Grupo opuesto

En la teoría de grupos , una rama de las matemáticas , un grupo opuesto es una forma de construir un grupo a partir de otro grupo que permite definir la acción correcta como un caso especial de la acción izquierda .

Los monoides , grupos, anillos y álgebras pueden considerarse categorías con un único objeto. La construcción de la categoría opuesta generaliza el grupo opuesto, el anillo opuesto , etc.

Sea un grupo bajo la operación . El grupo opuesto de , denotado , tiene el mismo conjunto subyacente que , y su operación de grupo está definida por . ${\displaystyle G}$${\displaystyle *}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathbin {\ast '}}}$${\displaystyle g_{1}{\mathbin {\ast '}}g_{2}=g_{2}*g_{1}}$

Si es abeliano , entonces es igual a su grupo opuesto. Además, todo grupo (no necesariamente abeliano) es naturalmente isomorfo a su grupo opuesto: Un isomorfismo está dado por . De manera más general, cualquier antiautomorfismo da lugar a un isomorfismo correspondiente mediante , ya que ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \varphi :G\to G^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle \varphi (x)=x^{-1}}$ ${\displaystyle \psi :G\to G}$${\displaystyle \psi ':G\to G^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle \psi '(g)=\psi (g)}$

${\displaystyle \psi '(g*h)=\psi (g*h)=\psi (h)*\psi (g)=\psi (g){\mathbin {\ast '}}\psi (h)=\psi '(g){\mathbin {\ast '}}\psi '(h).}$

Sea un objeto de alguna categoría y una acción hacia la derecha . Entonces una acción hacia la izquierda es definida por , o . ${\displaystyle X}$${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {Aut} (X)}$${\displaystyle \rho ^{\mathrm {op} }:G^{\mathrm {op} }\to \mathrm {Aut} (X)}$${\displaystyle \rho ^{\mathrm {op} }(g)x=x\rho (g)}$${\displaystyle g^{\mathrm {op} }x=xg}$

• Anillo opuesto
• Categoría opuesta

• http://planetmath.org/oppositegroup