Espacio señalado

En matemáticas , un espacio con punto o espacio base es un espacio topológico con un punto distinguido, el punto base . El punto distinguido es simplemente un punto particular, escogido del espacio y al que se le da un nombre, como por ejemplo${\displaystyle x_{0},}$que permanece inalterado durante la discusión posterior y se mantiene registrado durante todas las operaciones. Ejemplos comunes de espacios con puntos naturales incluyen esferas (con el polo norte como punto base), intervalos cerrados [0,1] (con 0 como punto base) y grupos topológicos (con el elemento identidad como punto base).

Los mapas de espacios con puntos ( mapas basados ) son mapas continuos que conservan los puntos base, es decir, un mapa${\displaystyle f}$entre un espacio puntiagudo${\displaystyle X}$con punto base${\displaystyle x_{0}}$y un espacio señalado${\displaystyle Y}$con punto base${\displaystyle y_{0}}$es un mapa base si es continuo con respecto a las topologías de${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$y si${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=y_{0}.}$Esto se suele denotar

${\displaystyle f:\left(X,x_{0}\right)\to \left(Y,y_{0}\right).}$

Los espacios con punto base son importantes en la topología algebraica , particularmente en la teoría de la homotopía , donde muchas construcciones, como el grupo fundamental , dependen de la elección de un punto base.

El concepto de conjunto apuntado es menos importante; de ​​todos modos, se trata de un espacio discreto apuntado .

Los espacios con punto fijo se suelen considerar un caso especial de la topología relativa , donde el subconjunto es un único punto. Por lo tanto, gran parte de la teoría de la homotopía se desarrolla habitualmente en espacios con punto fijo y luego se traslada a topologías relativas en topología algebraica .

La clase de todos los espacios puntiagudos forma una categoría superior_{${\displaystyle \bullet }$}con mapas continuos que preservan el punto base como morfismos . Otra forma de pensar en esta categoría es como la categoría coma , (${\displaystyle \{\bullet \}\downarrow }$Arriba ) donde${\displaystyle \{\bullet \}}$es un espacio de un solo punto y Top es la categoría de espacios topológicos . (Esto también se llama categoría de cosección denotada${\displaystyle \{\bullet \}/}$Arriba .) Los objetos de esta categoría son mapas continuos.${\displaystyle \{\bullet \}\to X.}$Estos mapas pueden considerarse como la selección de un punto de referencia en${\displaystyle X.}$Morfismos en (${\displaystyle \{\bullet \}\downarrow }$Top ) son morfismos en Top para los cuales el siguiente diagrama conmuta :

Es fácil ver que la conmutatividad del diagrama es equivalente a la condición de que${\displaystyle f}$conserva los puntos base.

Como un espacio señalado,${\displaystyle \{\bullet \}}$es un objeto cero en Top_{${\displaystyle \{\bullet \}}$}, mientras que en Top solo es un objeto terminal .

Hay un functor olvidadizo Top_{${\displaystyle \{\bullet \}}$}${\displaystyle \to }$Top que "olvida" qué punto es el punto base. Este functor tiene un adjunto izquierdo que asigna a cada espacio topológico${\displaystyle X}$la unión disjunta de${\displaystyle X}$y un espacio de un punto${\displaystyle \{\bullet \}}$cuyo único elemento se toma como punto base.

• Un subespacio de un espacio apuntado${\displaystyle X}$es un subespacio topológico${\displaystyle A\subsetequ X}$que comparte su punto base con${\displaystyle X}$para que el mapa de inclusión conserve el punto base.
• Se puede formar el cociente de un espacio puntiagudo${\displaystyle X}$bajo cualquier relación de equivalencia . El punto base del cociente es la imagen del punto base en${\displaystyle X}$bajo el mapa de cocientes.
• Se puede formar el producto de dos espacios puntiagudos.${\displaystyle \left(X,x_{0}\right),}$${\displaystyle \left(Y,y_{0}\right)}$como producto topológico${\displaystyle X\times Y}$con${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$sirviendo como punto de partida.
• El coproducto en la categoría de espacios con punto central es la suma de cuñas , que puede considerarse como la "unión de un punto" de espacios.
• El producto de descomposición de dos espacios con punto fijo es esencialmente el cociente del producto directo y la suma de cuñas. Podríamos decir que el producto de descomposición transforma la categoría de espacios con punto fijo en una categoría monoidal simétrica con la 0-esfera con punto fijo como objeto unitario, pero esto es falso para espacios generales: la condición de asociatividad podría no cumplirse. Sin embargo, es cierto para algunas categorías de espacios más restringidas, como las categorías débiles de Hausdorff generadas de forma compacta .
• La suspensión reducida${\displaystyle \Sigma X}$de un espacio puntiagudo${\displaystyle X}$es (salvo un homeomorfismo ) el producto de smash de${\displaystyle X}$y el círculo puntiagudo${\displaystyle S^{1}.}$
• La suspensión reducida es un functor de la categoría de espacios apuntados a sí misma. Este functor es adjunto izquierdo del functor.${\displaystyle \Omega }$tomando un espacio señalado${\displaystyle X}$a su espacio de bucle${\displaystyle \Omega X}$.

• Categoría de grupos – Categoría cuyos objetos son grupos y cuyos morfismos son homomorfismos de grupos. 
• Categoría de espacios métricos : categoría cuyos objetos son espacios métricos y cuyos morfismos son aplicaciones métricas. 
• Categoría de conjuntos – Categoría cuyos objetos son conjuntos y cuyos morfismos son funciones 
• Categoría de espacios topológicos : categoría cuyos objetos son espacios topológicos y cuyos morfismos son aplicaciones continuas. 
• Categoría de espacios vectoriales topológicos

• Gamelin, Theodore W.; Greene , Robert Everist (1999) [1983]. Introducción a la topología (segunda  ed.). Dover Publications . ISBN 0-486-40680-6.
• Mac Lane, Saunders (septiembre de 1998). Categorías para el matemático práctico (segunda  edición). Springer. ISBN 0-387-98403-8.

• Discusión en MathOverflow sobre varios puntos base y grupoides.