Límite directo

En matemáticas , un límite directo es una forma de construir un objeto (generalmente grande) a partir de muchos objetos (generalmente más pequeños) que se combinan de una manera específica. Estos objetos pueden ser grupos , anillos , espacios vectoriales o, en general, objetos de cualquier categoría . La forma en que se combinan se especifica mediante un sistema de homomorfismos ( homomorfismo de grupos , homomorfismo de anillos o, en general, morfismos en la categoría) entre esos objetos más pequeños. El límite directo de los objetos${\displaystyle A_{i}}$, dónde${\displaystyle i}$abarca algún conjunto dirigido${\displaystyle I}$, se denota por${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$Esta notación suprime el sistema de homomorfismos; sin embargo, el límite depende del sistema de homomorfismos.

Los límites directos son un caso especial del concepto de colímite en la teoría de categorías . Los límites directos son duales a los límites inversos , que a su vez son un caso especial de límites en la teoría de categorías.

Primero daremos la definición de estructuras algebraicas como grupos y módulos , y luego la definición general, que puede usarse en cualquier categoría .

Límites directos en una categoría arbitraria

El límite directo puede definirse en una categoría arbitraria.${\displaystyle {\mathcal {C}}}$por medio de una propiedad universal . Sea${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$ser un sistema directo de objetos y morfismos en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$(como se define anteriormente). Un objetivo es un par${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$dónde${\displaystyle X\,}$es un objeto en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$y${\displaystyle \phi _{i}\colon X_{i}\rightarrow X}$son morfismos para cada uno${\displaystyle i\in I}$de tal manera que${\displaystyle \phi _{i}=\phi _{j}\circ f_{ij}}$cuando sea ${\displaystyle i\leq j}$Un límite directo del sistema directo${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$es un objetivo universalmente repelente${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$en el sentido de que${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$es un objetivo y para cada objetivo${\displaystyle \langle Y,\psi _ {i}\rangle }$, hay un morfismo único${\displaystyle u\colon X\rightarrow Y}$de tal manera que${\displaystyle u\circ \phi _{i}=\psi _{i}}$para cada i . El siguiente diagrama

entonces conmutarán para todos i , j .

El límite directo se suele denotar

${\displaystyle X=\varinjlim X_ {i}}$

con el sistema directo${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$y los morfismos canónicos${\displaystyle \phi _{i}}$(o, más precisamente, inyecciones canónicas)${\displaystyle \iota _{i}}$) siendo comprendido.

A diferencia de lo que ocurre con los objetos algebraicos, no todo sistema directo en una categoría arbitraria tiene un límite directo. Sin embargo, si lo tiene, dicho límite es único en un sentido estricto: dado otro límite directo X ′, existe un único isomorfismo X ′ → X que conmuta con los morfismos canónicos.

• Una colección de subconjuntos${\displaystyle M_{i}}$de un conjunto${\displaystyle M}$puede ordenarse parcialmente por inclusión. Si la colección está dirigida, su límite directo es la unión${\displaystyle \bigcup M_{i}}$.
• De manera similar, la colección de subgrupos generados finitamente${\displaystyle H_{i}}$de un grupo determinado${\displaystyle G}$pueden ordenarse parcialmente por inclusión. Conjuntos finitos de subgrupos finitamente generados${\displaystyle \{\langle X_{1}\rangle ,\langle X_{2}\rangle ,\dots \langle X_{n}\rangle \}}$están contenidos en el subgrupo finitamente generado${\displaystyle \langle \cup X_{i}\rangle }$, por lo que el conjunto de índices es efectivamente dirigido. Con los morfismos de inclusión${\displaystyle f_{i,j}:H_{i}\to H_{j}}$, el límite directo es simplemente (isomorfo a)${\displaystyle G}$Un resultado análogo se aplica a anillos, módulos, álgebras, etc. Cabe señalar que el requisito de generación finita puede debilitarse, siempre que el conjunto de índices siga siendo dirigido.
• La topología débil de un complejo CW se define como un límite directo.
• Dejar${\displaystyle I}$ser cualquier conjunto dirigido con el elemento más grande${\displaystyle m}$El límite directo${\displaystyle X}$de cualquier sistema directo correspondiente es isomorfo a${\displaystyle X_{m}}$y el morfismo canónico${\displaystyle \phi _{m}:X_{m}\rightarrow X}$es un isomorfismo.
• Sea K un cuerpo. Para un entero positivo n , consideremos el grupo lineal general GL( n; K ) formado por matrices invertibles de n x n con entradas de K. Tenemos un homomorfismo de grupos GL( n; K ) → GL( n +1; K ) que amplía las matrices colocando un 1 en la esquina inferior derecha y ceros en el resto de la última fila y columna. El límite directo de este sistema es el grupo lineal general de K , escrito como GL( K ). Un elemento de GL( K ) puede considerarse como una matriz invertible infinita que difiere de la matriz identidad infinita solo en un número finito de entradas. El grupo GL( K ) es de vital importancia en la teoría algebraica de K.
• Sea p un número primo . Consideremos el sistema directo compuesto por los grupos de factores.${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$y los homomorfismos${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /p^{n+1}\mathbb {Z} }$inducido por la multiplicación por${\displaystyle p}$. El límite directo de este sistema consiste en todas las raíces de unidad de orden alguna potencia de${\displaystyle p}$y se llama el grupo Prüfer${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$.
• Existe un homomorfismo de anillos inyectivo (no obvio) del anillo de polinomios simétricos en${\displaystyle n}$variables al anillo de polinomios simétricos en${\displaystyle n+1}$variables. Al formar el límite directo de este sistema directo se obtiene el anillo de funciones simétricas .
• Sea F un haz con valores en C sobre un espacio topológico X. Fijemos un punto x en X. Los entornos abiertos de x forman un conjunto dirigido ordenado por inclusión ( U ≤ V si y solo si U contiene a V ). El sistema directo correspondiente es ( F ( U ), r _{U , V} ) donde r es la aplicación de restricción. El límite directo de este sistema se llama tallo de F en x , denotado F _x . Para cada entorno U de x , el morfismo canónico F ( U ) → F _x asocia a una sección s de F sobre U un elemento s _x del tallo F _x llamado germen de s en x .
• Los límites directos en la categoría de espacios topológicos se obtienen colocando la topología final sobre el límite directo subyacente de la teoría de conjuntos.
• Un esquema ind es un límite inductivo de esquemas.

Los límites directos están vinculados a los límites inversos mediante

${\displaystyle \mathrm {Hom} (\varinjlim X_{i},Y)=\varprojlim \mathrm {Hom} (X_{i},Y).}$

Una propiedad importante es que tomar límites directos en la categoría de módulos es un functor exacto . Esto significa que para cualquier sistema dirigido de secuencias exactas cortas${\displaystyle 0\to A_{i}\to B_{i}\to C_{i}\to 0}$, la secuencia${\displaystyle 0\to \varinjlim A_{i}\to \varinjlim B_{i}\to \varinjlim C_{i}\to 0}$de límites directos también es exacto.

Observamos que un sistema directo en una categoría${\displaystyle {\mathcal {C}}}$admite una descripción alternativa en términos de functores . Cualquier conjunto dirigido${\displaystyle \langle I,\leq \rangle }$puede considerarse una categoría pequeña${\displaystyle {\mathcal {I}}}$cuyos objetos son los elementos${\displaystyle I}$y hay un morfismo ${\displaystyle i\rightarrow j}$si y solo si${\displaystyle i\leq j}$. Un sistema directo sobre${\displaystyle I}$es entonces lo mismo que un functor covariante${\displaystyle {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$. El colímite de este functor es el mismo que el límite directo del sistema directo original.

Un concepto estrechamente relacionado con los límites directos son los colímites filtrados . Aquí comenzamos con un functor covariante.${\displaystyle {\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$de una categoría filtrada${\displaystyle {\mathcal {J}}}$a alguna categoría${\displaystyle {\mathcal {C}}}$y forman el colímite de este funtor. Se puede demostrar que una categoría tiene todos los límites dirigidos si y solo si tiene todos los colímites filtrados, y un funtor definido en dicha categoría conmuta con todos los límites directos si y solo si conmuta con todos los colímites filtrados. ^{[ 1 ]}

Dada una categoría arbitraria${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, puede haber sistemas directos en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$que no tienen un límite directo en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$(consideremos, por ejemplo, la categoría de conjuntos finitos o la categoría de grupos abelianos finitamente generados ). En este caso, siempre podemos incrustar${\displaystyle {\mathcal {C}}}$en una categoría${\displaystyle {\text{Ind}}({\mathcal {C}})}$en el que existen todos los límites directos; los objetos de ${\displaystyle {\text{Ind}}({\mathcal {C}})}$se denominan objetos ind de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

El dual categórico del límite directo se denomina límite inverso . Como se mencionó anteriormente, los límites inversos pueden considerarse límites de ciertos functores y están estrechamente relacionados con los límites sobre categorías cofiltradas.

En la literatura se encuentran los términos «límite dirigido», «límite inductivo directo», «colímite dirigido», «colímite directo» y «límite inductivo» para referirse al concepto de límite directo definido anteriormente. Sin embargo, el término «límite inductivo» resulta ambiguo, ya que algunos autores lo utilizan para el concepto general de colímite.

• Límites directos de los grupos

• Bourbaki, Nicolas (1968), Elementos de matemáticas. Teoría de conjuntos , Traducido del francés, París: Hermann, MR 0237342 
• Mac Lane, Saunders (1998), Categorías para el matemático en activo , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  5 (2.ª  ed.), Springer-Verlag