Transformación natural

Declaraciones como

"Cada grupo es naturalmente isomorfo a su grupo opuesto ."

abundan en las matemáticas modernas. Ahora daremos el significado preciso de esta afirmación, así como su demostración. Consideremos la categoría ${\displaystyle {\textbf {Grp}}}$de todos los grupos con homomorfismos de grupo como morfismos. Si${\displaystyle (G,*)}$es un grupo, definimos su grupo opuesto${\displaystyle (G^{\text{op}},{*}^{\text{op}})}$como sigue:${\displaystyle G^{\text{op}}}$es el mismo conjunto que${\displaystyle G}$y la operación${\displaystyle *^{\text{op}}}$se define por${\displaystyle a*^{\text{op}}b=b*a}$Todas las multiplicaciones en${\displaystyle G^{\text{op}}}$por lo tanto, se "invierten". La formación del grupo opuesto se convierte en un functor (covariante) a partir de${\displaystyle {\textbf {Grp}}}$a${\displaystyle {\textbf {Grp}}}$si definimos${\displaystyle f^{\text{op}}=f}$para cualquier homomorfismo de grupo${\displaystyle f:G\to H}$. Tenga en cuenta que ${\displaystyle f^{\text{op}}}$es de hecho un homomorfismo de grupo de${\displaystyle G^{\text{op}}}$a${\displaystyle H^{\text{op}}}$:

${\displaystyle f^{\text{op}}(a*^{\text{op}}b)=f(b*a)=f(b)*f(a)=f^{\text{op}}(a)*^{\text{op}}f^{\text{op}}(b).}$

El contenido de la declaración anterior es:

"El functor identidad${\displaystyle {\text{Id}}_{\textbf {Grp}}:{\textbf {Grp}}\to {\textbf {Grp}}}$es naturalmente isomorfo al functor opuesto${\displaystyle {\text{op}}:{\textbf {Grp}}\to {\textbf {Grp}}}$"

Para demostrar esto, necesitamos proporcionar isomorfismos.${\displaystyle \eta _{G}:G\to G^{\text{op}}}$para cada grupo${\displaystyle G}$, de modo que el diagrama anterior conmute. Establecer${\displaystyle \eta _{G}(a)=a^{-1}}$Las fórmulas${\displaystyle (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}=a^{-1}*^{\text{op}}b^{-1}}$y${\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a}$ mostrar que${\displaystyle \eta _{G}}$es un homomorfismo de grupo con inverso${\displaystyle \eta _{G^{\text{op}}}}$Para demostrar la naturalidad, comenzamos con un homomorfismo de grupos. ${\displaystyle f:G\to H}$y mostrar${\displaystyle \eta _{H}\circ f=f^{\text{op}}\circ \eta _{G}}$, es decir ${\displaystyle (f(a))^{-1}=f^{\text{op}}(a^{-1})}$a pesar de${\displaystyle a}$en${\displaystyle G}$Esto es cierto ya que ${\displaystyle f^{\text{op}}=f}$y cada homomorfismo de grupo tiene la propiedad${\displaystyle (f(a))^{-1}=f(a^{-1})}$.

Dado un grupo${\displaystyle G}$, podemos definir su abelianización${\displaystyle G^{\text{ab}}=G/[G,G]}$, dónde${\displaystyle [G,G]}$denota el subgrupo conmutador de${\displaystyle G}$. Dejar${\displaystyle \pi _{G}:G\to G^{\text{ab}}}$denotamos el mapa de proyección sobre las clases laterales de${\displaystyle [G,G]}$. Este homomorfismo es "natural en ${\displaystyle G}$", es decir, define una transformación natural, que ahora comprobaremos.${\displaystyle H}$ser un grupo. Para cualquier homomorfismo${\displaystyle f:G\to H}$, tenemos eso ${\displaystyle [G,G]}$está contenido en el núcleo de${\displaystyle \pi _{H}\circ f}$, porque cualquier homomorfismo en un grupo abeliano destruye el subgrupo conmutador. Entonces ${\displaystyle \pi _{H}\circ f}$factores a través de${\displaystyle G^{\text{ab}}}$como${\displaystyle f^{\text{ab}}\circ \pi _{G}=\pi _{H}\circ f}$para un homomorfismo único ${\displaystyle f^{\text{ab}}:G^{\text{ab}}\to H^{\text{ab}}}$Esto hace que...${\displaystyle {\text{ab}}:{\textbf {Grp}}\to {\textbf {Grp}}}$un functor y ${\displaystyle \pi }$una transformación natural, pero no un isomorfismo natural, del functor identidad a${\displaystyle {\text{ab}}}$.

Los functores y las transformaciones naturales abundan en la topología algebraica , siendo los homomorfismos de Hurewicz ejemplos de ello. Para cualquier espacio topológico apuntado${\displaystyle (X,x)}$y entero positivo${\displaystyle n}$existe un homomorfismo de grupo

${\displaystyle h_{n}\colon \pi _{n}(X,x)\to H_{n}(X)}$

desde${\displaystyle n}$-ésimo grupo de homotopía de${\displaystyle (X,x)}$hacia${\displaystyle n}$-ésimo grupo de homología de${\displaystyle X}$. Ambos${\displaystyle \pi _{n}}$y${\displaystyle H_{n}}$son functores de la categoría Top ^* de espacios topológicos apuntados a la categoría Grp de grupos, y${\displaystyle h_{n}}$es una transformación natural de ${\displaystyle \pi _{n}}$a${\displaystyle H_{n}}$.

Dados anillos conmutativos${\displaystyle R}$y${\displaystyle S}$con un homomorfismo de anillos${\displaystyle f:R\to S}$, los respectivos grupos de invertibles${\displaystyle n\times n}$matrices${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(R)}$y${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(S)}$heredan un homomorfismo que denotamos por${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(f)}$, obtenido mediante la aplicación${\displaystyle f}$ a cada entrada de la matriz. De manera similar,${\displaystyle f}$se restringe a un homomorfismo de grupo${\displaystyle f^{*}:R^{*}\to S^{*}}$, dónde${\displaystyle R^{*}}$denota el grupo de unidades de${\displaystyle R}$. De hecho,${\displaystyle {\text{GL}}_{n}}$y${\displaystyle *}$son functores de la categoría de anillos conmutativos${\displaystyle {\textbf {CRing}}}$a${\displaystyle {\textbf {Grp}}}$. El determinante del grupo${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(R)}$, denotado por${\displaystyle {\text{det}}_{R}}$, es un homomorfismo de grupo

${\displaystyle {\mbox{det}}_{R}\colon {\mbox{GL}}_{n}(R)\to R^{*}}$

lo cual es natural en${\displaystyle R}$: porque el determinante se define mediante la misma fórmula para cada anillo,${\displaystyle f^{*}\circ {\text{det}}_{R}={\text{det}}_{S}\circ {\text{GL}}_{n}(f)}$se sostiene. Esto hace que el determinante sea una transformación natural de${\displaystyle {\text{GL}}_{n}}$a${\displaystyle *}$.

Si${\displaystyle K}$es un campo , entonces para cada espacio vectorial${\displaystyle V}$encima${\displaystyle K}$tenemos un mapa lineal inyectivo "natural"${\displaystyle V\to V^{**}}$del espacio vectorial a su doble dual . Estas aplicaciones son "naturales" en el siguiente sentido: la operación de doble dual es un functor, y las aplicaciones son los componentes de una transformación natural del functor identidad al functor de doble dual.

Para cada grupo abeliano${\displaystyle G}$, el conjunto${\displaystyle {\text{Hom}}_{\textbf {Set}}(\mathbb {Z} ,U(G))}$de funciones desde los enteros hasta el conjunto subyacente de${\displaystyle G}$ forma un grupo abeliano${\displaystyle V_{\mathbb {Z} }(G)}$bajo la suma puntual. (Aquí${\displaystyle U}$es el functor olvidadizo estándar${\displaystyle U:{\textbf {Ab}}\to {\textbf {Set}}}$.) Dado un${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$morfismo${\displaystyle \varphi :G\to G'}$, el mapa${\displaystyle V_{\mathbb {Z} }(\varphi ):V_{\mathbb {Z} }(G)\to V_{\mathbb {Z} }(G')}$dado por izquierda componiendo${\displaystyle \varphi }$con los elementos del primero es en sí mismo un homomorfismo de grupos abelianos; de esta manera obtenemos un functor${\displaystyle V_{\mathbb {Z} }:{\textbf {Ab}}\to {\textbf {Ab}}}$El operador de diferencias finitas${\displaystyle \Delta _{G}}$tomando cada función ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to U(G)}$a${\displaystyle \Delta (f):n\mapsto f(n+1)-f(n)}$es un mapa de${\displaystyle V_{\mathbb {Z} }(G)}$a sí misma y la colección${\displaystyle \Delta }$de tales mapas da una transformación natural${\displaystyle \Delta :V_{\mathbb {Z} }\to V_{\mathbb {Z} }}$.

Dejar${\displaystyle \varphi :M\longrightarrow M^{\prime }}$frijol${\displaystyle R}$-homomorfismo de módulos derechos. Para cada módulo izquierdo${\displaystyle N}$Hay un mapa natural${\displaystyle \varphi \otimes N:M\otimes _{R}N\longrightarrow M^{\prime }\otimes _{R}N}$, forman una transformación natural${\displaystyle \eta :M\otimes _{R}-\implies M'\otimes _{R}-}$. Para cada módulo correcto${\displaystyle N}$Hay un mapa natural${\displaystyle \eta _{N}:{\text{Hom}}_{R}(M',N)\longrightarrow {\text{Hom}}_{R}(M,N)}$definido por${\displaystyle \eta _{N}(f)=f\varphi }$, forman una transformación natural${\displaystyle \eta$ :{\text{Hom}}_{R}(M',-)\implies {\text{Hom}}_{R}(M,-)} .

Considere la categoría${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$de grupos abelianos y homomorfismos de grupo. Para todos los grupos abelianos${\displaystyle X}$,${\displaystyle Y}$y${\displaystyle Z}$tenemos un isomorfismo de grupo

${\displaystyle {\text{Hom}}(X\otimes Y,Z)\to {\text{Hom}}(X,{\text{Hom}}(Y,Z))}$.

Estos isomorfismos son "naturales" en el sentido de que definen una transformación natural entre los dos functores involucrados.${\displaystyle {\textbf {Ab}}^{\text{op}}\times {\textbf {Ab}}^{\text{op}}\times {\textbf {Ab}}\to {\textbf {Ab}}}$. (Aquí "op" es la categoría opuesta de${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$, que no debe confundirse con el functor de grupo opuesto trivial en${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ !)

Formalmente, esta es la adjunción tensorial-hom , y es un ejemplo arquetípico de un par de functores adjuntos . Las transformaciones naturales surgen frecuentemente junto con los functores adjuntos, y de hecho, estos últimos se definen mediante un isomorfismo natural. Además, cada par de functores adjuntos viene equipado con dos transformaciones naturales (que generalmente no son isomorfismos) llamadas unidad y counidad .

Todo espacio vectorial de dimensión finita es isomorfo a su espacio dual, pero puede haber muchos isomorfismos diferentes entre ambos. En general, no existe un isomorfismo natural entre un espacio vectorial de dimensión finita y su espacio dual. ^{[ 1 ]} Sin embargo, las categorías relacionadas (con estructura y restricciones adicionales en las aplicaciones) sí poseen un isomorfismo natural, como se describe a continuación.

El espacio dual de un espacio vectorial de dimensión finita es también un espacio vectorial de dimensión finita de la misma dimensión, y por lo tanto son isomorfos, ya que la dimensión es el único invariante de los espacios vectoriales de dimensión finita sobre un cuerpo dado. Sin embargo, en ausencia de restricciones adicionales (como la exigencia de que las aplicaciones preserven la base elegida), la aplicación de un espacio a su dual no es única, y por lo tanto, dicho isomorfismo requiere una elección y no es "natural". En la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita y aplicaciones lineales, se puede definir un isomorfismo infranatural de espacios vectoriales a su dual eligiendo un isomorfismo para cada espacio (por ejemplo, eligiendo una base para cada espacio vectorial y tomando el isomorfismo correspondiente), pero esto no definirá una transformación natural. Intuitivamente, esto se debe a que requiere una elección, y rigurosamente, a que cualquier elección de isomorfismos no conmutará con, por ejemplo, la aplicación cero; véase ( Mac Lane y Birkhoff 1999 , §VI.4) para un análisis detallado.

Partiendo de espacios vectoriales de dimensión finita (como objetos) y los functores identidad y dual, se puede definir un isomorfismo natural, pero esto requiere primero agregar una estructura adicional, luego restringir los mapas de "todos los mapas lineales" a "mapas lineales que respetan esta estructura". Explícitamente, para cada espacio vectorial, se requiere que venga con los datos de un isomorfismo a su dual,${\displaystyle \eta _{V}\colon V\to V^{*}}$En otras palabras, tomemos como objetos espacios vectoriales con una forma bilineal no degenerada .${\displaystyle b_{V}\colon V\times V\to K}$Esto define un isomorfismo infranatural (isomorfismo para cada objeto). Luego se restringen los mapas solo a esos mapas.${\displaystyle T\colon V\to U}$que conmutan con los isomorfismos:${\displaystyle T^{*}(\eta _{U}(T(v)))=\eta _{V}(v)}$o en otras palabras, conservar la forma bilineal:${\displaystyle b_{U}(T(v),T(w))=b_{V}(v,w)}$(Estos mapas definen el naturalizador de los isomorfismos). La categoría resultante, cuyos objetos son espacios vectoriales de dimensión finita con una forma bilineal no degenerada, y cuyos mapas son transformaciones lineales que respetan dicha forma, posee, por construcción, un isomorfismo natural de la identidad al dual (cada espacio tiene un isomorfismo con su dual, y se requiere que los mapas de la categoría conmuten). Desde esta perspectiva, esta construcción (añadir transformaciones para cada objeto y restringir que los mapas conmuten con estos) es completamente general y no depende de ninguna propiedad particular de los espacios vectoriales.

En esta categoría (espacios vectoriales de dimensión finita con una forma bilineal no degenerada, transformaciones lineales que respetan la forma bilineal), el dual de una aplicación entre espacios vectoriales se puede identificar como una transpuesta . A menudo, por razones de interés geométrico, esto se especializa en una subcategoría, al requerir que las formas bilineales no degeneradas tengan propiedades adicionales, como ser simétricas ( matrices ortogonales ), simétricas y definidas positivas ( espacio con producto interno ), simétricas sesquilineales ( espacios hermíticos ), antisimétricas y totalmente isótropas ( espacio vectorial simpléctico ), etc. En todas estas categorías, un espacio vectorial se identifica naturalmente con su dual, mediante la forma bilineal no degenerada.

Si${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$y${\displaystyle \epsilon :G\Rightarrow H}$son transformaciones naturales entre functores${\displaystyle F,G,H:C\to D}$, entonces podemos componerlos para obtener una transformación natural${\displaystyle \epsilon \circ \eta :F\Rightarrow H}$Esto se hace componente por componente:

${\displaystyle (\epsilon \circ \eta )_{X}=\epsilon _{X}\circ \eta _{X}}$.

Esta composición vertical de transformaciones naturales es asociativa y tiene una identidad, y permite considerar la colección de todos los functores.${\displaystyle C\to D}$ella misma como una categoría (véase más abajo en Categorías de functores ). La transformación natural de identidad${\displaystyle \mathrm {id} _{F}}$en functor${\displaystyle F}$tiene componentes${\displaystyle (\mathrm {id} _{F})_{X}=\mathrm {id} _{F(X)}}$. ^{[ 2 ]}

Para${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$,${\displaystyle \mathrm {id} _{G}\circ \eta =\eta =\eta \circ \mathrm {id} _{F}}$.

Si${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$es una transformación natural entre functores${\displaystyle F,G:C\to D}$y${\displaystyle \epsilon :J\Rightarrow K}$es una transformación natural entre functores${\displaystyle J,K:D\to E}$, entonces la composición de functores permite una composición de transformaciones naturales${\displaystyle \epsilon *\eta :J\circ F\Rightarrow K\circ G}$con componentes

${\displaystyle (\epsilon *\eta )_{X}=\epsilon _{G(X)}\circ J(\eta _{X})=K(\eta _{X})\circ \epsilon _{F(X)}}$.

Al utilizar el bigote (ver más abajo), podemos escribir

${\displaystyle (\epsilon *\eta )_{X}=(\epsilon G)_{X}\circ (J\eta )_{X}=(K\eta )_{X}\circ (\epsilon F)_{X}}$,

por eso

${\displaystyle \epsilon *\eta =\epsilon G\circ J\eta =K\eta \circ \epsilon F}$.

Esta composición horizontal de transformaciones naturales también es asociativa con la identidad. Esta identidad es la transformación natural identidad sobre el functor identidad , es decir, la transformación natural que asocia a cada objeto su morfismo identidad : para el objeto${\displaystyle X}$en categoría${\displaystyle C}$,${\displaystyle (\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{C}})_{X}=\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{C}(X)}=\mathrm {id} _{X}}$.

Para${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$con${\displaystyle F,G:C\to D}$,${\displaystyle \mathrm {id} _{\mathrm {id} _{D}}*\eta =\eta =\eta *\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{C}}}$.

Como functores de identidad${\displaystyle \mathrm {id} _{C}}$y${\displaystyle \mathrm {id} _{D}}$son functores, la identidad para la composición horizontal es también la identidad para la composición vertical, pero no al revés. ^{[ 3 ]}

El bigoteo es una operación binaria externa entre un functor y una transformación natural. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Si${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$es una transformación natural entre functores${\displaystyle F,G:C\to D}$, y${\displaystyle H:D\to E}$es otro functor, entonces podemos formar la transformación natural${\displaystyle H\eta :H\circ F\Rightarrow H\circ G}$definiendo

${\displaystyle (H\eta )_{X}=H(\eta _{X})}$.

Si por otro lado${\displaystyle K:B\to C}$es un functor, la transformación natural${\displaystyle \eta K:F\circ K\Rightarrow G\circ K}$se define por

${\displaystyle (\eta K)_{X}=\eta _{K(X)}}$.

También es una composición horizontal donde una de las transformaciones naturales es la transformación natural de la identidad:

${\displaystyle H\eta =\mathrm {id} _{H}*\eta }$y${\displaystyle \eta K=\eta *\mathrm {id} _{K}}$.

Tenga en cuenta que${\displaystyle \mathrm {id} _{H}}$(resp.${\displaystyle \mathrm {id} _{K}}$) generalmente no es la identidad izquierda (respectivamente, derecha) de la composición horizontal.${\displaystyle *}$(${\displaystyle H\eta \neq \eta }$y${\displaystyle \eta K\neq \eta }$en general), excepto si${\displaystyle H}$(resp.${\displaystyle K}$) es el functor identidad de la categoría${\displaystyle D}$(resp.${\displaystyle C}$).

Las dos operaciones están relacionadas por una identidad que intercambia la composición vertical con la composición horizontal: si tenemos cuatro transformaciones naturales${\displaystyle \alpha ,\alpha ',\beta ,\beta '}$Como se muestra en la imagen de la derecha, entonces se cumple la siguiente identidad:

${\displaystyle (\beta '\circ \alpha ')*(\beta \circ \alpha )=(\beta '*\beta )\circ (\alpha '*\alpha )}$.

Las composiciones verticales y horizontales también están vinculadas a través de transformaciones naturales de identidad:

para${\displaystyle F:C\to D}$y${\displaystyle G:D\to E}$,${\displaystyle \mathrm {id} _{G}*\mathrm {id} _{F}=\mathrm {id} _{G\circ F}}$. ^{[ 6 ]}

Como el bigote es una composición horizontal con una identidad, la ley de intercambio da inmediatamente las fórmulas compactas de composición horizontal de${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$y${\displaystyle \epsilon :J\Rightarrow K}$sin necesidad de analizar componentes ni el diagrama conmutativo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon *\eta &=(\epsilon \circ \mathrm {id} _{J})*(\mathrm {id} _{G}\circ \eta )=(\epsilon *\mathrm {id} _{G})\circ (\mathrm {id} _{J}*\eta )=\epsilon G\circ J\eta \\&=(\mathrm {id} _{K}\circ \epsilon )*(\eta \circ \mathrm {id} _{F})=(\mathrm {id} _{K}*\eta )\circ (\epsilon *\mathrm {id} _{F})=K\eta \circ \epsilon F\end{aligned}}}$.

Cada límite y colímite proporciona un ejemplo de una transformación natural simple, ya que un cono equivale a una transformación natural con el functor diagonal como dominio. De hecho, si los límites y colímites se definen directamente en términos de su propiedad universal , son morfismos universales en una categoría de functores.