functor polinomial

En álgebra, un functor polinomial es un endofunctor en la categoría${\displaystyle {\mathcal {V}}}$de espacios vectoriales de dimensión finita que dependen polinómicamente de los espacios vectoriales. Por ejemplo, las potencias simétricas${\displaystyle V\mapsto \operatorname {Sym} ^{n}(V)}$y los poderes exteriores${\displaystyle V\mapsto \wedge ^{n}(V)}$son functores polinomiales de${\displaystyle {\mathcal {V}}}$a${\displaystyle {\mathcal {V}}}$; estos dos también son functores de Schur .

La noción aparece tanto en la teoría de representaciones como en la teoría de categorías (el cálculo de funtores ). En particular, la categoría de funtores polinomiales homogéneos de grado n es equivalente a la categoría de representaciones de dimensión finita del grupo simétrico.${\displaystyle S_{n}}$sobre un campo de característica cero. ^{[ 1 ]}

Sea k un campo de característica cero y${\displaystyle {\mathcal {V}}}$la categoría de espacios vectoriales k - dimensionales y aplicaciones lineales k - dimensionales . Entonces un endofunctor${\displaystyle F\colon {\mathcal {V}}\to {\mathcal {V}}}$es un functor polinomial si se cumplen las siguientes condiciones equivalentes:

• Para cada par de espacios vectoriales X , Y en${\displaystyle {\mathcal {V}}}$, el mapa${\displaystyle F\colon \operatorname {Hom} (X,Y)\to \operatorname {Hom} (F(X),F(Y))}$es una aplicación polinómica (es decir, un polinomio con valores vectoriales en formas lineales).
• Dados mapas lineales${\displaystyle f_{i}:X\to Y,\,1\leq i\leq r}$en${\displaystyle {\mathcal {V}}}$, la función${\displaystyle (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{r})\mapsto F(\lambda _{1}f_{1}+\cdots +\lambda _{r}f_{r})}$definido en${\displaystyle k^{r}}$es una función polinómica con coeficientes en${\displaystyle \operatorname {Hom} (F(X),F(Y))}$.

Se dice que un functor polinomial es homogéneo de grado n si para cualquier aplicación lineal se cumple que${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{r}}$en${\displaystyle {\mathcal {V}}}$con dominio y codominio comunes, el polinomio con valores vectoriales${\displaystyle F(\lambda _{1}f_{1}+\cdots +\lambda _{r}f_{r})}$es homogéneo de grado n .

Si se sustituyen los “espacios vectoriales finitos” por “conjuntos finitos”, se obtiene la noción de especies combinatorias (para ser precisos, aquellas de naturaleza polinómica).