Mónada de Codensity

En matemáticas, especialmente en la teoría de categorías , la mónada de codensidad es una construcción fundamental que asocia una mónada a una amplia clase de functores .

La mónada de codensidad de un functor${\displaystyle G:D\to C}$se define como la extensión Kan derecha de${\displaystyle G}$por sí mismo, siempre que exista esta extensión de Kan. Por lo tanto, por definición es en particular un functor. $${\displaystyle T^{G}:C\to C.}$$ La estructura de mónada en${\displaystyle T^{G}}$Se deriva de la propiedad universal de la extensión Kan derecha.

La mónada de codensidad existe siempre que${\displaystyle D}$es una categoría pequeña (tiene solo un conjunto, a diferencia de una clase propia , de morfismos) y${\displaystyle C}$posee todos los límites (pequeños, es decir, indexados por conjuntos) . También existe siempre que${\displaystyle G}$tiene un adjunto izquierdo .

Mediante la fórmula general que calcula las extensiones de Kan derechas en términos de extremos , la mónada de codensidad viene dada por la siguiente fórmula: $${\displaystyle T^{G}(c)=\int _{d\in D}G(d)^{C(c,G(d))},}$$ dónde${\displaystyle C(c,G(d))}$denota el conjunto de morfismos en${\displaystyle C}$entre los objetos indicados y la integral denota el final. Por lo tanto, la mónada de codensidad equivale a considerar mapas desde${\displaystyle c}$a un objeto a imagen de${\displaystyle G,}$y mapea desde el conjunto de tales morfismos a${\displaystyle G(d),}$compatible para todos los posibles${\displaystyle d.}$Así, como señala Avery, ^{[ 1 ]} las mónadas de codensidad comparten cierto parentesco con el concepto de integración y doble dualización.

Di Liberti ^{[ 7 ]} muestra que la mónada de codensidad está estrechamente relacionada con la dualidad de Isbell : para una categoría pequeña dada${\displaystyle C,}$La dualidad de Isbell se refiere a la adjunción $${\displaystyle {\mathcal {O}}:Set^{C^{op}}\rightleftarrows (Set^{C})^{op}:Spec}$$ entre la categoría de pregavillas en${\displaystyle C}$(es decir, functores de la categoría opuesta de${\displaystyle C}$a conjuntos) y la categoría opuesta de coprehaz en${\displaystyle C.}$La mónada $${\displaystyle Spec\circ {\mathcal {O}}}$$ Se demuestra que la inducida por esta adjunción es la mónada de codensidad de la incrustación de Yoneda.$${\displaystyle y:C\to Set^{C^{op}}.}$$ Por el contrario, la mónada de codensidad de una subcategoría densa pequeña completa${\displaystyle K}$en una categoría completa${\displaystyle C}$Se demuestra que es inducido por la dualidad de Isbell. ^{[ 8 ]}

• Functor monádico : operación en álgebra y matemáticas. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento. 

Notas a pie de página

• Mónadas de Codensity en el café de n categorías.