {\mathfrak {P}}(f)(A)=f(A)}$.

categoría de functor

La categoría de functores Fct ( C , D ) o${\displaystyle D^{C}}$de una categoría C a una categoría D es la categoría donde los objetos son todos los functores de C a D y los morfismos son todas las transformaciones naturales entre los functores.

Teorema de Gabriel-Popescu

El teorema de Gabriel-Popescu afirma que una categoría abeliana es un cociente de la categoría de módulos.

Categoría de Galois

1. En SGA 1 , Exposición V (Definición 5.1.), una categoría se llama categoría de Galois si es equivalente a la categoría de G -conjuntos finitos para algún grupo profinito G.  

2. Por razones técnicas, algunos autores (por ejemplo, el proyecto Stacks ^{[ 8 ]} o ^{[ 9 ]} ) utilizan definiciones ligeramente diferentes.  

generador

En una categoría C , una familia de objetos${\displaystyle G_{i},i\in I}$es un sistema de generadores de C si el functor${\displaystyle X\mapsto \prod _{i\in I}\operatorname {Hom} (G_{i},X)}$es conservador. Su dual se llama sistema de cogeneradores.

generalizado

espacio métrico generalizado .

Gris

1. Un producto tensorial de Gray es un análogo laxo de un producto cartesiano. ^{[ 10 ]}  

2. Una categoría gris es una determinada categoría semiestricta de 3 categorías; véase https://ncatlab.org/nlab/show/Gray-category  

gros topos

La noción de gros topos (de espacios topológicos) se debe a Jean Giraud .

La teoría de Galois de Grothendieck

Una generalización de la teoría de Galois basada en la teoría de categorías ; véase la teoría de Galois de Grothendieck .

Categoría Grothendieck

Una categoría de Grothendieck es un tipo de categoría abeliana que se comporta de forma adecuada.

Construcción Grothendieck

Dado un functor${\displaystyle U:C\to \mathbf {Cat} }$Sea D _U la categoría donde los objetos son pares ( x , u ) que consisten en un objeto x en C y un objeto u en la categoría U ( x ) y un morfismo de ( x , u ) a ( y , v ) es un par que consiste en un morfismo f : x → y en C y un morfismo U ( f )( u ) → v en U ( y ). El paso de U a D _U se denomina entonces construcción de Grothendieck .

fibración de Grothendieck

Una categoría fibrosa .

grupoide

1. Una categoría se llama grupoide si cada morfismo en ella es un isomorfismo.  

2. Una ∞-categoría se llama ∞-grupoide si todo morfismo en ella es una equivalencia (o equivalentemente si es un complejo de Kan ).  

Álgebra de Hall de una categoría

Véase álgebra de Ringel-Hall .

corazón

El corazón de una estructura en T (${\displaystyle D^{\geq 0}}$,${\displaystyle D^{\leq 0}}$) en una categoría triangulada es la intersección${\displaystyle D^{\geq 0}\cap D^{\leq 0}}$Es una categoría abeliana.

teoría de categorías superiores

La teoría de categorías superiores es un subcampo de la teoría de categorías que se ocupa del estudio de las n -categorías y las ∞-categorías .

pila más alta

Una pila superior es una generalización de una pila a categorías superiores .

dimensión homológica

La dimensión homológica de una categoría abeliana con suficientes inyectivas es el menor entero no negativo n tal que todo objeto de la categoría admite una resolución inyectiva de longitud como máximo n . La dimensión es infinita si no existe tal entero. Por ejemplo, la dimensión homológica de Mod _R con un dominio de ideales principales R es como máximo uno.

categoría de homotopía

Véase categoría de homotopía . Está estrechamente relacionada con una localización de una categoría .

colímite de homotopía

Teorema del colímite de homotopía de Thomason .

hipótesis de homotopía

La hipótesis de homotopía establece que un ∞-grupoide es un espacio (de forma menos ambigua, un n- grupoide puede usarse como un n- tipo homotópico).

composición horizontal

Funtores dados${\displaystyle f,g:C\to D,\,u,v:D\to E}$, la composición horizontal es

${\displaystyle *:\operatorname {Nat} (u,v)\times \operatorname {Nat} (f,g)\to \operatorname {Nat} (u\circ f,v\circ g)}$

dado por${\displaystyle (\psi *\varphi )_{x}=\psi _{g(x)}\circ u(\varphi _{x})=v(\varphi _{x})\circ \psi _{f(x)}}$(la segunda igualdad es porque${\displaystyle \psi }$es natural).

idempotente

1. Un endomorfismo f es idempotente si  ${\displaystyle f\circ f=f}$.

2. La completación idempotente de una categoría es una ampliación universal de la misma, de modo que los idempotentes se dividen. Por ejemplo, la categoría de motivos efectivos (puros) se define como la completación idempotente de la categoría de correspondencias.  

identidad

1. El morfismo identidad f de un objeto A es un morfismo de A a A tal que para cualesquiera morfismos g con dominio A y h con codominio A ,  ${\displaystyle g\circ f=g}$y${\displaystyle f\circ h=h}$.

2. El functor identidad en una categoría C es un functor de C a C que envía objetos y morfismos a sí mismos.  

3. Dado un functor F : C → D , la transformación natural identidad de F a F es una transformación natural que consiste en los morfismos identidad de F ( X ) en D para los objetos X en C .  

imagen

La imagen de un morfismo f : X → Y es el ecualizador de${\displaystyle Y\rightrightarrows Y\sqcup _{X}Y}$.

límite ind

Un colímite (o límite inductivo) en${\displaystyle \mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )}$.

límite inductivo

Otro nombre para colímite .

∞-categoría

La teoría de las ∞-categorías es una interpretación semántica del lenguaje formal de la teoría de categorías. Esto significa que se puede dar sentido sistemáticamente a cualquier enunciado formulado en el lenguaje de la teoría de categorías en el contexto de las ∞-categorías.

— Denis-Charles Cisinski , ^{[ 11 ]}

Una ∞-categoría se obtiene a partir de una categoría reemplazando la clase/conjunto de objetos y morfismos por los espacios de objetos y morfismos. Precisamente, una ∞-categoría C es un conjunto simplicial que satisface la siguiente condición: para cada 0 < i < n ,

• cada mapa de conjuntos simpliciales${\displaystyle f:\Lambda _{i}^{n}\to C}$se extiende a un n -símplex${\displaystyle f:\Delta ^{n}\to C}$

donde Δ ⁿ es el n- símplex estándar y${\displaystyle \Lambda _{i}^{n}}$se obtiene a partir de Δ ⁿ eliminando la i -ésima cara y el interior (véase Fibración de Kan#Definiciones ). Por ejemplo, el nervio de una categoría satisface la condición y, por lo tanto, puede considerarse como una ∞-categoría.

(∞, n )-categoría

Una (∞, n )-categoría se obtiene a partir de una ∞-categoría reemplazando el espacio de morfismos por la (∞, n - 1)-categoría de morfismos.

haz infinito

Otro término para un haz homotópico .

inicial

1. Un objeto A es inicial si existe exactamente un morfismo de A a cada objeto; por ejemplo, el conjunto vacío en el conjunto .  

2. Un objeto A en una ∞-categoría C es inicial si  ${\displaystyle \operatorname {Map} _{C}(A,B)}$es contraíble para cada objeto B en C.

inyectable

1. Un objeto A en una categoría abeliana es inyectivo si el functor  ${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,A)}$es exacto. Es el dual de un objeto proyectivo.

2. El término “límite inyectivo” es otro nombre para un límite directo .  

intercambio

La ley de intercambio dice

${\displaystyle (\psi '\circ \varphi ')*(\psi \circ \varphi )=(\psi '*\psi )\circ (\varphi '*\varphi )}$

dónde${\displaystyle \circ ,*}$denotan composición vertical y composición horizontal . Junto con la preservación de identidades, la ley es equivalente a decir

${\displaystyle *:\operatorname {Fct} (B,C)\times \operatorname {Fct} (A,B)\to \operatorname {Fct} (A,C)}$

es un functor.

Inicio interno

Dada una categoría monoidal ( C , ⊗), el Hom interno es un functor.${\displaystyle [-,-]:C^{\text{op}}\times C\to C}$de tal manera que${\displaystyle [Y,-]}$es el adjunto derecho de${\displaystyle -\otimes Y}$para cada objeto Y en C. Por ejemplo, la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo R tiene el Hom interno dado como${\displaystyle [M,N]=\operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$, el conjunto de mapas R -lineales.

inverso

1. Un morfismo f es inverso de un morfismo g si  ${\displaystyle g\circ f}$está definido y es igual al morfismo identidad en el codominio de g , y${\displaystyle f\circ g}$está definido y es igual al morfismo identidad en el dominio de g . El inverso de g es único y se denota por g ⁻¹ . f es un inverso izquierdo de g si${\displaystyle f\circ g}$está definido y es igual al morfismo identidad en el dominio de g , y de manera similar para un inverso derecho.

2. Un límite inverso es el límite de un sistema inverso .  

Islabell

1. Dualidad de Isbell / Conjugación de Isbell  

2. Finalización de Isbell .  

3. Sobre Isbell .  

isomorfo

1. Un objeto es isomorfo a otro objeto si existe un isomorfismo entre ellos.  

2. Una categoría es isomorfa a otra categoría si existe un isomorfismo entre ellas.  

isomorfismo

Un morfismo f es un isomorfismo si existe un inverso de f .

Kan

1. Un complejo de Kan es un objeto fibrante en la categoría de conjuntos simpliciales; es decir, el único morfismo de él al objeto final es una fibración (fibración de Kan). A menudo se toma como un modelo de un ∞-grupoide .  

2. Una fibración de Kan entre conjuntos simpliciales es una aplicación que tiene la propiedad de elevación derecha con respecto a las inclusiones de Horn.  ${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}\to \Delta ^{n}}$para${\displaystyle n\geq 1}$y${\displaystyle 0\leq k\leq n}$.

3. Consideremos la categoría de complejos de Kan, donde cada conjunto hom es un conjunto simplicial. Su nervio homotópico coherente es una ∞-categoría denotada por Kan . En vista de la hipótesis de homotopía , esta última se suele considerar como una ∞-categoría de espacios.  

Extensión Kan

1. Dada una categoría C , el functor de extensión de Kan izquierdo a lo largo de un functor  ${\displaystyle f:I\to J}$es el adjunto izquierdo (si existe) de${\displaystyle f^{*}=-\circ f:\operatorname {Fct} (J,C)\to \operatorname {Fct} (I,C)}$y se denota por${\displaystyle f_{!}}$. Para cualquier${\displaystyle \alpha :I\to C}$, el functor${\displaystyle f_{!}\alpha :J\to C}$se denomina extensión de Kan izquierda de α a lo largo de f . ^{[ 12 ]} Se puede demostrar:

${\displaystyle (f_{!}\alpha )(j)=\varinjlim _{f(i)\to j}\alpha (i)}$

donde el colímite se extiende sobre todos los objetos${\displaystyle f(i)\to j}$en la categoría de coma.

2. El functor de extensión de Kan derecho es el adjunto derecho (si existe) de  ${\displaystyle f^{*}}$y se denota por${\displaystyle f_{*}}$.

El lema de Ken Brown

El lema de Ken Brown proporciona una condición suficiente para que un functor preserve las equivalencias débiles.

Categoría Kleisli

Dada una mónada T , la categoría de Kleisli de T es la subcategoría completa de la categoría de T -álgebras (llamada categoría de Eilenberg-Moore) que consiste en T -álgebras libres.

grande

Una categoría grande es aquella en la que todos los morfismos forman una clase, no un conjunto. En otras palabras, una categoría que no es pequeña.

Lawvere

Teorema del punto fijo de Lawvere . Por ahora, consulte https://ncatlab.org/nlab/show/Lawvere%27s+fixed+point+theorem

lax-, oplax-, colax-

1. En las categorías de dos categorías y categorías superiores más generalizadas, se añade el prefijo lax- a estructuras categóricas particulares para representar la noción de comparación que no necesariamente es invertible, y cuando se invierte la dirección de la comparación, se añade en su lugar el prefijo oplax- o el prefijo colax-. ^{[ 13 ]}  

2. En particular, un functor laxo es una generalización de un pseudofunctor , en el que no se requiere que las transformaciones estructurales asociadas a la composición y las identidades sean invertibles.  

longitud

Se dice que un objeto en una categoría abeliana tienelongitud finita si tiene una serie de composición ^. El número máximo de subobjetos propios en cualquier serie de composición de este tipo se llama longitud de A. ^{[ 14} ]

límite

1. El límite (o límite proyectivo ) de un functor  ${\displaystyle f:I^{\text{op}}\to \mathbf {Set} }$es

${\displaystyle \varprojlim _{i\in I}f(i)=\{(x_{i}|i)\in \prod _{i}f(i)\mid f(s)(x_{j})=x_{i}{\text{ for any }}s:i\to j\}.}$

2. El límite  ${\displaystyle \varprojlim _{i\in I}f(i)}$de un functor${\displaystyle f:I^{\text{op}}\to C}$es un objeto, si lo hay, en C que satisface: para cualquier objeto X en C ,${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,\varprojlim _{i\in I}f(i))=\varprojlim _{i\in I}\operatorname {Hom} (X,f(i))}$; es decir, es un objeto que representa el functor${\displaystyle X\mapsto \varprojlim _{i}\operatorname {Hom} (X,f(i)).}$

3. El colímite (o límite inductivo )  ${\displaystyle \varinjlim _{i\in I}f(i)}$es el dual de un límite; es decir, dado un functor${\displaystyle f:I\to C}$, satisface: para cualquier X ,${\displaystyle \operatorname {Hom} (\varinjlim f(i),X)=\varprojlim \operatorname {Hom} (f(i),X)}$Explícitamente, dar${\displaystyle \varinjlim f(i)\to X}$es dar una familia de morfismos${\displaystyle f(i)\to X}$de tal manera que para cualquier${\displaystyle i\to j}$,${\displaystyle f(i)\to X}$es${\displaystyle f(i)\to f(j)\to X}$. Quizás el ejemplo más simple de un colímite sea un coecualizador . Para otro ejemplo, tomemos f como el functor identidad en C y supongamos que${\displaystyle L=\varinjlim _{X\in C}f(X)}$existe; entonces el morfismo identidad en L corresponde a una familia compatible de morfismos${\displaystyle \alpha _{X}:X\to L}$de tal manera que${\displaystyle \alpha _{L}}$es la identidad. Si${\displaystyle f:X\to L}$es cualquier morfismo, entonces${\displaystyle f=\alpha _{L}\circ f=\alpha _{X}}$; es decir, L es un objeto final de C.

localización de una categoría

Véase localización de una categoría y localización de una ∞-categoría .

Makkai

Dualidad Makkai . Por ahora, consulte https://ncatlab.org/nlab/show/Makkai+duality

condición de Mittag-Leffler

Un sistema inverso${\displaystyle \cdots \to X_{2}\to X_{1}\to X_{0}}$Se dice que satisface la condición de Mittag-Leffler si para cada entero${\displaystyle n\geq 0}$, hay un número entero${\displaystyle m\geq n}$de tal manera que para cada${\displaystyle l\geq m}$, las imágenes de${\displaystyle X_{m}\to X_{n}}$y${\displaystyle X_{l}\to X_{n}}$son lo mismo.

modificación

Una modificación es un morfismo entre transformaciones naturales.

modular

categoría modular

monada

Una mónada en una categoría X es un objeto monoide en la categoría monoide de endofuntores de X con la estructura monoide dada por composición. Por ejemplo, dado un grupo G , definimos un endofuntor T en Set mediante${\displaystyle T(X)=G\times X}$. Entonces, definimos la multiplicación μ en T como la transformación natural.${\displaystyle \mu :T\circ T\to T}$dado por

${\displaystyle \mu _{X}:G\times (G\times X)\to G\times X,\,\,(g,(h,x))\mapsto (gh,x)}$

y también definimos el mapa identidad η de forma análoga. Entonces ( T , μ , η ) constituye una mónada en Set . Más sustancialmente, una adjunción entre functores${\displaystyle F:X\rightleftarrows A:G}$determina una mónada en X ; es decir, se toma${\displaystyle T=G\circ F}$, el mapa identidad η en T es una unidad de la adjunción y también define μ usando la adjunción.

monádico

1. Se dice que una adjunción es monádica si proviene de la mónada que determina mediante la categoría de Eilenberg-Moore (la categoría de álgebras para la mónada).  

2. Se dice que un functor es monádico si es un constituyente de una adjunción monádica.  

categoría monoide

Una categoría monoidal , también llamada categoría tensorial, es una categoría C equipada con (1) un bifunctor.${\displaystyle \otimes :C\times C\to C}$, (2) un objeto identidad y (3) isomorfismos naturales que hacen que ⊗ sea asociativo y el objeto identidad una identidad para ⊗, sujeto a ciertas condiciones de coherencia.

objeto monoide

Un objeto monoide en una categoría monoide es un objeto, junto con la aplicación de multiplicación y la aplicación identidad, que satisfacen las condiciones esperadas, como la asociatividad. Por ejemplo, un objeto monoide en Set es un monoide usual (semigrupo unitario) y un objeto monoide en R -mod es un álgebra asociativa sobre un anillo conmutativo R .

monomorfismo

Un morfismo f es un monomorfismo (también llamado mónico) si${\displaystyle g=h}$cuando sea${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$; p. ej., una inyección en Set . En otras palabras, f es el dual de un epimorfismo.

multicategoría

Una multicategoría es una generalización de una categoría en la que se permite que un morfismo tenga más de un dominio. Es lo mismo que una operada coloreada . ^{[ 15 ]}

n -categoría

La cuestión de comparar definiciones de n -categoría débil es resbaladiza, ya que es difícil decir qué significa siquiera que dos definiciones de este tipo sean equivalentes. [...] Se suele aceptar que la estructura formada por n -categorías débiles y los functores, transformaciones, etc., entre ellas debería ser una ( n +1)-categoría débil; y si esto es así, entonces la pregunta es si tu ( n +1)-categoría débil de n- categorías débiles es equivalente a la mía, pero ¿qué definición de ( n +1)-categoría débil estamos usando aquí...  ?

— Tom Leinster , Un estudio de las definiciones de n -categoría

1. Una n- categoría estricta se define inductivamente: una 0-categoría estricta es un conjunto y una n -categoría estricta es una categoría cuyos conjuntos Hom son ( n -1)-categorías estrictas. Precisamente, una n- categoría estricta es una categoría enriquecida sobre ( n -1)-categorías estrictas. Por ejemplo, una 1-categoría estricta es una categoría ordinaria.  

2. La noción de n -categoría débil se obtiene a partir de la estricta debilitando las condiciones como la asociatividad de composición para que se cumplan solo hasta isomorfismos coherentes en el sentido débil.  

3. Se puede definir una ∞-categoría como una especie de colim de n- categorías. Recíprocamente, si se tiene la noción de una ∞-categoría (débil) desde el principio (por ejemplo, una cuasi-categoría ), entonces una n -categoría débil puede definirse como un tipo de ∞-categoría truncada.  

natural

1. Una transformación natural es, aproximadamente, una aplicación entre functores. Precisamente, dado un par de functores F y G de una categoría C a una categoría D , una transformación natural φ de F a G es un conjunto de morfismos en D.  

${\displaystyle \{\phi _{x}:F(x)\to G(x)\mid x\in \operatorname {Ob} (C)\}}$

que satisface la condición: para cada morfismo f : x → y en C ,${\displaystyle \phi _{y}\circ F(f)=G(f)\circ \phi _{x}}$. Por ejemplo, escribir${\displaystyle GL_{n}(R)}$Para el grupo de matrices invertibles n x n con coeficientes en un anillo conmutativo R , podemos ver${\displaystyle GL_{n}}$como un functor de la categoría CRing de anillos conmutativos a la categoría Grp de grupos. De manera similar,${\displaystyle R\mapsto R^{*}}$es un functor de CRing a Grp . Entonces el determinante det es una transformación natural de${\displaystyle GL_{n}}$a - ^* .

2. Un isomorfismo natural es una transformación natural que es un isomorfismo (es decir, admite el inverso).  

número natural

objeto de número natural

nervio

1. El functor nervioso N es el functor de Cat a s Set dado por  ${\displaystyle N(C)_{n}=\operatorname {Hom} _{\mathbf {Cat} }([n],C)}$. Por ejemplo, si${\displaystyle \varphi }$es un functor en${\displaystyle N(C)_{2}}$(llamado 2-símplex), sea${\displaystyle x_{i}=\varphi (i),\,0\leq i\leq 2}$. Entonces${\displaystyle \varphi (0\to 1)}$es un morfismo${\displaystyle f:x_{0}\to x_{1}}$en C y también${\displaystyle \varphi (1\to 2)=g:x_{1}\to x_{2}}$para algún g en C . Dado que${\displaystyle 0\to 2}$es${\displaystyle 0\to 1}$seguido de${\displaystyle 1\to 2}$y desde${\displaystyle \varphi }$es un functor,${\displaystyle \varphi (0\to 2)=g\circ f}$. En otras palabras,${\displaystyle \varphi }$Codifica f , g y sus composiciones.

2. El nervio homotópico coherente de una categoría enriquecida simplicialmente es una generalización. Para una 2-categoría, se le llama nervio de Duskin .  

normal

Un monomorfismo es normal si es el núcleo de algún morfismo, y un epimorfismo es conormal si es el conúcleo de algún morfismo. Una categoría es normal si todo monomorfismo es normal.

objeto

1. Un objeto es parte de un conjunto de datos que define una categoría.  

2. Un objeto [adjetivo] en una categoría C es un functor contravariante (o prehaz) de alguna categoría fija correspondiente al "adjetivo" a C. Por ejemplo, un objeto simplicial en C es un functor contravariante de la categoría simplicial a C y un objeto Γ es un functor contravariante apuntado de Γ (aproximadamente la categoría apuntada de conjuntos finitos apuntados) a C siempre que C sea apuntado.  

fibra óptica

Un functor π: C → D es una op-fibración si, para cada objeto x en C y cada morfismo g  : π( x ) → y en D , existe al menos un morfismo π-cocartesiano f : x → y' en C tal que π( f ) = g . En otras palabras, π es el dual de una fibración de Grothendieck .

opuesto

La categoría opuesta a una categoría se obtiene invirtiendo las flechas. Por ejemplo, si un conjunto parcialmente ordenado se considera una categoría, tomar su opuesto equivale a invertir el orden.

morfismo paralelo

Dos morfismos f , g en una categoría${\displaystyle {\mathcal {C}}}$son paralelas si tienen el mismo dominio y codominio, visualizado por:${\displaystyle f,g:A{\overset {f}{\underset {g}{\rightrightarrows }}}B}$.

perfecto

A veces sinónimo de "compacto". Véase complejo perfecto .

puntiagudo

Una categoría (o ∞-categoría) se denomina apuntada si tiene un objeto cero.

polígrafo

Un polígrafo es una generalización de un grafo dirigido.

polinomio

Un functor de la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita a sí mismo se denomina functor polinomial si, para cada par de espacios vectoriales V , W , F : Hom( V , W ) → Hom( F ( V ), F ( W )) es una aplicación polinomial entre dichos espacios. Un functor de Schur es un ejemplo básico.

preabeliano

Una categoría preabeliana es una categoría aditiva que tiene todos los núcleos y conúcleos.

preaditivo

Una categoría es preaditiva si está enriquecida sobre la categoría monoidal de grupos abelianos . De manera más general, es R -lineal si está enriquecida sobre la categoría monoidal de R -módulos , para R un anillo conmutativo .

hacer un pedido

Un preorden es una categoría en la que, para cada objeto${\displaystyle a,b}$, si hay un morfismo${\displaystyle a\to b}$Es única. (Esta definición coincide con la definición habitual que no se basa en la teoría de categorías).

presentable

1. Dado un cardinal regular κ, una categoría es κ-presentable si admite todos los colímites pequeños y es κ-accesible . Una categoría es presentable si es κ-presentable para algún cardinal regular κ (y, por lo tanto, presentable para cualquier cardinal mayor). Nota : Algunos autores denominan a una categoría presentable categoría localmente presentable .  

2. Una categoría ∞ presentable .  

gavilla previa

Otro término para un functor contravariante: un functor de una categoría C ^op a Set es un prehaz de conjuntos en C y un functor de C ^op a s Set es un prehaz de conjuntos simpliciales o prehaz simplicial , etc. Una topología en C , si la hay, indica qué prehaz es un haz (con respecto a esa topología).

producto

1. El producto de una familia de objetos X _i en una categoría C indexada por un conjunto I es el límite proyectivo.  ${\displaystyle \varprojlim }$del functor${\displaystyle I\to C,\,i\mapsto X_{i}}$, donde I se considera una categoría discreta. Se denota por${\displaystyle \prod _{i}X_{i}}$y es el dual del coproducto de la familia.

2. El producto de una familia de categorías C _i indexadas por un conjunto I es la categoría denotada por  ${\displaystyle \prod _{i}C_{i}}$cuya clase de objetos es el producto de las clases de objetos de C _i y cuyos conjuntos de inicios son${\displaystyle \prod _{i}\operatorname {Hom} _{\operatorname {C_{i}} }(X_{i},Y_{i})}$Los morfismos se componen componente a componente. Es el dual de la unión disjunta.

2. Funtores dados  ${\displaystyle f,g}$, su producto se define punto por punto:${\displaystyle (f\times g)(a,b)=(f(a),f(b))}$para pares de objetos y morfismos${\displaystyle a,b}$.

profunctor

Dadas las categorías C y D , un profunctor (o un distribuidor) de C a D es un functor de la forma${\displaystyle D^{\text{op}}\times C\to \mathbf {Set} }$.

descriptivo

1. Un objeto A en una categoría abeliana es proyectivo si el functor  ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,-)}$es exacto. Es el dual de un objeto inyectivo.

2. El término “límite proyectivo” es otro nombre para un límite inverso .  

APUNTALAR

Una PROP es una categoría monoidal estricta simétrica cuyos objetos son números naturales y cuyo producto tensorial es la suma de números naturales.

seudo-

En las categorías de 2 categorías y categorías superiores más generalizadas, se añade el prefijo pseudo- a estructuras categóricas particulares para representar las nociones de salvo isomorfismo. ^{[ 13 ]}

pseudoálgebra

Una pseudoálgebra es una versión de 2 categorías de un álgebra para una mónada (donde una mónada se reemplaza por una 2-mónada).

sobre pseudoabeliano

La envoltura pseudoabeliana de una categoría aditiva es la categoría pseudoabeliana más pequeña que contiene la categoría dada.

categoría de pseudo-tensor

categoría de pseudotensor .

Q

Categoría Q.

Quillen

El teorema A de Quillen proporciona un criterio para que un functor sea una equivalencia débil.

cuasi abeliano

una categoría cuasi-abeliana .

cuasitopos

un quasitopos .

Lleno de cañas

1. Una categoría de Reedy . Un ejemplo prototípico es la categoría simplex.  ${\displaystyle \Delta }$.

reflejar

1. Se dice que un functor refleja identidades si tiene la propiedad: si F ( k ) es una identidad, entonces k también es una identidad.  

2. Se dice que un functor refleja isomorfismos si tiene la propiedad: F ( k ) es un isomorfismo, entonces k también es un isomorfismo.  

regular

1. Una categoría regular .  

2. Un morfismo regular .  

representable

Se dice que un functor contravariante multivaluado F en una categoría C es representable si pertenece a la imagen esencial de la incrustación de Yoneda.${\displaystyle C\to \mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )}$; es decir,${\displaystyle F\simeq \operatorname {Hom} _{C}(-,Z)}$para algún objeto Z. Se dice que el objeto Z es el objeto que representa a F.

retracción

Un morfismo es una retracción si tiene un inverso derecho.

aparejo

Una categoría de plataforma es una categoría con dos estructuras monoidales, una distribuida sobre la otra.

rígido

Una categoría rígida .

Schur

Un functor de Schur .

sección

Un morfismo es una sección si tiene un inverso izquierdo. Por ejemplo, el axioma de elección establece que toda función sobreyectiva admite una sección.

Segal

1. Condición de Segal . Por ahora, consulte https://ncatlab.org/nlab/show/Segal+condition  

2. Los espacios de Segal eran ciertos espacios simpliciales, introducidos como modelos para las (∞, 1)-categorías .   

3. Categoría de Segal , un modelo de una ∞-categoría .  

semi-abeliano

Una categoría semi-abeliana .

semisimple

Una categoría abeliana es semisimple si toda secuencia exacta corta se divide. Por ejemplo, un anillo es semisimple si y solo si la categoría de módulos sobre él es semisimple.

Serre functor

Dada una categoría k -lineal C sobre un cuerpo k , un functor de Serre${\displaystyle f:C\to C}$es una autoequivalencia tal que${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)\simeq \operatorname {Hom} (B,f(A))^{*}}$para cualesquiera objetos A , B.

setoid

Un setoide es un objeto de la completación exacta libre de la categoría de conjuntos. Si el axioma de elección es válido, es lo mismo que un conjunto.

tamiz

En una categoría, una criba sobre un objeto x es un conjunto S de algunos morfismos con el objetivo x tales que, para cada${\displaystyle f}$en${\displaystyle S}$y cada morfismo${\displaystyle g}$en la categoría,${\displaystyle f\circ g}$está en${\displaystyle S}$si la composición está definida. ^{[ 16 ]}

objeto simple

Un objeto simple en una categoría abeliana esun objeto A que no es isomorfo al objeto cero y cuyos subobjetos son isomorfos a cero o a A. Por ejemplo, un módulo simple es precisamente un objeto simple en la categoría de módulos (digamos, módulos izquierdos).

categoría simplex

La categoría simplex Δ es la categoría donde un objeto es un conjunto [ n ] = { 0, 1, …, n }, n ≥ 0, totalmente ordenado de la manera estándar y un morfismo es una función que preserva el orden.

categoría simplicial

Una categoría enriquecida sobre conjuntos simpliciales.

localización simplicial

La localización simplicial es un método para localizar una categoría.

objeto simplicial

Un objeto simplicial en una categoría C es aproximadamente una secuencia de objetos.${\displaystyle X_{0},X_{1},X_{2},\dots }$en C que forma un conjunto simplicial. En otras palabras, es un functor covariante o contravariante Δ → C . Por ejemplo, un prehaz simplicial es un objeto simplicial en la categoría de prehaces.

Simpson

La conjetura de semiestricción de Simpson (como este es un enlace rojo, por ahora, ver).

conjunto simplicial

Un conjunto simplicial es un functor contravariante de Δ a Set , donde Δ es la categoría simplex , una categoría cuyos objetos son los conjuntos [ n ] = { 0, 1, …, n } y cuyos morfismos son funciones que preservan el orden. Se escribe${\displaystyle X_{n}=X([n])}$y un elemento del conjunto${\displaystyle X_{n}}$se denomina n -símplex. Por ejemplo,${\displaystyle \Delta ^{n}=\operatorname {Hom} _{\Delta }(-,[n])}$es un conjunto simplicial llamado n- símplex estándar . Por el lema de Yoneda,${\displaystyle X_{n}\simeq \operatorname {Nat} (\Delta ^{n},X)}$.

sitio

Una categoría equipada con una topología de Grothendieck .

esquelético

1. Una categoría es esquelética si los objetos isomorfos son necesariamente idénticos.  

2. Un esqueleto (no único) de una categoría es una subcategoría completa que es esquelética.  

rebanada

Dada una categoría C y un objeto A en ella, la categoría de rebanadas C _{/ A} de C sobre A es la categoría cuyos objetos son todos los morfismos en C con codominio A , cuyos morfismos son morfismos en C tales que si f es un morfismo de${\displaystyle p_{X}:X\to A}$a${\displaystyle p_{Y}:Y\to A}$, entonces${\displaystyle p_{Y}\circ f=p_{X}}$en C y cuya composición es la de C .

pequeño

1. Una categoría pequeña es aquella en la que la clase de todos los morfismos es un conjunto (es decir, no una clase propia ); de lo contrario, es grande . Una categoría es localmente pequeña si los morfismos entre cada par de objetos A y B forman un conjunto. Algunos autores asumen una base en la que la colección de todas las clases forma un "conglomerado", en cuyo caso una cuasicategoría es una categoría cuyos objetos y morfismos simplemente forman un conglomerado . ^{[ 17 ]} (Nota: algunos autores usan el término "cuasicategoría" con un significado diferente. ^{[ 18 ]} )  

2. Se dice que un objeto de una categoría es pequeño si es κ-compacto para algún cardinal regular κ. Esta noción aparece de forma destacada en el argumento del objeto pequeño de Quiilen (véase https://ncatlab.org/nlab/show/small+object+argument ).  

especies

Una especie (combinatoria) es un endofunctor en el grupoide de conjuntos finitos con biyecciones. Es categóricamente equivalente a una secuencia simétrica .

esférico

Categoría esférica .

estable

Una ∞-categoría es estable si (1) tiene un objeto cero, (2) todo morfismo en ella admite una fibra y una cofibra y (3) un triángulo en ella es una secuencia de fibras si y solo si es una secuencia de cofibras.

estricto

1. Un morfismo f en una categoría que admite límites finitos y colímites finitos es estricto si el morfismo natural  ${\displaystyle \operatorname {Coim} (f)\to \operatorname {Im} (f)}$es un isomorfismo.

2. Un epimorfismo estricto f es un equimorfismo tal que para cada par de morfismos  ${\displaystyle g,h}$de tal manera que${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$, tenemos${\displaystyle f}$es el coecualizador de${\displaystyle g,h}$.

3. Un monomorfismo estricto es un morfismo tal que es un epimorfismo estricto en la categoría opuesta.  

categoría n estricta

Una categoría estricta de orden 0 es un conjunto, y para cualquier entero n > 0, una categoría estricta de orden n es una categoría enriquecida sobre categorías estrictas de orden n -1. Por ejemplo, una categoría estricta de orden 1 es una categoría ordinaria. Nota : el término " categoría de orden n " generalmente se refiere a una " categoría de orden n débil ", no a una estricta.

estricción

Una estricción es un proceso de sustitución de igualdades que se cumplen débilmente (es decir, salvo isomorfismos coherentes) por igualdades reales.

cadena

Diagrama de cuerdas

subcanónico

Una topología en una categoría es subcanónica si todo functor contravariante representable en C es un haz con respecto a esa topología. ^{[ 19 ]} En términos generales, algunas topologías planas pueden no ser subcanónicas; pero las topologías planas que aparecen en la práctica tienden a ser subcanónicas.

subcategoría

Una categoría A es una subcategoría de una categoría B si existe un functor de inclusión de A a B.

subobjeto

Dado un objeto A en una categoría, un subobjeto de A es una clase de equivalencia de monomorfismos a A ; dos monomorfismos f y g se consideran equivalentes si f se factoriza a través de g y g se factoriza a través de f .

subcociente

1. Un subcociente es un cociente de un subobjeto.  

2. clasificador de subobjetos .  

objeto subterminal

Un objeto subterminal es un objeto X tal que cada objeto tiene como máximo un morfismo en X.

superficie

Un diagrama de superficie es una generalización de mayor dimensión de un diagrama de cuerdas. Por ahora, consulte https://ncatlab.org/toddtrimble/published/Surface+diagrams

categoría monoidal simétrica

Una categoría monoidal simétrica es una categoría monoidal (es decir, una categoría con ⊗) que tiene un trenzado máximamente simétrico.

secuencia simétrica

Una secuencia simétrica es una secuencia de objetos con acciones de grupos simétricos . Es categóricamente equivalente a una especie (combinatoria) .

categoría sintáctica

categoría sintáctica

estructura t

Una t-estructura es una estructura adicional en una categoría triangulada (más generalmente una ∞-categoría estable ) que axiomatiza las nociones de complejos cuya cohomología se concentra en grados no negativos o grados no positivos.

dualidad tannakiana

La dualidad tannakiana establece que, en una configuración apropiada, para dar un morfismo${\displaystyle f:X\to Y}$es dar un functor de retroceso${\displaystyle f^{*}}$a lo largo de él. En otras palabras, el conjunto Hom${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)}$puede identificarse con la categoría de functor${\displaystyle \operatorname {Fct} (D(Y),D(X))}$, quizás en el sentido derivado , donde${\displaystyle D(X)}$es la categoría asociada a X (por ejemplo, la categoría derivada). ^{[ 20 ] [ 21 ]}

categoría tensorial

Generalmente sinónimo de categoría monoide (aunque algunos autores distinguen entre ambos conceptos).

categoría triangulada tensorial

Una categoría triangulada tensorial es una categoría que posee la estructura de una categoría monoidal simétrica y la de una categoría triangulada de forma compatible.

producto tensorial

Dada una categoría monoidal B , el producto tensorial de functores${\displaystyle F:C^{\text{op}}\to B}$y${\displaystyle G:C\to B}$es el coend:

${\displaystyle F\otimes _{C}G=\int ^{c\in C}F(c)\otimes G(c).}$

Terminal

1. Un objeto A es terminal (también llamado final) si hay exactamente un morfismo de cada objeto a A ; por ejemplo, los singletons en Set . Es el dual de un objeto inicial .  

2. Un objeto A en una ∞-categoría C es terminal si  ${\displaystyle \operatorname {Map} _{C}(B,A)}$es contraíble para cada objeto B en C. Ver Quasi-categoría#Objetos finales y mapas finales .

Categoría Theta

La categoría theta de Joyal es una alternativa a la categoría simplex, que también puede utilizarse para definir una ∞-categoría.

subcategoría gruesa

Una subcategoría completa de una categoría abeliana es densa si es cerrada bajo extensiones.

delgado

Una categoría delgada es una categoría en la que existe como máximo un morfismo entre cualquier par de objetos.

diminuto

Un objeto diminuto . Por ahora, consulte https://ncatlab.org/nlab/show/tiny+object

topológico

1. Una categoría concreta topológica .  

2. Un topos topológico , un posible sustituto de la categoría de espacios topológicos. Véase https://golem.ph.utexas.edu/category/2014/04/on_a_topological_topos.html  

transfinito

Una composición transfinita es una composición que involucra infinitos morfismos. Véase límite directo y límite inverso.

categoría triangulada

Una categoría triangulada es aquella en la que se puede hablar de triángulos distinguidos, generalizaciones de secuencias exactas. Una categoría abeliana es un ejemplo prototípico de categoría triangulada. Una categoría derivada es una categoría triangulada que no necesariamente es abeliana.

Categoría U

Para un universo U , una U-categoría es una categoría en la que cada conjunto de hom es un elemento de U (es decir, una categoría que es localmente U -pequeña).

universal

1. Dado un functor  ${\displaystyle f:C\to D}$y un objeto X en D , un morfismo universal de X a f es un objeto inicial en la categoría coma.${\displaystyle (X\downarrow f)}$(Su dual también se denomina morfismo universal). Por ejemplo, tomemos f como el functor olvidadizo.${\displaystyle \mathbf {Vec} _{k}\to \mathbf {Set} }$y X un conjunto. Un objeto inicial de${\displaystyle (X\downarrow f)}$es una función${\displaystyle j:X\to f(V_{X})}$. Que sea inicial significa que si${\displaystyle k:X\to f(W)}$es otro morfismo, entonces hay un morfismo único de j a k , que consiste en una aplicación lineal${\displaystyle V_{X}\to W}$que extiende k a través de j ; es decir,${\displaystyle V_{X}}$es el espacio vectorial libre generado por X.

2. Dicho de forma más explícita, dado f como se indicó anteriormente, un morfismo  ${\displaystyle X\to f(u_{X})}$en D es universal si y solo si el mapa natural

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(u_{X},c)\to \operatorname {Hom} _{D}(X,f(c)),\,\alpha \mapsto (X\to f(u_{x}){\overset {f(\alpha )}{\to }}f(c))}$

es biyectiva. En particular, si${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(u_{X},-)\simeq \operatorname {Hom} _{D}(X,f(-))}$, entonces, tomando c como u _X, se obtiene un morfismo universal enviando el morfismo identidad. En otras palabras, tener un morfismo universal es equivalente a la representabilidad del functor.${\displaystyle \operatorname {Hom} _{D}(X,f(-))}$.

universo

Un universo (de Grothendieck) U es un conjunto tal que

1. Si${\displaystyle x\in y\in U}$, entonces${\displaystyle x\in U}$,
2. Para${\displaystyle x,y}$en${\displaystyle U}$(posiblemente lo mismo),${\displaystyle \{x,y\}\in U}$,
3. Para${\displaystyle x}$en${\displaystyle U}$, el conjunto de potencias de${\displaystyle x}$está en${\displaystyle U}$,
4. Para cada función${\displaystyle f:x\to U}$con${\displaystyle x\in U}$, el sindicato${\displaystyle \cup _{i\in x}f(i)}$está en${\displaystyle U}$,
5. ${\displaystyle \mathbb {N} \in U}$.

Normalmente no se puede formular una categoría de funtores dentro del universo U dado . De hecho,${\displaystyle {\mathsf {Fct}}(U,\{0,1\})}$equivale al conjunto potencia de U , que no es un elemento de U.