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Doble categoría

En matemáticas, especialmente en teoría de categorías , una categoría doble es una generalización de una categoría donde, en lugar de morfismos, tenemos morfismos verticales, mo...

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En matemáticas, especialmente en teoría de categorías , una categoría doble es una generalización de una categoría donde, en lugar de morfismos, tenemos morfismos verticales, morfismos horizontales y 2-morfismos. Introducida por Ehresmann en la década de 1960, [ 1 ] [ 2 ] la noción puede compararse con la de una bicategoría ; es decir, la noción de bicategoría se obtiene por enriquecimiento , mientras que la noción de categoría doble se obtiene por internalización . [ 3 ] Precisamente, una categoría doble es una categoría interna a Cat (que significa, en términos generales, un objeto de categoría). [ 4 ]

Así como iterar el proceso para obtener la noción de una 2-categoría conduce a la de una n- categoría, iterar el proceso para una doble categoría conduce a la de una n -categoría .

Definiciones

Las categorías dobles pueden entenderse como formadas a partir de los siguientes datos.

  • Una clase de objetos
  • Una clase de morfismos verticales entre objetos
  • Una clase de morfismos horizontales entre objetos
  • Una clase de 2-morfismos entre morfismos horizontales que rellenan cuadrados

En esta presentación, tanto los morfismos verticales como los horizontales otorgan una estructura de categoría a los objetos. Estas categorías se denominan categorías de aristas.

Notas a pie de página

  1. ↑ C.Ehresmann. Categorías Estructuradas. Ana. Ciencia. Norma de la escuela. Sup 80, págs. 349-425. 1963.
  2. ↑ C.Ehresmann. Catégories et Structures, Dunod, París, 1965.
  3. ↑ Morton 2009 , § 1. Introducción.
  4. ↑ Morton 2009 , Definición 2.2.1.

Referencias

  • Morton, Jeffrey C. (2009). "Bicategorías dobles y cospanes dobles". Journal of Homotopy and Related Structures . 4 (1): 389– 428. arXiv : math/0611930 .
  • Kelly, GM; Street, Ross (1974). «Revisión de los elementos de las 2-categorías». En Kelly, Gregory M. (ed.). Category Seminar: Proceedings of the Sydney Category Theory Seminar, 1972/1973 . Lecture Notes in Mathematics. Vol.  420. Springer. pp. 75–103 . doi : 10.1007/BFb0063101 . ISBN  978-3-540-06966-9MR 0357542 .​ 

Lecturas adicionales

  • Palmquist, Paul H. (1971). «La doble categoría de cuadrados adjuntos». Informes del Seminario de Categorías del Medio Oeste V. Notas de clase en matemáticas. Vol.  195. págs. 123–153 . doi : 10.1007/BFb0072309 . ISBN  978-3-540-05442-9.
  • https://ncatlab.org/nlab/show/double+category
  • https://math.stackexchange.com/questions/1649138/on-the-definition-of-double-categories
  • https://math.stackexchange.com/questions/2395428/whats-a-double-category-with-one-object
  • http://pantodon.jp/index.rb?body=double_category en japonés