Modificación (matemáticas)

En matemáticas, específicamente en teoría de categorías , una modificación es una flecha entre transformaciones naturales . Es una 3-celda en la 3-categoría de 2-celdas (donde las 2-celdas son transformaciones naturales, las 1-celdas son functores y las 0-celdas son categorías). ^{[ 1 ]} La noción se debe a Bénabou . ^{[ 2 ]}

Dadas dos transformaciones naturales${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha ,\,\beta }}:{\boldsymbol {\mathbf {F} }}\rightarrow {\boldsymbol {\mathbf {G} }}}$, existe una modificación${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {\mu } }}:{\boldsymbol {\mathbf {\alpha } }}\rightarrow {\boldsymbol {\mathbf {\beta } }}}$de tal manera que:

• ${\textstyle {\boldsymbol {\mathbf {\mu _{a}} }}:{\boldsymbol {\mathbf {\alpha _{a}} }}\rightarrow {\boldsymbol {\mathbf {\beta _{a}} }}}$,
• ${\textstyle {\boldsymbol {\mathbf {\mu _{b}} }}:{\boldsymbol {\mathbf {\alpha _{b}} }}\rightarrow {\boldsymbol {\mathbf {\beta _{b}} }}}$, y
• ${\textstyle {\boldsymbol {\mathbf {\mu _{f}} }}:{\boldsymbol {\mathbf {\alpha _{f}} }}\rightarrow {\boldsymbol {\mathbf {\beta _{f}} }}}$. ^{[ 1 ]}

El siguiente diagrama conmutativo muestra un ejemplo de modificación y su funcionamiento interno.

• Kelly, GM ; Street, Ross (1974). «Revisión de los elementos de las 2-categorías». En Kelly, Gregory M. (ed.). Category Seminar: Proceedings of the Sydney Category Theory Seminar, 1972/1973 . Lecture Notes in Mathematics. Vol.  420. Springer. pp. 75–103 . doi : 10.1007/BFb0063101 . ISBN  978-3-540-06966-9MR 0357542 .​