Transformación extranatural

En matemáticas , específicamente en la teoría de categorías , una transformación extranatural ^[1] es una generalización de la noción de transformación natural .

Sean y dos funtores de categorías. Se dice que una familia es natural en a y extranatural en b y c si se cumple lo siguiente: ${\displaystyle F:A\times B^{\mathrm {op} }\times B\rightarrow D}$${\displaystyle G:A\times C^{\mathrm {op} }\times C\rightarrow D}$${\displaystyle \eta(a,b,c):F(a,b,b)\rightarrow G(a,c,c)}$

• ${\displaystyle \eta (-,b,c)}$es una transformación natural (en el sentido habitual).
• (extranaturalidad en b ) , , el siguiente diagrama conmuta${\displaystyle \forall (g:b\rightarrow b^{\prime })\in \mathrm {Mor} \,B}$${\displaystyle \paratodos a\en A}$${\displaystyle \para todo c\en C}$

${\displaystyle {\begin{matrix}F(a,b',b)&\xrightarrow {F(1,1,g)} &F(a,b',b')\\_{F(1,g,1)}\downarrow \qquad &&_{\eta (a,b',c)}\downarrow \qquad \\F(a,b,b)&\xrightarrow {\eta (a,b,c)} &G(a,c,c)\end{matrix}}}$

• (extranaturalidad en c ) , , el siguiente diagrama conmuta${\displaystyle \forall (h:c\rightarrow c^{\prime })\in \mathrm {Mor} \,C}$${\displaystyle \paratodos a\en A}$${\displaystyle \para todo b\en B}$

${\displaystyle {\begin{matrix}F(a,b,b)&\xrightarrow {\eta(a,b,c')} &G(a,c',c')\\_{\eta(a,b,c)}\downarrow \qquad &&_{G(1,h,1)}\downarrow \qquad \\G(a,c,c)&\xrightarrow {G(1,1,h)} &G(a,c,c')\end{matrix}}}$

Las transformaciones extranaturales se pueden utilizar para definir cuñas y, por lo tanto, extremos ^[2] (doblemente co-cuñas y co-extremos), estableciendo (doblemente ) constante. ${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización G}$

Las transformaciones extranaturales pueden definirse en términos de transformaciones dinaturales , de las cuales son un caso especial. ^[2]

• Transformación dinatural

• extranatural+transformation en el laboratorio n