Localización de Bousfield

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas, una localización de Bousfield (izquierda) de una categoría modelo reemplaza la estructura del modelo con otra estructura de modelo con las mismas cofibraciones pero con equivalencias más débiles.

La localización de Bousfield recibe su nombre de Aldridge Bousfield , quien introdujo por primera vez esta técnica en el contexto de la localización de espacios y espectros topológicos . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Estructura de categorías del modelo de localización de Bousfield

Dada una clase C de morfismos en una categoría modelo M, la localización de Bousfield izquierda es una nueva estructura modelo en la misma categoría que antes. Sus equivalencias, cofibraciones y fibraciones , respectivamente, son:

las equivalencias locales de C
las cofibraciones originales de M

y (necesariamente, puesto que las cofibraciones y las equivalencias débiles determinan las fibraciones)

los mapas que tienen la propiedad de elevación correcta con respecto a las cofibraciones en M que también son equivalencias locales C.

En esta definición, una equivalencia local de C es un mapa. $f\colon X\to Y$ lo cual, en términos generales, no supone ninguna diferencia al mapear a un objeto local de C. Más precisamente, $f^{*}\colon \operatorname {map} (Y,W)\to \operatorname {map} (X,W)$ Se requiere que sea una equivalencia débil (de conjuntos simpliciales ) para cualquier objeto C -local W. Un objeto W se llama C -local si es fibrante (en M ) y

s^{*}\colon \operatorname {map} (B,W)\to \operatorname {map} (A,W)

es una equivalencia débil para todos los mapas $s\colon A\to B$ en C. La notación $\operatorname {map} (-,-)$ es, para una categoría modelo general (no necesariamente enriquecida sobre conjuntos simpliciales) un cierto conjunto simplicial cuyo conjunto de componentes de caminos coincide con los morfismos en la categoría de homotopía de M :

\pi _{0}(\operatorname {map} (X,Y))=\operatorname {Hom} _{Ho(M)}(X,Y).

Si M es una categoría de modelo simplicial (como, por ejemplo, conjuntos simpliciales o espacios topológicos), entonces "mapa" arriba puede tomarse como el espacio de mapeo simplicial derivado de M.

Esta descripción no afirma nada sobre la existencia de esta estructura de modelo, para lo cual véase más abajo.

Por otra parte, existe una noción de localización de Bousfield derecha , cuya definición se obtiene reemplazando las cofibraciones por fibraciones (e invirtiendo las direcciones de todas las flechas).

Existencia

Se sabe que la estructura del modelo de localización de Bousfield izquierdo, tal como se describió anteriormente, existe en diversas situaciones, siempre que C sea un conjunto:

M es propio por la izquierda (es decir, el empuje de una equivalencia débil a lo largo de una cofibración es de nuevo una equivalencia débil) y combinatorio
M es propia y celular.

La combinatorialidad y la celularidad de una categoría modelo garantizan, en particular, un fuerte control sobre las cofibraciones de M.

De manera similar, la localización de Bousfield derecha existe si M es derecha propia y celular o combinatoria y C es un conjunto.

Propiedad universal

La localización $C[W^{-1}]$ Una propiedad universal de una categoría (ordinaria) C con respecto a una clase W de morfismos satisface la siguiente propiedad universal:

Hay un functor $C\a C[W^{-1}]$ lo cual envía todos los morfismos en W a isomorfismos.
Cualquier functor $C\to D$ que envía W a isomorfismos en D factores únicos sobre el functor mencionado anteriormente.

La localización de Bousfield es la noción análoga apropiada para las categorías modelo, teniendo en cuenta que los isomorfismos en la teoría de categorías ordinaria se reemplazan por equivalencias débiles. Es decir, la localización de Bousfield (izquierda) $L_{C}M$ es tal que

Existe un functor Quillen izquierdo $M\to L_{C}M$ cuyo functor derivado izquierdo envía todos los morfismos en C a equivalencias débiles.
Cualquier functor Quillen a la izquierda $M\to N$ cuyo functor derivado izquierdo envía C a equivalencias débiles factores de forma única a través de $M\to L_{C}M$ .

Ejemplos

Localización y finalización de un espectro

La localización y la completitud de un espectro en un número primo p son ejemplos de localización de Bousfield, lo que da como resultado un espectro local . Por ejemplo, al localizar el espectro de la esfera S en p , se obtiene un espectro local. $S_{(p)}$ .

Estructura de modelo estable en espectros

La categoría de homotopía estable es la categoría de homotopía (en el sentido de categorías modelo) de espectros, dotada de la estructura de modelo estable. La estructura de modelo estable se obtiene como una localización de Bousfield izquierda de la estructura de modelo de nivel (o proyectiva) sobre espectros, cuyas equivalencias débiles (fibraciones) son aquellos mapas que son equivalencias débiles (fibraciones, respectivamente) en todos los niveles. ^{[ 3 ]}

Estructura del modelo Morita en categorías dg

La estructura del modelo de Morita en la categoría de categorías dg pequeñas es una localización de Bousfield de la estructura del modelo estándar (aquella para la cual las equivalencias débiles son las cuasi-equivalencias).

Véase también

Localización de un espacio topológico

Referencias

↑ Aldridge Bousfield, La localización de espectros con respecto a la homología , Topología vol. 18 (1979)
↑ Aldridge Bousfield, La localización de espacios con respecto a la homología , Topología vol. 14 (1975)
↑ Hovey, Mark (2001). "Espectros y espectros simétricos en categorías de modelos generales" . Journal of Pure and Applied Algebra . 165 (1): 63– 127. arXiv : math/0004051 . doi : 10.1016/s0022-4049(00)00172-9 . MR 1860878 .

Hirschhorn, Categorías de modelos y sus localizaciones , AMS 2002
Ausencia de mapas entre espectros p-locales y q-locales

Enlaces externos

Localización de Bousfield en nlab .
J. Lurie , Lección 20 en Teoría de la homotopía cromática (252x).

[1] Aldridge Bousfield, La localización de espectros con respecto a la homología , Topología vol. 18 (1979)

[2] Aldridge Bousfield, La localización de espacios con respecto a la homología , Topología vol. 14 (1975)

[3] Hovey, Mark (2001). "Espectros y espectros simétricos en categorías de modelos generales" . Journal of Pure and Applied Algebra . 165 (1): 63– 127. arXiv : math/0004051 . doi : 10.1016/s0022-4049(00)00172-9 . MR 1860878 .

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