transformada de Fourier

En matemáticas , la transformada de Fourier ( TF ) es una transformada integral que toma una función como entrada y produce otra función que describe la presencia de diversas frecuencias en la función original. El resultado de la transformada es una función de frecuencia de valor complejo . El término transformada de Fourier se refiere tanto a la operación matemática como a esta función de valor complejo. Cuando es necesario hacer una distinción, el resultado de la operación se denomina a veces representación en el dominio de la frecuencia de la función original. ^{[ nota 1 ]} La transformada de Fourier es análoga a la descomposición del sonido de un acorde musical en las intensidades de sus tonos constituyentes .

Las funciones localizadas en el dominio del tiempo tienen transformadas de Fourier que se extienden por el dominio de la frecuencia y viceversa, un fenómeno conocido como principio de incertidumbre . El caso crítico para este principio es la función gaussiana , de gran importancia en la teoría de la probabilidad y la estadística, así como en el estudio de fenómenos físicos que exhiben una distribución normal (por ejemplo, la difusión ). La transformada de Fourier de una función gaussiana es otra función gaussiana. Joseph Fourier introdujo las transformadas de seno y coseno (que corresponden a las componentes imaginaria y real de la transformada de Fourier moderna) en su estudio de la transferencia de calor , donde las funciones gaussianas aparecen como soluciones de la ecuación del calor .

La transformada de Fourier puede definirse formalmente como una integral de Riemann impropia , lo que la convierte en una transformada integral, aunque esta definición no es adecuada para muchas aplicaciones que requieren una teoría de integración más sofisticada. ^[^{nota 2}^] Por ejemplo, muchas aplicaciones relativamente sencillas utilizan la función delta de Dirac , que puede tratarse formalmente como si fuera una función, pero la justificación requiere un punto de vista matemáticamente más sofisticado. ^[^{nota 3}^]

La transformada de Fourier también puede generalizarse a funciones de varias variables en el espacio euclidiano , enviando una función del "espacio de posición" tridimensional a una función del momento tridimensional (o una función del espacio y el tiempo a una función del cuadrimomento ). Esta idea hace que la transformada de Fourier espacial sea muy natural en el estudio de las ondas, así como en la mecánica cuántica , donde es importante poder representar las soluciones de onda como funciones de la posición o del momento, y a veces de ambos. En general, las funciones a las que se aplican los métodos de Fourier son de valor complejo, y posiblemente de valor vectorial . ^{[ nota 4 ]} Es posible una generalización aún mayor a funciones en grupos , que, además de la transformada de Fourier original en $R$ o $R n$ , incluye notablemente la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT, grupo = $Z$ ), la transformada de Fourier discreta (DFT, grupo = $Z mod N$ ) y la serie de Fourier o transformada de Fourier circular (grupo = $S 1$ , el círculo unitario ≈ intervalo finito cerrado con puntos extremos identificados). Este último se emplea habitualmente para manejar funciones periódicas . La transformada rápida de Fourier (FFT) es un algoritmo para calcular la transformada discreta de Fourier (DFT).

Definición

La transformada de Fourier de una función compleja integrable de Lebesgue $f(x)$ En la recta real, es la función de valor complejo . ${\widehat {f}}(\xi )$ ⁠ , definido por la integral^{[ 1 ]}

transformada de Fourier

Cuando $f(x)$ es (de Lebesgue) integrable sobre toda la recta real, la integral anterior converge para todo $\xi \in \mathbb {R}$ , y ${\widehat {f}}(\xi )$ es una función uniformemente continua de $\xi$ que decae a cero como $\xi \to \infty$ .

Sin embargo, la transformada de Fourier también puede definirse para funciones (generalizadas) para las cuales la integral de Lebesgue (Ec. 1) no tiene sentido. ^{[ 2 ]} Interpretar la integral adecuadamente (por ejemplo, como una integral impropia para funciones localmente integrables ) extiende la transformada de Fourier a funciones que no son necesariamente integrables en toda la recta real. De manera más general, la transformada de Fourier también se aplica a funciones generalizadas como la delta de Dirac (y todas las demás distribuciones temperadas ), en cuyo caso se define por dualidad en lugar de por una integral. ^{[ 3 ]}

Introducida por primera vez en la Teoría Analítica del Calor de Fourier , ^[⁴^]^[⁵^]^[⁶^]^[⁷^] la fórmula de inversión correspondiente para funciones que satisfacen propiedades de regularidad y decaimiento suficientes viene dada por el teorema de inversión de Fourier , es decir,

Transformación inversa

Las funciones $f$ y ${\widehat {f}}$ se denominan par de transformada de Fourier . ^{[ 8 ]} Una notación común para designar pares de transformada es: ^{[ 9 ]} $f(x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ {\widehat {f}}(\xi ).$ Por ejemplo, la transformada de Fourier de la función delta es la función constante . $1$ : $\delta (x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ 1.$

Frecuencia angular ( ω )

Cuando la variable independiente ( ⁠ $x$ ⁠ ) representa el tiempo (a menudo denotado por ⁠ $t$ ⁠ ), la variable de transformación ( ⁠ $\xi$ ⁠ ) representa la frecuencia (a menudo denotada por ⁠ $f$ Por ejemplo, si el tiempo tiene la unidad de segundo , entonces la frecuencia tiene la unidad de hercio . La variable de transformación también se puede escribir en términos de frecuencia angular . $\omega =2\pi \xi$ , con la unidad radianes por segundo.

La sustitución $\xi ={\tfrac {\omega }{2\pi }}$ En la ecuación 1 se produce esta convención, donde la función ${\widehat {f}}$ se cambia de etiqueta ${\widehat {f}}_{1}$ : ${\begin{aligned}{\widehat {f}}_{3}(\omega )&\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega x}\,dx={\widehat {f}}_{1}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{3}(\omega )\cdot e^{i\omega x}\,d\omega .\end{aligned}}$ A diferencia de la definición de la ecuación 1 , la transformada de Fourier ya no es una transformación unitaria , y hay menos simetría entre las fórmulas para la transformada y su inversa. Esas propiedades se restauran dividiendo la $2\pi$ factorizar uniformemente entre la transformada y su inversa, lo que lleva a otra convención: ${\begin{aligned}{\widehat {f}}_{2}(\omega )&\triangleq {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega x}\,dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \ {\widehat {f}}_{1}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{2}(\omega )\cdot e^{i\omega x}\,d\omega .\end{aligned}}$ Se pueden crear variaciones de las tres convenciones conjugando el núcleo exponencial complejo de la transformada directa e inversa. Los signos deben ser opuestos.

funciones integrables de Lebesgue

Una función medible $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ Se denomina integrable (de Lebesgue) si la integral de Lebesgue de su valor absoluto es finita: $\|f\|_{1}=\int _{\mathbb {R} }|f(x)|\,dx<\infty .$ Si $f$ Si es integrable de Lebesgue, entonces la transformada de Fourier, dada por la ecuación 1 , está bien definida para todo ⁠ $\xi \in \mathbb {R}$ ⁠ .^{[ 10 ]} Además, ${\widehat {f}}\in L^{\infty }\cap C_{0}(\mathbb {R} )$ es acotada, uniformemente continua y (por el lema de Riemann-Lebesgue ) se anula en el infinito . Aquí $C_{0}(\mathbb {R} )$ denota el espacio de funciones continuas en $\mathbb {R}$ que se aproximan a 0 cuando x se aproxima a infinito positivo o negativo.

El espacio $L^{1}(\mathbb {R} )$ es el espacio de funciones medibles para las cuales la norma $\|f\|_{1}$ es finito, módulo la relación de equivalencia de igualdad casi en todas partes . La transformada de Fourier en $L^{1}(\mathbb {R} )$ es uno a uno . Sin embargo, no hay una caracterización sencilla de la imagen y, por lo tanto, no hay una caracterización sencilla de la transformada inversa. En particular, la ecuación 2 ya no es válida, ya que se planteó solo bajo la hipótesis de que $f(x)$ era "suficientemente agradable" (por ejemplo, $f(x)$ decae con todos los derivados ).

Mientras que la ecuación 1 define la transformada de Fourier para funciones (de valor complejo) en ⁠ $L^{1}(\mathbb {R} )$ ⁠ , no está bien definido para otras clases de integrabilidad, sobre todo para el espacio de funciones de cuadrado integrable ⁠ $L^{2}(\mathbb {R} )$ ⁠ . Por ejemplo, la función $f(x)=(1+x^{2})^{-1/2}$ está en $L^{2}$ pero no $L^{1}$ y por lo tanto la integral de Lebesgue Eq.1 no existe. Sin embargo, la transformada de Fourier en el subespacio denso $L^{1}\cap L^{2}(\mathbb {R} )\subset L^{2}(\mathbb {R} )$ admite una extensión continua única a un operador unitario en ⁠ $L^{2}(\mathbb {R} )$ ⁠ . Esta extensión es importante en parte porque, a diferencia del caso de ⁠ $L^{1}$ ⁠ , la transformada de Fourier es un automorfismo del espacio ⁠ $L^{2}(\mathbb {R} )$ .

En tales casos, la transformada de Fourier se puede obtener explícitamente regularizando la integral y luego pasando a un límite. En la práctica, la integral a menudo se considera una integral impropia en lugar de una integral de Lebesgue propia, pero a veces para la convergencia es necesario usar el límite débil o el valor principal en lugar de los límites (puntuales) implícitos en una integral impropia. Titchmarsh (1986) y Dym y McKean (1985) dan cada uno tres formas rigurosas de extender la transformada de Fourier a funciones de cuadrado integrable usando este procedimiento. Un principio general al trabajar con la $L^{2}$ La transformada de Fourier es que las combinaciones lineales finitas de gaussianas son densas en $L^{1}\cap L^{2}$ ⁠ , y las diversas características de la transformada de Fourier, como su unitariedad, se infieren fácilmente para las gaussianas. Muchas de las propiedades de la transformada de Fourier se pueden demostrar a partir de dos hechos sobre las gaussianas:^{[ 11 ]}

eso $e^{-\pi x^{2}}$ es su propia transformada de Fourier; y
que la integral gaussiana $\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-\pi x^{2}}\,dx=1$ .

Una característica de la $L^{1}$ La transformada de Fourier es que es un homomorfismo de álgebras de Banach de $L^{1}$ equipado con la operación de convolución al álgebra de Banach de funciones continuas bajo la $L^{\infty }$ norma (suprema). Las convenciones elegidas en este artículo son las del análisis armónico , de modo que la transformada de Fourier es unitaria en ⁠ $L^{2}$ y un homomorfismo de álgebra de ${1}$ a $L^{\infty }$ ⁠ , sin renormalizar la medida de Lebesgue.^{[ 12 ]}

Fondo

Historia

En 1822, Fourier afirmó (véase Joseph Fourier § La teoría analítica del calor ) que cualquier función, ya sea continua o discontinua, puede expandirse en una serie de senos. ^{[ 13 ]} Ese importante trabajo fue corregido y ampliado por otros para proporcionar la base de las diversas formas de la transformada de Fourier utilizadas desde entonces.

sinusoides complejos

La sinusoide roja se puede describir mediante amplitud máxima (1), pico a pico (2), RMS (3) y longitud de onda (4). Las sinusoides roja y azul tienen una diferencia de fase de

θ

.

En general, los coeficientes ${\widehat {f}}(\xi )$ son números complejos, que tienen dos formas equivalentes (véase la fórmula de Euler ): ${\widehat {f}}(\xi )=\underbrace {Ae^{i\theta }} _{\text{polar coordinate form}}=\underbrace {A\cos(\theta )+iA\sin(\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}}.$

El producto con $e^{i2\pi \xi x}$ ( Ec. 2 ) tiene estas formas: ${\begin{aligned}{\widehat {f}}(\xi )\cdot e^{i2\pi \xi x}&=Ae^{i\theta }\cdot e^{i2\pi \xi x}\\[6pt]&=\underbrace {Ae^{i(2\pi \xi x+\theta )}} _{\text{polar coordinate form}}\\[6pt]&=\underbrace {A\cos(2\pi \xi x+\theta )+iA\sin(2\pi \xi x+\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}},\end{aligned}}$ que transmite tanto la amplitud como la fase de la frecuencia . $\xi$ ⁠ . Asimismo, la interpretación intuitiva de la ecuación 1 es que multiplicando $f(x)$ por $e^{-i2\pi \xi x}$ tiene el efecto de restar $\xi$ de cada componente de frecuencia de la función $f(x)$ ⁠ .^{[ nota 5 ]} Solo el componente que estaba en frecuencia $\xi$ puede producir un valor distinto de cero de la integral infinita, porque (al menos formalmente) todos los demás componentes desplazados son oscilatorios y se integran a cero (véase el § Ejemplo ).

Es notable la facilidad con la que se simplificó el producto utilizando la forma polar, y la facilidad con la que se dedujo la forma rectangular mediante la aplicación de la fórmula de Euler.

Frecuencia negativa

La fórmula de Euler introduce la posibilidad de valores negativos . $\xi$ ⁠ . La ecuación 1 se define ⁠ $\forall \xi \in \mathbb {R}$ ⁠ . Solo ciertos valores complejos $f(x)$ tienen transformaciones ${\widehat {f}}=0,\ \forall \ \xi <0$ ⁠ . (Véase Señal analítica ; un ejemplo sencillo es ⁠ $e^{i2\pi \xi _{0}x}\ (\xi _{0}>0)$ ⁠ .) Pero la frecuencia negativa es necesaria para caracterizar todos los demás valores complejos ⁠ $f(x)$ ⁠ , que se encuentra en el procesamiento de señales , ecuaciones diferenciales parciales , radar , óptica no lineal , mecánica cuántica y otros.

Para un valor real ⁠ $f(x)$ ⁠ , la ecuación 1 tiene la propiedad de simetría ${\widehat {f}}(-\xi )={\widehat {f}}^{*}(\xi )$ (véase § Conjugación más abajo). Esta redundancia permite que la ecuación 2 distinga $f(x)=\cos(2\pi \xi _{0}x)$ desde $e^{i2\pi \xi _{0}x}$ ⁠ . Pero no puede determinar el signo real de ⁠ $\xi _{0}$ ⁠ , porque $\cos(2\pi \xi _{0}x)$ y $\cos(2\pi (-\xi _{0})x)$ son indistinguibles solo en la línea de los números reales.

Transformada de Fourier para funciones periódicas

La transformada de Fourier de una función periódica no puede definirse directamente mediante la fórmula integral. Para que la integral de la ecuación 1 esté definida, la función debe ser absolutamente integrable . En su lugar, se suele utilizar la serie de Fourier . Es posible extender la definición para incluir funciones periódicas considerándolas como distribuciones temperadas .

Esto permite ver una conexión entre la serie de Fourier y la transformada de Fourier para funciones periódicas que tienen una serie de Fourier convergente . Si $f(x)$ es una función periódica , con periodo ⁠ $P$ ⁠ , que tiene una serie de Fourier convergente, entonces: ${\widehat {f}}(\xi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\cdot \delta \left(\xi -{\tfrac {n}{P}}\right),$ dónde $c_{n}$ son los coeficientes de la serie de Fourier de ⁠ $f$ y $\delta$ es la función delta de Dirac . En otras palabras, la transformada de Fourier es una función peine de Dirac cuyos dientes se multiplican por los coeficientes de la serie de Fourier.

Muestreo de la transformada de Fourier

La transformada de Fourier de una función integrable $f$ se pueden muestrear a intervalos regulares de longitud arbitraria $1/P$ Estas muestras se pueden deducir de un ciclo de una función periódica . $f_{P}$ ⁠ , que tiene coeficientes de serie de Fourier proporcionales a esas muestras según la fórmula de suma de Poisson : $f_{P}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x+nP)={\frac {1}{P}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)e^{i2\pi {\frac {k}{P}}x},\quad \forall k\in \mathbb {Z} .$

La integrabilidad de $f$ asegura que la suma periódica converge. Por lo tanto, las muestras ${\widehat {f}}({\tfrac {k}{P}})$ se puede determinar mediante análisis de series de Fourier: ${\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)=\int _{P}f_{P}(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx.$

Cuando $f(x)$ tiene soporte compacto , $f_{P}(x)$ tiene un número finito de términos dentro del intervalo de integración. Cuando $f(x)$ no tiene soporte compacto, evaluación numérica de $f_{P}(x)$ requiere una aproximación, como por ejemplo el ahusamiento $f(x)$ o truncando el número de términos.

Unidades

La variable de frecuencia debe tener unidades inversas a las unidades del dominio de la función original (normalmente denominadas $t$ o $x$ ) . Por ejemplo, si $t$ se mide en segundos, $\xi$ debe estar en ciclos por segundo o hercios . Si la escala de tiempo está en unidades de $2\pi$ segundos, luego otra letra griega $\omega$ se utiliza normalmente en su lugar para representar la frecuencia angular (donde ⁠ $\omega =2\pi \xi$ ) en unidades de radianes por segundo. Si se utiliza $x$ para unidades de longitud, entonces $\xi$ debe tener una longitud inversa, por ejemplo, números de onda . Es decir, hay dos versiones de la línea real: una que es el rango de $t$ y se mide en unidades de ⁠ $t$ ⁠ , y el otro que es el rango de $\xi$ y se mide en unidades inversas a las unidades de ⁠ $t$ Estas dos versiones distintas de la recta real no pueden equipararse entre sí. Por lo tanto, la transformada de Fourier va de un espacio de funciones a otro espacio de funciones diferente: funciones que tienen un dominio de definición distinto .

En general, $\xi$ Siempre debe considerarse una forma lineal en el espacio de su dominio, es decir, que la segunda recta real es el espacio dual de la primera recta real. (Véase el artículo Álgebra lineal para una explicación más formal y para más detalles). Este punto de vista resulta esencial en las generalizaciones de la transformada de Fourier a grupos de simetría generales , incluido el caso de las series de Fourier.

That there is no one preferred way (often, one says "no canonical way") to compare the two versions of the real line that are involved in the Fourier transform—fixing the units on one line does not force the scale of the units on the other line—is the reason for the plethora of rival conventions on the definition of the Fourier transform. The various definitions resulting from different choices of units differ by various constants.

In other conventions, the Fourier transform has $i$ in the exponent instead of $- i$ , and vice versa for the inversion formula. This convention is common in modern physics^[14] and is the default for Wolfram Alpha, and does not mean that the frequency has become negative, since there is no canonical definition of positivity for frequency of a complex wave. It simply means that ${\widehat {f}}(\xi )$ is the amplitude of the wave ⁠ $e^{-i2\pi \xi x}$ ⁠ instead of the wave $e^{i2\pi \xi x}$ (the former, with its minus sign, is often seen in the time dependence for sinusoidal plane-wave solutions of the electromagnetic wave equation, or in the time dependence for quantum wave functions). Many of the identities involving the Fourier transform remain valid in those conventions, provided all terms that explicitly involve $i$ have it replaced by $- i$ . In electrical engineering the letter $j$ is typically used for the imaginary unit instead of $i$ because $i$ is used for current.

When using dimensionless units, the constant factors might not be written in the transform definition. For instance, in probability theory, the characteristic function $Φ$ of the probability density function ⁠ $f$ ⁠ of a random variable ⁠ $X$ ⁠ of continuous type is defined without a negative sign in the exponential, and since the units of ⁠ $x$ ⁠ are ignored, there is no ⁠ $2\pi$ ⁠ either: $\varphi (\lambda )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{i\lambda x}\,dx.$

In probability theory and mathematical statistics, the use of the Fourier—Stieltjes transform is preferred, because many random variables are not of continuous type, and do not possess a density function, and one must treat not functions but distributions, i.e., measures that possess "atoms".

Desde el punto de vista superior de los caracteres de grupo , que es mucho más abstracto, todas estas elecciones arbitrarias desaparecen, como se explicará en la sección posterior de este artículo, que trata la noción de la transformada de Fourier de una función en un grupo abeliano localmente compacto .

Propiedades

Dejar $f(x)$ y $h(x)$ representan funciones integrables medibles según Lebesgue en la recta real que satisfacen: $\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|\,dx<\infty .$ Denotamos las transformadas de Fourier de estas funciones como ${\widehat {f}}(\xi )$ y ${\widehat {h}}(\xi )$ respectivamente.

Propiedades básicas

La transformada de Fourier tiene las siguientes propiedades básicas: ^{[ 15 ]}

Linealidad

$a\ f(x)+b\ h(x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ a\ {\widehat {f}}(\xi )+b\ {\widehat {h}}(\xi );\quad \ a,b\in \mathbb {C}$

Desplazamiento temporal

$f(x-x_{0})\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ e^{-i2\pi x_{0}\xi }\ {\widehat {f}}(\xi );\quad \ x_{0}\in \mathbb {R}$

desplazamiento de frecuencia

$e^{i2\pi \xi _{0}x}f(x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\widehat {f}}(\xi -\xi _{0});\quad \ \xi _{0}\in \mathbb {R}$

Escala de tiempo

$f(ax)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right);\quad \ a\neq 0$ El caso $a=-1$ conduce a la propiedad de inversión temporal : $f(-x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\widehat {f}}(-\xi )$

\scriptstyle f(t)

\scriptstyle {\widehat {f}}(\omega )

\scriptstyle g(t)

\scriptstyle {\widehat {g}}(\omega )

\scriptstyle t

\scriptstyle \omega

\scriptstyle t

\scriptstyle \omega

La transformada de una función real simétrica par

f(t)=f_{_{\text{RE}}}

⁠ también es una función de valor real par-simétrica ( ⁠

{\widehat {f}}\!_{_{\text{RE}}}

) . El desfase horario ,

g(t)=g_{_{\text{RE}}}+g_{_{\text{RO}}}

⁠ , crea un componente imaginario, ⁠

i\ {\widehat {g\ \!}}_{_{\text{IO}}}

( Véase § Simetría .)

Simetría

Cuando las partes real e imaginaria de una función compleja se descomponen en sus partes pares e impares , hay cuatro componentes, denotadas a continuación por los subíndices RE, RO, IE e IO. Y existe una correspondencia biunívoca entre las cuatro componentes de una función de tiempo compleja y las cuatro componentes de su transformada de frecuencia compleja: ^{[ 16 ]}

{\begin{array}{rlcccccccc}{\mathsf {Time\ domain}}&f&=&f_{_{\text{RE}}}&+&f_{_{\text{RO}}}&+&i\ f_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ f_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}&{\widehat {f}}&=&{\widehat {f}}\!_{_{\text{RE}}}&+&\overbrace {i\ {\widehat {f}}\!_{_{\text{IO}}}} &+&i\ {\widehat {f}}\!_{_{\text{IE}}}&+&{\widehat {f}}\!_{_{\text{RO}}}\end{array}}

De esto se desprenden diversas relaciones, por ejemplo:

La transformación de una función de valor real ( ⁠ $f_{_{\text{RE}}}+f_{_{\text{RO}}}$ ) es lafunción simétrica conjugada ${\widehat {f}}\!_{_{\text{RE}}}+i\ {\widehat {f}}\!_{_{\text{IO}}}$ Por el contrario, una transformación simétrica conjugada implica un dominio temporal de valores reales.
La transformada de una función de valor imaginario ( ⁠ $i\ f_{_{\text{IE}}}+i\ f_{_{\text{IO}}}$ ) es lafunción antisimétrica conjugada ${\widehat {f}}\!_{_{\text{RO}}}+i\ {\widehat {f}}\!_{_{\text{IE}}}$ ⁠ , y lo contrario también es cierto.
La transformada de una función simétrica conjugada $(f_{_{\text{RE}}}+i\ f_{_{\text{IO}}})$ es la función de valor real ${\widehat {f}}\!_{_{\text{RE}}}+{\widehat {f}}\!_{_{\text{RO}}}$ ⁠ , y lo contrario también es cierto.
La transformada de una función antisimétrica conjugada $(f_{_{\text{RO}}}+i\ f_{_{\text{IE}}})$ es la función de valor imaginario $i\ {\widehat {f}}\!_{_{\text{IE}}}+i\ {\widehat {f}}\!_{_{\text{IO}}}$ ⁠ , y lo contrario también es cierto.

Conjugación

${\bigl (}f(x){\bigr )}^{*}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ \left({\widehat {f}}(-\xi )\right)^{*}$ (Nota: el ⁠ $*$ (⁠ denota conjugación compleja .)

En particular, si $f$ es real , entonces ${\widehat {f}}$ es simétrica conjugada ( también conocida como función hermitiana ): ${\widehat {f}}(-\xi )={\bigl (}{\widehat {f}}(\xi ){\bigr )}^{*}.$

Si $f$ es puramente imaginario, entonces ${\widehat {f}}$ es impar simétrico : ${\widehat {f}}(-\xi )=-({\widehat {f}}(\xi ))^{*}.$

Partes reales e imaginarias

$\operatorname {Re} \{f(x)\}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\tfrac {1}{2}}\left({\widehat {f}}(\xi )+{\bigl (}{\widehat {f}}(-\xi ){\bigr )}^{*}\right)$ $\operatorname {Im} \{f(x)\}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\tfrac {1}{2i}}\left({\widehat {f}}(\xi )-{\bigl (}{\widehat {f}}(-\xi ){\bigr )}^{*}\right)$

componente de frecuencia cero

Sustituyendo $\xi =0$ En la definición, obtenemos: ${\widehat {f}}(0)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx.$

La integral de $f$ En su dominio se encuentra la masa total o el sesgo de CC de la función.

Continuidad uniforme y el lema de Riemann-Lebesgue

En algunos casos, la transformada de Fourier puede definirse para funciones no integrables, pero las transformadas de Fourier de funciones integrables poseen varias propiedades importantes.

La transformada de Fourier ${\widehat {f}}$ de cualquier función integrable $f$ es uniformemente continua y ^{[ 17 ]}^{[ 18 ]} $\left\|{\widehat {f}}\right\|_{\infty }\leq \left\|f\right\|_{1}$

Por el lema de Riemann-Lebesgue , ^{[ 19 ]} ${\widehat {f}}(\xi )\to 0{\text{ as }}|\xi |\to \infty .$

Sin embargo, ${\widehat {f}}$ no tiene por qué ser integrable. Por ejemplo, la transformada de Fourier de la función rectangular , que es integrable, es la función sinc , que no es integrable de Lebesgue , porque sus integrales impropias se comportan de forma análoga a la serie armónica alternada , al converger a una suma sin ser absolutamente convergentes .

Generalmente no es posible escribir la transformada inversa como una integral de Lebesgue . Sin embargo, cuando ambas $f$ y ${\widehat {f}}$ son integrables, la igualdad inversa $f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )e^{i2\pi x\xi }\,d\xi$ se cumple para casi todos los $x$ . Como resultado, la transformada de Fourier es inyectiva en $L 1 (R)$ .

Teorema de Plancherel y teorema de Parseval

Dejemos $f(x)$ y $g(x)$ ⁠ sea integrable, y sea ⁠ ${\widehat {f}}$ y ${\widehat {g}}$ sean sus transformadas de Fourier. Si $f(x)$ y $g(x)$ ⁠ también son integrables al cuadrado , entonces se cumple la fórmula de Parseval:^{[ 20 ]} $\langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi ){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}\,d\xi ,$ donde la barra denota conjugación compleja .

El teorema de Plancherel , que se deduce de lo anterior, establece que ^{[ 21 ]} $\|f\|_{L^{2}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\widehat {f}}(\xi )\right|^{2}\,d\xi .$

El teorema de Plancherel permite extender la transformada de Fourier, mediante un argumento de continuidad, a un operador unitario en ⁠ $L^{2}(\mathbb {R} )$ ⁠ . En ⁠ $L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} )$ ⁠ , esta extensión coincide con la transformada de Fourier original definida en ⁠ $L^{1}(\mathbb {R} )$ ⁠ , ampliando así el dominio de la transformada de Fourier a ⁠ $L^{1}(\mathbb {R} )+L^{2}(\mathbb {R} )$ ( y, en consecuencia , a $L^{p}(\mathbb {R} )$ para $1\leq p\leq 2$ El teorema de Plancherel se interpreta en las ciencias como que la transformada de Fourier conserva la energía de la magnitud original. La terminología de estas fórmulas no está del todo estandarizada. El teorema de Parseval se demostró únicamente para series de Fourier y fue demostrado por primera vez por Lyapunov. Sin embargo, la fórmula de Parseval también tiene sentido para la transformada de Fourier, por lo que, aunque en el contexto de esta última fue demostrada por Plancherel, a menudo se la denomina fórmula de Parseval, relación de Parseval o incluso teorema de Parseval.

Consulte la dualidad de Pontryagin para obtener una formulación general de este concepto en el contexto de grupos abelianos localmente compactos.

Teorema de convolución

La transformada de Fourier realiza una conversión entre convolución y multiplicación de funciones. Si $f(x)$ y $g(x)$ Son funciones integrables mediante transformadas de Fourier . ${\widehat {f}}$ y ${\widehat {g}}(\xi )$ ⁠ respectivamente, entonces la transformada de Fourier de la convolución viene dada por el producto de las transformadas de Fourier ⁠ ${\widehat {f}}$ y ${\widehat {g}}$ ( Según otras convenciones para la definición de la transformada de Fourier, puede aparecer un factor constante).

Esto significa que si: $h(x)=(f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy,$ donde $*$ denota la operación de convolución, entonces: ${\widehat {h}}(\xi )={\widehat {f}}(\xi )\,{\widehat {g}}(\xi ).$

En la teoría de sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI) , es común interpretar ⁠ $g(x)$ como respuesta impulsional deun sistema LTI con entrada $f(x)$ y salida $h(x)$ ⁠ , ya que sustituyendo el impulso unitario por ⁠ $f(x)$ ⁠ produce ⁠ $h(x)=g(x)$ ⁠ . En este caso, ⁠ ${\widehat {g}}(\xi )$ ⁠ representa la respuesta en frecuencia del sistema.

Por el contrario, si $f(x)$ Se puede descomponer como el producto de dos funciones de cuadrado integrable . $p(x)$ y $q(x)$ ⁠ , entonces la transformada de Fourier de ⁠ $f(x)$ Se obtiene mediante la convolución de las transformadas de Fourier correspondientes . ${\widehat {p}}(\xi )$ y ${\widehat {q}}(\xi )$ .

Teorema de correlación cruzada

De manera análoga, se puede demostrar que si $h(x)$ ⁠ es la correlación cruzada de ⁠ $f(x)$ y $g(x)$ : $h(x)=(f\star g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}g(x+y)\,dy$ luego la transformada de Fourier de ⁠ $h(x)$ es : ${\widehat {h}}(\xi )={\overline {{\widehat {f}}(\xi )}}\,{\widehat {g}}(\xi ).$

Como caso especial, la autocorrelación de la función ⁠ $f(x)$ es : $h(x)=(f\star f)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}f(x+y)\,dy$ para qué ${\widehat {h}}(\xi )={\overline {{\widehat {f}}(\xi )}}{\widehat {f}}(\xi )=\left|{\widehat {f}}(\xi )\right|^{2}.$

Diferenciación

Supongamos que $f (x)$ es diferenciable casi en todas partes , y que ambos ⁠ $f$ y su derivado $f'$ son integrables ( en $L^{1}(\mathbb {R} )$ ) . Entonces, la transformada de Fourier de la derivada viene dada por ${\widehat {f'}}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d}{dx}}f(x)\right\}=i2\pi \xi {\widehat {f}}(\xi ).$ De forma más general, la transformada de Fourier de la $n$ ⁠ derivada ⁠ $f^{(n)}$ ⁠ se da por ${\widehat {f^{(n)}}}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)\right\}=(i2\pi \xi )^{n}{\widehat {f}}(\xi ).$

Análogamente , ${\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\frac {d^{n}}{d\xi ^{n}}}{\widehat {f}}(\xi )\right\}=(-i2\pi x)^{n}f(x)$ ⁠ , entonces ⁠ ${\mathcal {F}}\left\{x^{n}f(x)\right\}=\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}}{d\xi ^{n}}}{\widehat {f}}(\xi )$ .

Aplicando la transformada de Fourier y utilizando estas fórmulas, algunas ecuaciones diferenciales ordinarias pueden transformarse en ecuaciones algebraicas, que son mucho más fáciles de resolver. Estas fórmulas también dan lugar a la regla empírica " $f(x)$ es suave si y solo si ${\widehat {f}}(\xi )$ cae rápidamente a $0$ para $\vert \xi \vert \to \infty$ ⁠ ". Utilizando las reglas análogas para la transformada inversa de Fourier, también se puede decir " ⁠ $f(x)$ cae rápidamente a $0$ para $\vert x\vert \to \infty$ ⁠ si y solo si ⁠ ${\widehat {f}}(\xi )$ es suave."

Funciones propias

La transformada de Fourier es una transformada lineal que tiene funciones propias que obedecen a ${\mathcal {F}}[\psi ]=\lambda \psi$ , con $\lambda \in \mathbb {C}$ .

Se encuentra un conjunto de autofunciones al observar que la ecuación diferencial homogénea $\left[U\left({\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)+U(x)\right]\psi (x)=0$ conduce a autofunciones $\psi (x)$ de la transformada de Fourier ${\mathcal {F}}$ siempre que la forma de la ecuación permanezca invariante bajo la transformada de Fourier. ^{[ nota 6 ]} En otras palabras, cada solución $\psi (x)$ y su transformada de Fourier ${\widehat {\psi }}(\xi )$ obedecen la misma ecuación. Suponiendo la unicidad de las soluciones, cada solución $\psi (x)$ Por lo tanto, debe ser una autofunción de la transformada de Fourier. La forma de la ecuación permanece inalterada bajo la transformada de Fourier si $U(x)$ se puede expandir en una serie de potencias en la que para todos los términos el mismo factor de cualquiera de los dos $\pm 1$ , $\pm i$ surge de los factores $i^{n}$ introducido por las reglas de diferenciación al transformar de Fourier la ecuación diferencial homogénea porque este factor puede cancelarse. El más simple permitido $U(x)=x$ conduce a la distribución normal estándar . ^{[ 22 ]}

De forma más general, también se encuentra un conjunto de autofunciones al observar que las reglas de diferenciación implican que la ecuación diferencial ordinaria $\left[W\left({\frac {i}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)+W(x)\right]\psi (x)=C\psi (x)$ con $C$ constante y $W(x)$ Al ser una función par no constante, permanece invariante en su forma al aplicar la transformada de Fourier. ${\mathcal {F}}$ a ambos lados de la ecuación. El ejemplo más sencillo lo proporciona ⁠ $W(x)=x^{2}$ ⁠ , lo cual es equivalente a considerar la ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico cuántico .^{[ 23 ]} Las soluciones correspondientes proporcionan una elección importante de una base ortonormal para $L 2 (R)$ y están dadas por las funciones de Hermite del "físico" . De manera equivalente, se puede usar $\psi _{n}(x)={\frac {\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {n!}}}e^{-\pi x^{2}}\mathrm {He} _{n}\left(2x{\sqrt {\pi }}\right),$ donde $\mathrm {He} _{n}(x)$ ⁠ son los polinomios de Hermite "probabilísticos", definidos como $\mathrm {He} _{n}(x)=(-1)^{n}e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.$

Bajo esta convención para la transformada de Fourier, tenemos que ${\widehat {\psi }}_{n}(\xi )=(-i)^{n}\psi _{n}(\xi ).$

En otras palabras, las funciones de Hermite forman un sistema ortonormal completo de autofunciones para la transformada de Fourier en ⁠ $L^{2}(\mathbb {R} )$ ⁠ .^{[ 15 ]}^{[ 24 ]} Sin embargo, esta elección de autofunciones no es única. Debido a ${\mathcal {F}}^{4}=\mathrm {id}$ Solo hay cuatro autovalores diferentes de la transformada de Fourier (las cuartas raíces de la unidad ). $\pm 1$ y $\pm i$ ⁠ ) y cualquier combinación lineal de autofunciones con el mismo autovalor da otra autofunción.^{[ 25 ]} Como consecuencia de esto, es posible descomponer $L 2 (R)$ como una suma directa de cuatro espacios $H 0$ , $H 1$ , $H 2$ , y $H 3$ donde la transformada de Fourier actúa sobre $H k$ simplemente mediante la multiplicación por $i k$ .

Dado que el conjunto completo de funciones de Hermite $ψ n$ proporciona una resolución de la identidad, diagonalizan el operador de Fourier, es decir, la transformada de Fourier puede representarse mediante una suma de términos ponderados por los autovalores anteriores, y estas sumas pueden sumarse explícitamente: ${\mathcal {F}}[f](\xi )=\int dxf(x)\sum _{n\geq 0}(-i)^{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(\xi )~.$

Este enfoque para definir la transformada de Fourier fue propuesto por primera vez por Norbert Wiener . ^{[ 26 ]} Entre otras propiedades, las funciones de Hermite disminuyen exponencialmente rápido tanto en el dominio de la frecuencia como en el del tiempo, y por lo tanto se utilizan para definir una generalización de la transformada de Fourier, a saber, la transformada fraccionaria de Fourier utilizada en el análisis tiempo-frecuencia. ^{[ 27 ]} En física , esta transformada fue introducida por Edward Condon . ^{[ 28 ]} Este cambio de base es posible porque la transformada de Fourier es una transformada unitaria cuando se utilizan las convenciones adecuadas . En consecuencia, bajo las condiciones apropiadas, se puede esperar que resulte de un generador autoadjunto. $N$ vía ^{[ 29 ]} ${\mathcal {F}}[\psi ]=e^{-itN}\psi .$

El operador $N$ es el operador de número del oscilador armónico cuántico escrito como ^{[ 30 ]}^{[ 31 ]} $N\equiv {\frac {1}{4\pi }}\left(2\pi x-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left(2\pi x+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)=-{\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+\pi x^{2}-{\frac {1}{2}}.$

Puede interpretarse como el generador de transformadas fraccionarias de Fourier para valores arbitrarios de $t$ , y de la transformada continua de Fourier convencional. ${\mathcal {F}}$ para el valor particular $t=\pi /2$ ⁠ , con el núcleo de Mehler implementando la transformación activa correspondiente . Las funciones propias de $N$ son las funciones de Hermite $\psi _{n}(x)$ ⁠ , que por lo tanto también son autofunciones de ⁠ ${\mathcal {F}}$ .

Al extender la transformada de Fourier a las distribuciones, el peine de Dirac también resulta ser una autofunción de la transformada de Fourier.

Inversión y periodicidad

En condiciones adecuadas sobre la función $f$ ⁠ , se puede recuperar a partir de su transformada de Fourier ⁠ ${\widehat {f}}$ ⁠ . En efecto, denotando el operador de transformada de Fourier por ⁠ ${\mathcal {F}}$ ⁠ , entonces ⁠ ${\mathcal {F}}f:={\widehat {f}}$ ⁠ , entonces, para funciones adecuadas, aplicar la transformada de Fourier dos veces simplemente invierte la función: ⁠ $\left({\mathcal {F}}^{2}f\right)(x)=f(-x)$ ⁠ , lo que puede interpretarse como "invertir el tiempo". Dado que invertir el tiempo es biperiódico, al aplicarlo dos veces se obtiene ⁠ ${\mathcal {F}}^{4}(f)=f$ ⁠ , por lo que el operador de transformada de Fourier es cuatriperiódico, y de manera similar la transformada inversa de Fourier se puede obtener aplicando la transformada de Fourier tres veces: ⁠ ${\mathcal {F}}^{3}\left({\widehat {f}}\right)=f$ ⁠ . En particular, la transformada de Fourier es invertible (bajo condiciones adecuadas).

Más precisamente, definiendo el operador de paridad ${\mathcal {P}}$ de tal manera que $({\mathcal {P}}f)(x)=f(-x)$ , tenemos: ${\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{0}&=\mathrm {id} ,\\{\mathcal {F}}^{1}&={\mathcal {F}},\\{\mathcal {F}}^{2}&={\mathcal {P}},\\{\mathcal {F}}^{3}&={\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {P}}\circ {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}\circ {\mathcal {P}},\\{\mathcal {F}}^{4}&=\mathrm {id} \end{aligned}}$ Estas igualdades de operadores requieren una definición precisa del espacio de funciones en cuestión, definiendo la igualdad de funciones (¿igualdad en cada punto? ¿igualdad casi en todas partes ?) y la igualdad de operadores; es decir, definiendo la topología del espacio de funciones y del espacio de operadores en cuestión. Esto no se cumple para todas las funciones, pero sí bajo diversas condiciones, que constituyen el contenido de las distintas formulaciones del teorema de inversión de Fourier .

Esta periodicidad cuádruple de la transformada de Fourier es similar a una rotación del plano en 90°, particularmente porque la iteración doble produce una inversión, y de hecho esta analogía se puede precisar. Si bien la transformada de Fourier se puede interpretar simplemente como un intercambio del dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia, con la transformada inversa de Fourier intercambiándolos de nuevo, geométricamente se puede interpretar como una rotación de 90° en el dominio tiempo-frecuencia (considerando el tiempo como el ⁠ $x$ ⁠ eje y frecuencia como el ⁠ $y$ ⁠ -eje), y la transformada de Fourier puede generalizarse a la transformada fraccionaria de Fourier , que implica rotaciones por otros ángulos. Esto puede generalizarse aún más a transformaciones canónicas lineales , que pueden visualizarse como la acción del grupo lineal especial $SL 2 (R)$ en el plano tiempo-frecuencia, con la forma simpléctica preservada correspondiente al principio de incertidumbre , más abajo. Este enfoque se estudia particularmente en el procesamiento de señales , bajo el análisis tiempo-frecuencia .

Conexión con el grupo Heisenberg

El grupo de Heisenberg es un cierto grupo de operadores unitarios en el espacio de Hilbert $L 2 (R)$ de funciones complejas de cuadrado integrable $f$ en la recta real, generado por las traslaciones $(T y f)(x) = f (x + y)$ y la multiplicación por $e i 2π ξx$ , $(M ξ f)(x) = e i 2π ξx f (x)$ . Estos operadores no conmutan, ya que su conmutador (de grupo) es $\left(M_{\xi }^{-1}T_{y}^{-1}M_{\xi }T_{y}f\right)(x)=e^{i2\pi \xi y}f(x),$ que es la multiplicación por la constante (independiente de $x$ ) $e i 2π ξy \in U (1)$ (el grupo circular de números complejos de módulo unitario). Como grupo abstracto, el grupo de Heisenberg es el grupo de Lie tridimensional de ternas $(x, ξ, z) \in R 2 \times U (1)$ , con la ley de grupo $\left(x_{1},\xi _{1},t_{1}\right)\cdot \left(x_{2},\xi _{2},t_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2},\xi _{1}+\xi _{2},t_{1}t_{2}e^{-2i\pi x_{1}\xi _{2}}\right).$

Denotemos el grupo de Heisenberg por $H 1$ . El procedimiento anterior describe no solo la estructura del grupo, sino también una representación unitaria estándar de $H 1$ en un espacio de Hilbert, que denotamos por $ρ : H 1 \to B (L 2 (R))$ . Definamos el automorfismo lineal de $R 2$ por $J{\begin{pmatrix}x\\\xi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\xi \\x\end{pmatrix}}$ de modo que $J 2 = - I$ . Este $J$ puede extenderse a un automorfismo único de $H 1$ : $j\left(x,\xi ,t\right)=\left(-\xi ,x,te^{-i2\pi \xi x}\right).$

Según el teorema de Stone-von Neumann , las representaciones unitarias $ρ$ y $ρ \circ j$ son unitariamente equivalentes, por lo que existe un único entrelazador $W \in U (L 2 (R))$ tal que $\rho \circ j=W\rho W^{*}.$ Este operador $W$ es la transformada de Fourier.

Muchas de las propiedades estándar de la transformada de Fourier son consecuencias inmediatas de este marco más general. ^{[ 32 ]} Por ejemplo, el cuadrado de la transformada de Fourier, $W 2$ , es un entrelazador asociado con $J 2 = - I$ , y por lo tanto tenemos $(W 2 f)(x) = f (- x)$ es la reflexión de la función original $f$ .

Dominio complejo

La integral para la transformada de Fourier ${\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2i\pi t\xi }f(t)\,dt$ puede estudiarse para valores complejos de su argumento $ξ$ . Dependiendo de las propiedades de $f$ , esto podría no converger en absoluto fuera del eje real, o podría converger a una función analítica compleja para todos los valores de $ξ$ $=$ $σ$ $+$ $iτ$ , o algo intermedio. ^[³³^]

El teorema de Paley-Wiener dice que $f$ es suave (es decir, $n$ veces diferenciable para todos los enteros positivos $n$ ) y tiene soporte compacto si y solo si $f̂ (σ + iτ)$ es una función holomorfa para la cual existe una constante $a > 0$ tal que para cualquier entero $n \geq 0$ , $\left\vert \xi ^{n}{\widehat {f}}(\xi )\right\vert \leq C_{n}e^{2\pi a\vert \tau \vert }$ para alguna constante $C_n$ . (En este caso, $f$ tiene soporte en $[- a, a]$ .) Esto se puede expresar diciendo que $f̂$ es una función entera que disminuye rápidamente en $σ$ (para $τ$ fijo ) y crece exponencialmente en $τ$ (uniformemente en $σ$ ). ^{[ 34 ]}

(Si $f$ no es suave, sino solo $L²$ , se cumple una versión correspondiente reemplazando la condición de decrecimiento rápido por la condición $L²$ apropiada . ^{[ 35 ]} ) El espacio de tales funciones de una variable compleja se denomina espacio $de$ Paley-Wiener. Este teorema se ha generalizado a grupos de Lie $semisimples$ . ^{[ 36 ]}

Si $f$ tiene soporte en la semirrecta $t \geq 0$ , entonces se dice que $f es "causal" porque la$ función de respuesta impulsional de un filtro físicamente realizable debe tener esta propiedad, ya que ningún efecto puede preceder a su causa. Paley y Wiener demostraron que, entonces, bajo hipótesis de integrabilidad adecuadas, $f̂$ se extiende a una función holomorfa en el semiplano inferior complejo $τ < 0$ que tiende a cero cuando $τ$ tiende a $-\infty$ . ^{[ 37 ]} Una recíproca simple de esta forma es falsa; las recíprocas precisas requieren hipótesis adicionales de crecimiento o de espacio de Hardy. ^{[ 38 ]}

Transformación de Laplace

La transformada de Fourier $f̂ (ξ)$ está relacionada con la transformada de Laplace $F (s)$ , que también se utiliza para la solución de ecuaciones diferenciales y el análisis de filtros .

Puede ocurrir que una función $f$ para la cual la integral de Fourier no converge en absoluto en el eje real tenga, sin embargo, una transformada de Fourier compleja definida en alguna región del plano complejo .

Por ejemplo, si $f$ es causal y de crecimiento exponencial, es decir, $f(t)=0\quad (t<0),\qquad \vert f(t)\vert <Ce^{at}\quad (t\geq 0)$ para algunas constantes $C, a \geq 0$ , entonces ^{[ 39 ]} ${\widehat {f}}(i\tau )=\int _{0}^{\infty }e^{2\pi \tau t}f(t)\,dt,$ convergente para todo $2π τ < - a$ , es una transformada de Laplace unilateral de $f$ .

La versión unilateral habitual de la transformada de Laplace es $F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.$

Si $f$ es causal y las integrales convergen, entonces ${\widehat {f}}(i\tau )=F(-2\pi \tau )$ ⁠ . Por lo tanto, extender la transformada de Fourier al dominio complejo significa que incluye la transformada de Laplace como un caso especial en el caso de funciones causales, pero con el cambio de variable $s = i 2π ξ$ .

Desde otra perspectiva, quizás más clásica, la transformada de Laplace, por su forma, incluye un término regulador exponencial adicional que le permite converger fuera de la línea imaginaria donde se define la transformada de Fourier. De este modo, puede converger para funciones e integrales con un crecimiento exponencial máximo en la dirección regulada, mientras que la descomposición de Fourier original no puede, lo que permite analizar sistemas con elementos divergentes o críticos. Dos ejemplos concretos del procesamiento lineal de señales son la construcción de redes de filtros paso todo a partir de peines críticos y filtros de mitigación mediante la cancelación exacta de polos y ceros en el círculo unitario. Estos diseños son comunes en el procesamiento de audio, donde se busca una respuesta de fase altamente no lineal, como en la reverberación.

Además, cuando se buscan respuestas de impulso extendidas tipo pulso para el procesamiento de señales, la forma más sencilla de producirlas es mediante un circuito que genere una respuesta temporal divergente y, posteriormente, cancelar dicha divergencia con una respuesta compensatoria y retardada. En este caso, solo el circuito de retardo intermedio admite una descripción de Fourier clásica, lo cual es fundamental. Ambos circuitos adyacentes son inestables y no admiten una descomposición de Fourier convergente. Sin embargo, sí admiten una descripción en el dominio de Laplace, con semiplanos de convergencia compatibles en el plano complejo (o, en el caso discreto, en el plano Z), donde sus efectos se cancelan.

En matemáticas modernas, la transformada de Laplace se incluye convencionalmente dentro de los métodos de Fourier. Ambos, a su vez, se engloban dentro del concepto mucho más general y abstracto de análisis armónico .

Inversión

Todavía con $\xi =\sigma +i\tau$ , si ${\widehat {f}}$ es analítica compleja para $a \leq τ \leq b$ y tiene suficiente decaimiento en franjas horizontales, entonces $\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\sigma +ia)e^{i2\pi (\sigma +ia)t}\,d\sigma =\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\sigma +ib)e^{i2\pi (\sigma +ib)t}\,d\sigma$ por el teorema integral de Cauchy . Por lo tanto, la fórmula de inversión de Fourier puede utilizar la integración a lo largo de diferentes líneas, paralelas al eje real. ^{[ 40 ]}

Teorema: Si $f (t) = 0$ para $t < 0$ , y $| f (t) | < Ce at$ para algunas constantes $C, a > 0$ y $t \geq 0$ , entonces $f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\sigma +i\tau )e^{i2\pi (\sigma +i\tau )t}\,d\sigma ,$ para cualquier $τ < - ⁠ a / 2π ⁠$ , bajo las hipótesis habituales para la inversión de Fourier.

Este teorema implica la fórmula de inversión de Mellin para la transformada de Laplace, ^{[ 39 ]} $f(t)={\frac {1}{i2\pi }}\int _{b-i\infty }^{b+i\infty }F(s)e^{st}\,ds$ para cualquier $b > a$ , donde $F (s)$ es la transformada de Laplace de $f (t)$ .

Las hipótesis pueden debilitarse, como en los resultados estándar de inversión de Fourier, a $f (t) e - at$ siendo $L 1$ , siempre que $f$ tenga variación acotada en un entorno cerrado de $t$ (cf. prueba de Dini ), el valor de $f$ en $t$ se tome como la media aritmética de los límites izquierdo y derecho, y que las integrales se tomen en el sentido de los valores principales de Cauchy. ^{[ 41 ]}

También están disponibles versiones $L2 de estas fórmulas$ $de inversión.$ ^{[ 42 ]}

Transformada de Fourier en el espacio euclidiano

La transformada de Fourier se puede definir en cualquier número arbitrario de dimensiones $n$ . Al igual que en el caso unidimensional, existen muchas convenciones. Para una función integrable $f (x)$ , este artículo adopta la siguiente definición: ${\widehat {f}}({\boldsymbol {\xi }})={\mathcal {F}}(f)({\boldsymbol {\xi }})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-i2\pi {\boldsymbol {\xi }}\cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x}$ donde $x$ y $ξ$ son vectores $n-$ dimensionales , y $x$ $\cdot$ $ξ$ es el producto escalar de los vectores. Alternativamente, $ξ$ puede considerarse como perteneciente al espacio vectorial dual . $\mathbb {R} ^{n\star }$ ⁠ , en cuyo caso el producto escalar se convierte en la contracción de $x$ y $ξ$ , que normalmente se escribe como $⟨ x, ξ ⟩$ .

Todas las propiedades básicas enumeradas anteriormente se cumplen para la transformada de Fourier $n$ -dimensional, al igual que los teoremas de Plancherel y Parseval. Cuando la función es integrable, la transformada de Fourier sigue siendo uniformemente continua y se cumple el lema de Riemann-Lebesgue . ^{[ 19 ]}

Principio de incertidumbre

En términos generales, cuanto más concentrada esté $f (x)$ , más extendida deberá estar su transformada de Fourier $f̂ (ξ)$ . En particular, la propiedad de escala de la transformada de Fourier puede interpretarse como que, si comprimimos una función en $x$ , su transformada de Fourier se extiende en $ξ$ . No es posible concentrar arbitrariamente tanto una función como su transformada de Fourier.

La compensación entre la compactación de una función y su transformada de Fourier se puede formalizar en forma de un principio de incertidumbre al considerar una función y su transformada de Fourier como variables conjugadas con respecto a la forma simpléctica en el dominio tiempo-frecuencia : desde el punto de vista de la transformación canónica lineal , la transformada de Fourier es una rotación de 90° en el dominio tiempo-frecuencia y conserva la forma simpléctica.

Supongamos que $f (x)$ es una función integrable y de cuadrado integrable . Sin pérdida de generalidad , supongamos que $f (x)$ está normalizada: $\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=1.$

Del teorema de Plancherel se deduce que $f̂ (ξ)$ también está normalizada.

La dispersión alrededor de $x = 0$ puede medirse mediante la dispersión alrededor de cero definida por ^{[ 43 ].} $D_{0}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx.$

En términos de probabilidad, este es el segundo momento de $| f (x) | 2$ alrededor de cero.

El principio de incertidumbre establece que, si $f (x)$ es absolutamente continua y las funciones $x \cdot f (x)$ y $f' (x)$ son de cuadrado integrable, entonces $D_{0}(f)D_{0}({\widehat {f}})\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}}.$

La igualdad se alcanza solo en el caso ${\begin{aligned}f(x)&=C_{1}\,e^{-\pi {\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}}\\\therefore {\widehat {f}}(\xi )&=\sigma C_{1}\,e^{-\pi \sigma ^{2}\xi ^{2}}\end{aligned}}$ donde $σ > 0$ es arbitrario y $C 1 = ⁠ 4 \sqrt 2 / \sqrt σ ⁠$ de modo que $f$ está normalizada en $L 2.$ $En otras palabras, donde f es una$ función gaussiana (normalizada) con varianza $σ 2 /2 π$ , centrada en cero, y su transformada de Fourier es una función gaussiana con varianza $σ -2 /2 π$ . Las funciones gaussianas son ejemplos de funciones de Schwartz (véase la discusión sobre distribuciones atenuadas más adelante).

De hecho, esta desigualdad implica que: $\left(\int _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0})^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }(\xi -\xi _{0})^{2}\left|{\widehat {f}}(\xi )\right|^{2}\,d\xi \right)\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}},\quad \forall x_{0},\xi _{0}\in \mathbb {R} .$ En mecánica cuántica , las funciones de onda de momento y posición son pares de transformadas de Fourier, salvo por un factor igual a la constante de Planck . Teniendo en cuenta esta constante, la desigualdad anterior se convierte en el enunciado del principio de incertidumbre de Heisenberg . ^[⁴⁴^]

Un principio de incertidumbre más estricto es el principio de incertidumbre de Hirschman , que se expresa de la siguiente manera: $H\left(\left|f\right|^{2}\right)+H\left(\left|{\widehat {f}}\right|^{2}\right)\geq \log \left({\frac {e}{2}}\right)$ donde $H (p)$ es la entropía diferencial de la función de densidad de probabilidad $p (x)$ : $H(p)=-\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\log {\bigl (}p(x){\bigr )}\,dx$ donde los logaritmos pueden estar en cualquier base consistente. La igualdad se alcanza para una distribución gaussiana, como en el caso anterior.

Transformadas de seno y coseno

La formulación original de Fourier de la transformada no utilizaba números complejos, sino senos y cosenos. Los estadísticos y otros todavía utilizan esta forma. Una función absolutamente integrable $f$ para la cual se cumple la inversión de Fourier puede expandirse en términos de frecuencias genuinas (evitando las frecuencias negativas, que a veces se consideran difíciles de interpretar físicamente ^{[ 45 ]} ) $λ$ mediante $f(t)=\int _{0}^{\infty }{\bigl (}a(\lambda )\cos(2\pi \lambda t)+b(\lambda )\sin(2\pi \lambda t){\bigr )}\,d\lambda .$

Esto se denomina expansión como integral trigonométrica o expansión integral de Fourier. Las funciones de coeficientes $a$ y $b$ se pueden encontrar utilizando variantes de la transformada coseno de Fourier y la transformada seno de Fourier (las normalizaciones, de nuevo, no están estandarizadas): $a(\lambda )=2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \lambda t)\,dt$ y $b(\lambda )=2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \lambda t)\,dt.$

La literatura más antigua hace referencia a las dos funciones de transformación, la transformada coseno de Fourier, $a$ , y la transformada seno de Fourier, $b$ .

La función $f$ se puede recuperar a partir de la transformada de seno y coseno utilizando $f(t)=2\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cos {\bigl (}2\pi \lambda (\tau -t){\bigr )}\,d\tau \,d\lambda .$ junto con identidades trigonométricas. Esto se conoce como la fórmula integral de Fourier. ^{[ 39 ]}^{[ 46 ]}^{[ 47 ]}^{[ 48 ]}

Armónicos esféricos

Sea $A$ $k$ el conjunto de polinomios armónicos homogéneos de grado $k$ en $R$ $n$ . El conjunto $A$ $k$ consta de los armónicos esféricos sólidos de grado $k$ . Los armónicos esféricos sólidos desempeñan un papel similar en dimensiones superiores al de los polinomios de Hermite en la dimensión uno. Específicamente, si $f$ $($ $x$ $) =$ $e$ $-π$ $|$ $x$ $|$ $2$ $P$ $($ $x$ $)$ para algún $P$ $($ $x$ $)$ en $A$ $k$ , entonces ${\widehat {f}}(\xi )=i^{-k}f(\xi )$ Sea el conjunto $H k$ la clausura en $L 2 (R n)$ de combinaciones lineales de funciones de la forma $f (| x |) P (x)$ donde $P (x)$ está en $A k$ . El espacio $L 2 (R n)$ es entonces una suma directa de los espacios $H k$ y la transformada de Fourier mapea cada espacio $H k$ sobre sí mismo y es posible caracterizar la acción de la transformada de Fourier sobre cada espacio $H k$ .^{[ 19 ]}

Sea $f (x) = f 0 (| x |) P (x)$ (con $P (x)$ en $A k$ ), entonces ${\widehat {f}}(\xi )=F_{0}(|\xi |)P(\xi )$ dónde $F_{0}(r)=2\pi i^{-k}r^{-{\frac {n+2k-2}{2}}}\int _{0}^{\infty }f_{0}(s)J_{\frac {n+2k-2}{2}}(2\pi rs)s^{\frac {n+2k}{2}}\,ds.$

Aquí $J (n + 2 k - 2)/2$ denota la función de Bessel de primera especie con orden $⁠$ $n$ $+ 2$ $k$ $- 2$ $/$ $2$ $⁠$ . Cuando $k$ $= 0,$ esto da una fórmula útil para la transformada de Fourier de una función radial. ^[⁴⁹^] Esta es esencialmente la transformada de Hankel . Además, hay una recursión simple que relaciona los casos $n$ $+ 2$ y $n$ ^[⁵⁰^] que permite calcular, por ejemplo, la transformada de Fourier tridimensional de una función radial a partir de la unidimensional.

Problemas de restricción

En dimensiones superiores, resulta interesante estudiar los problemas de restricción para la transformada de Fourier. La transformada de Fourier de una función integrable es continua y la restricción de esta función a cualquier conjunto está definida. Pero para una función de cuadrado integrable, la transformada de Fourier podría ser una clase general de funciones de cuadrado integrable. Como tal, la restricción de la transformada de Fourier de una función $L 2 (R n)$ no puede definirse en conjuntos de medida 0. Sigue siendo un área de estudio activa comprender los problemas de restricción en $L p$ para $1 < p < 2$ . En algunos casos, es posible definir la restricción de una transformada de Fourier a un conjunto $S$ , siempre que $S$ tenga curvatura no nula. El caso en que $S$ es la esfera unitaria en $R n$ es de particular interés. En este caso, el teorema de restricción de Tomas- Stein establece que la restricción de la transformada de Fourier a la esfera unitaria en $R n$ es un operador acotado en $L p$ siempre que $1 \leq p \leq ⁠ 2 n + 2 / n + 3 ⁠$ .

Una diferencia notable entre la transformada de Fourier en una dimensión y en dimensiones superiores se refiere al operador de suma parcial. Consideremos una colección creciente de conjuntos medibles $E R$ indexados por $R \in (0, \infty)$ : como bolas de radio $R$ centradas en el origen, o cubos de lado $2 R.$ Para una función integrable dada $f$ , consideremos la función $f R$ definida por: $f_{R}(x)=\int _{E_{R}}{\widehat {f}}(\xi )e^{i2\pi x\cdot \xi }\,d\xi ,\quad x\in \mathbb {R} ^{n}.$

Suppose in addition that $f \in L p (R n)$ . For $n = 1$ and $1 < p < \infty$ , if one takes $E R = (- R, R)$ , then $f R$ converges to $f$ in $L p$ as $R$ tends to infinity, by the boundedness of the Hilbert transform. Naively one may hope the same holds true for $n > 1$ . In the case that $E R$ is taken to be a cube with side length $R$ , then convergence still holds. Another natural candidate is the Euclidean ball $E R = {ξ : | ξ | < R}$ . In order for this partial sum operator to converge, it is necessary that the multiplier for the unit ball be bounded in $L p (R n)$ . For $n \geq 2$ it is a celebrated theorem of Charles Fefferman that the multiplier for the unit ball is never bounded unless $p = 2$ .^[51] In fact, when $p \neq 2$ , this shows that not only may $f R$ fail to converge to $f$ in $L p$ , but for some functions $f \in L p (R n)$ , $f R$ is not even an element of $L p$ .

Fourier transform on function spaces

The definition of the Fourier transform naturally extends from $L^{1}(\mathbb {R} )$ to ⁠ $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ ⁠. That is, if $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ then the Fourier transform ${\mathcal {F}}:L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ is given by $f(x)\mapsto {\widehat {f}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i2\pi \xi \cdot x}\,dx,\quad \forall \xi \in \mathbb {R} ^{n}.$ This operator is bounded as $\sup _{\xi \in \mathbb {R} ^{n}}\left\vert {\widehat {f}}(\xi )\right\vert \leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}\vert f(x)\vert \,dx,$ which shows that its operator norm is bounded by $1$ . The Riemann–Lebesgue lemma shows that if $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ then its Fourier transform actually belongs to the space of continuous functions that vanish at infinity, i.e., ⁠ ${\widehat {f}}\in C_{0}(\mathbb {R} ^{n})\subset L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ ⁠.^[52]^[53] Furthermore, the image of $L^{1}$ under ${\mathcal {F}}$ is a strict subset of ⁠ $C_{0}(\mathbb {R} ^{n})$ ⁠.^[54]

Similarly to the case of one variable, the Fourier transform can be defined on ⁠ $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ ⁠. The Fourier transform in $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ is no longer given by an ordinary Lebesgue integral, although it can be computed by an improper integral, i.e., ${\widehat {f}}(\xi )=\lim _{R\to \infty }\int _{|x|\leq R}f(x)e^{-i2\pi \xi \cdot x}\,dx$ where the limit is taken in the $L 2$ sense.^{[note 7]}^[55]

Furthermore, ${\mathcal {F}}:L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ is a unitary operator.^[56] For an operator to be unitary it is sufficient to show that it is bijective and preserves the inner product. The Fourier inversion theorem implies that the transform is bijective. Also, for any $f, g \in L 2 (R n)$ we have $\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\mathcal {F}}g(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {F}}f(x)g(x)\,dx.$ So ${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\overline {{\mathcal {F}}f(x)}}{\mathcal {F}}g(x)\,dx&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {F}}^{-1}{\overline {f(x)}}{\mathcal {F}}g(x)\,dx\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {F}}{\mathcal {F}}^{-1}{\overline {f(x)}}g(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\overline {f(x)}}g(x)\,dx\end{aligned}}$

So the transform preserves the inner product.

On other L^p

For ⁠ $1<p<2$ ⁠, the Fourier transform can be defined on $L^{p}(\mathbb {R} )$ by Riesz–Thorin interpolation, which amounts to decomposing such functions into a fat tail part $|f|\leq 1$ in $L 2$ plus a fat body part $|f|>1$ in $L 1$ . In each of these spaces, the Fourier transform of a function in $L p (R n)$ is in $L q (R n)$ , where $q = ⁠ p / p - 1 ⁠$ is the Hölder conjugate of $p$ (by the Hausdorff–Young inequality). However, except for $p = 2$ , the image is not easily characterized. Further extensions become more technical. The Fourier transform of functions in $L p$ for the range $2 < p < \infty$ requires the study of distributions.^[57] In fact, it can be shown that there are functions in $L p$ with $p > 2$ so that the Fourier transform is not defined as a function.^[19]

Tempered distributions

One might consider enlarging the domain of the Fourier transform from $L^{1}+L^{2}$ by considering generalized functions, or distributions. A distribution on $\mathbb {R} ^{n}$ is a continuous linear functional on the space $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ of compactly supported smooth functions (i.e. bump functions), equipped with a suitable topology. Since $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ is dense in ⁠ $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ ⁠ , el teorema de Plancherel permite extender la definición de la transformada de Fourier a funciones generales en $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ mediante argumentos de continuidad. La estrategia consiste entonces en considerar la acción de la transformada de Fourier sobre $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ y pasar a distribuciones por dualidad. El obstáculo para hacer esto es que la transformada de Fourier no mapea $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ a $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ ⁠ . De hecho, la transformada de Fourier de un elemento en $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ no puede desvanecerse en un conjunto abierto; véase la discusión anterior sobre el principio de incertidumbre. ^{[ 58 ]}^{[ 59 ]}

La transformada de Fourier también puede definirse para distribuciones temperadas . ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$ , dual al espacio de funciones de Schwartz ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ ⁠ . Una función de Schwartz es una función suave que decae en el infinito, junto con todas sus derivadas, por lo tanto $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\subset {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ y: ${\mathcal {F}}:C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\rightarrow {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\setminus C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).$ La transformada de Fourier es un automorfismo del espacio de Schwartz y, por dualidad, también un automorfismo del espacio de distribuciones temperadas. ^{[ 19 ]}^{[ 60 ]} Las distribuciones temperadas incluyen funciones bien comportadas de crecimiento polinomial, distribuciones de soporte compacto, así como todas las funciones integrables mencionadas anteriormente.

Para la definición de la transformada de Fourier de una distribución temperada, sea $f$ y $g$ sean funciones integrables, y dejemos que ${\widehat {f}}$ y ${\widehat {g}}$ sean sus transformadas de Fourier respectivamente. Entonces la transformada de Fourier obedece la siguiente fórmula de multiplicación, ^{[ 19 ]} $\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\widehat {f}}(x)g(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\widehat {g}}(x)\,dx.$

Cada función integrable $f$ define (induce) una distribución $T_{f}$ por la relación $T_{f}(\varphi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\varphi (x)\,dx,\quad \forall \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).$ Por lo tanto, tiene sentido definir la transformada de Fourier de una distribución temperada. $T_{f}\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ por la dualidad: $\langle {\widehat {T}}_{f},\varphi \rangle =\langle T_{f},{\widehat {\varphi }}\rangle ,\quad \forall \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).$ Extendiendo esto a todas las distribuciones templadas. $T$ Proporciona la definición general de la transformada de Fourier.

Las distribuciones pueden diferenciarse y la compatibilidad mencionada anteriormente de la transformada de Fourier con la diferenciación y la convolución sigue siendo válida para las distribuciones temperadas.

Generalizaciones

Transformación de Fourier-Stieltjes en espacios medibles

La transformada de Fourier de una medida de Borel finita $μ$ en $R$ $n$ , dada por la función acotada y uniformemente continua: ^[⁶¹^]^[⁶²^] ${\widehat {\mu }}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i2\pi x\cdot \xi }\,d\mu ,$ se denomina transformada de Fourier-Stieltjes debido a su conexión con la representación integral de Riemann-Stieltjes de las medidas (de Radon) . ^{[ 63 ]} Si $\mu$ es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria $X$ then its Fourier–Stieltjes transform is, by definition, a characteristic function.^[64] If, in addition, the probability distribution has a probability density function, this definition is subject to the usual Fourier transform.^[65] Stated more generally, when $\mu$ is absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure, i.e., $d\mu =f(x)\,dx,$ then ${\widehat {\mu }}(\xi )={\widehat {f}}(\xi ),$ and the Fourier-Stieltjes transform reduces to the usual definition of the Fourier transform. That is, the notable difference with the Fourier transform of integrable functions is that the Fourier-Stieltjes transform need not vanish at infinity, i.e., the Riemann–Lebesgue lemma fails for measures.^[66]

Bochner's theorem characterizes which functions may arise as the Fourier–Stieltjes transform of a positive measure on the circle.

One example of a finite Borel measure that is not a function is the Dirac measure.^[67] Its Fourier transform is a constant function (whose value depends on the form of the Fourier transform used).

Locally compact abelian groups

The Fourier transform may be generalized to any locally compact abelian group, i.e., an abelian group that is also a locally compact Hausdorff space such that the group operation is continuous. If $G$ is a locally compact abelian group, it has a translation invariant measure $μ$ , called Haar measure. For a locally compact abelian group $G$ , the set of irreducible, i.e. one-dimensional, unitary representations are called its characters. With its natural group structure and the topology of uniform convergence on compact sets (that is, the topology induced by the compact-open topology on the space of all continuous functions from $G$ to the circle group), the set of characters $Ĝ$ is itself a locally compact abelian group, called the Pontryagin dual of $G$ . For a function $f$ in $L 1 (G)$ , its Fourier transform is defined by^[57] ${\widehat {f}}(\xi )=\int _{G}{\overline {\xi (x)}}f(x)\,d\mu \quad {\text{for any }}\xi \in {\widehat {G}}.$

The Riemann–Lebesgue lemma holds in this case; $f̂ (ξ)$ is a function vanishing at infinity on $Ĝ$ .

La transformada de Fourier en $T$ = R/Z es un ejemplo; aquí $T$ es un grupo abeliano localmente compacto, y la medida de Haar $μ$ en $T$ puede pensarse como la medida de Lebesgue en [0,1). Consideremos una representación de $T$ en el plano complejo $C,$ que se piensa como un espacio vectorial complejo unidimensional. Hay un grupo de tales representaciones (que son irreducibles ya que $C$ es unidimensional). $\{e_{k}:T\rightarrow GL_{1}(C)=C^{*}\mid k\in Z\}$ dónde $e_{k}(x)=e^{i2\pi kx}$ para $x\in T$ .

El carácter de tal representación, es decir, la huella de $e_{k}(x)$ (considerado como una matriz uno por uno) para cada $x\in T$ y $k\in Z$ ⁠ , es $e^{i2\pi kx}$ En sí mismo. Ahora bien, en el caso de representaciones de grupos finitos, la tabla de caracteres de un grupo $G$ consta de filas de vectores tales que cada fila es el carácter de una representación irreducible de $G$ , y estos vectores forman una base ortonormal del espacio de funciones de clase (es decir, invariantes bajo conjugación) que mapean de $G$ a $C$ según el lema de Schur. El grupo $T$ ya no es finito pero sigue siendo compacto, y conserva la ortonormalidad de la tabla de caracteres. Cada fila de la tabla es la función $e_{k}(x)$ de $x\in T$ ⁠ , y el producto interno entre dos funciones de clase (todas las funciones son funciones de clase ya que $T$ es abeliano) $f,g\in L^{2}(T,d\mu )$ se define como ${\textstyle \langle f,g\rangle ={\frac {1}{|T|}}\int _{[0,1)}f(y){\overline {g}}(y)d\mu (y)}$ con el factor de normalización $\vert T\vert =1$ ⁠ . La secuencia $\{e_{k}\mid k\in Z\}$ es una base ortonormal del espacio de funciones de clase ⁠ $L^{2}(T,d\mu )$ .

Para cualquier representación $V$ de un grupo finito $G$ , $\chi _{v}$ se puede expresar como el intervalo ${\textstyle \sum _{i}\left\langle \chi _{v},\chi _{v_{i}}\right\rangle \chi _{v_{i}}}$ ( $V_{i}$ son las representaciones irreducibles de $G$ ), tales que ⁠ $\textstyle \left\langle \chi _{v},\chi _{v_{i}}\right\rangle ={\frac {1}{\vert G\vert }}\sum _{g\in G}\chi _{v}(g){\overline {\chi }}_{v_{i}}(g)$ ⁠ . De manera similar para $G=T$ y $f\in L^{2}(T,d\mu )$ , $\textstyle f(x)=\sum _{k\in Z}{\widehat {f}}(k)e_{k}$ ⁠ . El duelo de Pontriagin ${\widehat {T}}$ es $\{e_{k}\}(k\in Z)$ y para $f\in L^{2}(T,d\mu )$ ⁠ , ${\textstyle {\widehat {f}}(k)={\frac {1}{|T|}}\int _{[0,1)}f(y)e^{-i2\pi ky}dy}$ es su transformada de Fourier para $e_{k}\in {\widehat {T}}$ .

Gelfand transforma

La transformada de Fourier es también un caso especial de la transformada de Gelfand . En este contexto particular, está estrechamente relacionada con el mapa de dualidad de Pontryagin definido anteriormente.

Dado un grupo topológico de Hausdorff localmente compacto abeliano $G$ , como antes consideramos el espacio $L$ $1$ $($ $G$ $)$ , definido usando una medida de Haar. Con la convolución como multiplicación, $L$ $1$ $($ $G$ $)$ es un álgebra de Banach abeliana . También tiene una involución * dada por $f^{*}(g)={\overline {f\left(g^{-1}\right)}}.$

Taking the completion with respect to the largest possible $C *$ -norm gives its enveloping $C *$ -algebra, called the group $C *$ -algebra $C *(G)$ of $G$ . (Any $C *$ -norm on $L 1 (G)$ is bounded by the $L 1$ norm, therefore their supremum exists.)

Given any abelian $C *$ -algebra $A$ , the Gelfand transform gives an isomorphism between $A$ and $C 0 (A^)$ , where $A^$ is the multiplicative linear functionals, i.e. one-dimensional representations, on $A$ with the weak-* topology. The map is simply given by $a\mapsto {\bigl (}\varphi \mapsto \varphi (a){\bigr )}.$ It turns out that the multiplicative linear functionals of $C *(G)$ , after suitable identification, are exactly the characters of $G$ , and the Gelfand transform, when restricted to the dense subset $L 1 (G)$ , is the Fourier–Pontryagin transform.

Compact non-abelian groups

The Fourier transform can also be defined for functions on a non-abelian group, provided that the group is compact. Removing the assumption that the underlying group is abelian, irreducible unitary representations need not always be one-dimensional. This means the Fourier transform on a non-abelian group takes values as Hilbert space operators.^[68] The Fourier transform on compact groups is a major tool in representation theory^[69] and non-commutative harmonic analysis.

Let $G$ be a compact Hausdorff topological group, and let $λ$ be its normalized Haar measure. Let $Σ$ denote the collection of all isomorphism classes of finite-dimensional irreducible unitary representations, along with a definite choice of representation $U (σ)$ on the Hilbert space $H σ$ of finite dimension $d σ$ for each $σ \in Σ$ .

For $f \in L 1 (G)$ , the Fourier transform of $f$ at $σ$ is the operator on $H σ$ defined by ${\widehat {f}}(\sigma )=\int _{G}f(g)U_{g^{-1}}^{(\sigma )}\,d\lambda (g).$ Equivalently, $\left\langle {\widehat {f}}(\sigma )\xi ,\eta \right\rangle _{H_{\sigma }}=\int _{G}f(g)\left\langle U_{g^{-1}}^{(\sigma )}\xi ,\eta \right\rangle \,d\lambda (g).$ Since $U (σ)$ is unitary, this may also be written using the adjoint ${U^{(\sigma )}}_{g}^{*}$ .

If $μ$ is a finite complex Borel measure on $G$ , then the Fourier–Stieltjes transform of $μ$ is the operator on $H σ$ defined by ${\widehat {\mu }}(\sigma )=\int _{G}U_{g^{-1}}^{(\sigma )}\,d\mu (g),$ or, weakly, $\left\langle {\widehat {\mu }}(\sigma )\xi ,\eta \right\rangle _{H_{\sigma }}=\int _{G}\left\langle U_{g^{-1}}^{(\sigma )}\xi ,\eta \right\rangle \,d\mu (g).$ If $μ$ is absolutely continuous with respect to $λ$ , represented as $d\mu =f\,d\lambda$ for some $f \in L 1 (G)$ , one identifies the Fourier transform of $f$ with the Fourier–Stieltjes transform of $μ$ .

The mapping $\mu \mapsto {\widehat {\mu }}$ is injective and sends finite measures to bounded fields of operators $(\widehat\mu(\sigma))σ∈Σ$ , with $\sup _{\sigma \in \Sigma }\|{\widehat {\mu }}(\sigma )\|\leq \|\mu \|.$ Thus it may be viewed as a representation of the Banach algebra $M (G)$ of finite Borel measures, with multiplication given by convolution of measures. With the convention above, convolution corresponds to operator multiplication with the order reversed: ${\widehat {\mu *\nu }}(\sigma )={\widehat {\nu }}(\sigma ){\widehat {\mu }}(\sigma ).$ Using the alternative convention $\widehat f(\sigma)=\int_G f(g)U^{(\sigma)}_g\,d\lambda(g)$ reverses this order. The involution on $M (G)$ is given, for absolutely continuous measures, by $f^{*}(g)={\overline {f(g^{-1})}},$ since compact groups are unimodular.

The Peter–Weyl theorem holds, and a version of the Fourier inversion formula follows: if $f \in L 2 (G)$ , then $f(g)=\sum _{\sigma \in \Sigma }d_{\sigma }\operatorname {tr} \left({\widehat {f}}(\sigma )U_{g}^{(\sigma )}\right),$ where the summation is understood as convergent in the $L 2$ sense. The corresponding Plancherel formula is $\|f\|_{2}^{2}=\sum _{\sigma \in \Sigma }d_{\sigma }\|{\widehat {f}}(\sigma )\|_{\mathrm {HS} }^{2},$ where $||\cdot|| HS$ denotes the Hilbert–Schmidt norm.

The generalization of the Fourier transform to the noncommutative situation has also in part contributed to the development of noncommutative geometry. In this context, a categorical generalization of the Fourier transform to noncommutative groups is Tannaka–Krein duality, which replaces the group of characters with the category of representations. However, this is no longer simply a transform of scalar-valued functions into scalar-valued functions.

Alternatives

In signal processing terms, a function (of time) is a representation of a signal with perfect time resolution, but no frequency information, while the Fourier transform has perfect frequency resolution, but no time information: the magnitude of the Fourier transform at a point is how much frequency content there is, but location is only given by phase (argument of the Fourier transform at a point), and standing waves are not localized in time – a sine wave continues out to infinity, without decaying. This limits the usefulness of the Fourier transform for analyzing signals that are localized in time, notably transients, or any signal of finite extent.

As alternatives to the Fourier transform, in time–frequency analysis, one uses time–frequency transforms or time–frequency distributions to represent signals in a form that has some time information and some frequency information – by the uncertainty principle, there is a trade-off between these. These can be generalizations of the Fourier transform, such as the short-time Fourier transform, fractional Fourier transform, synchrosqueezing Fourier transform,^[70] or other functions to represent signals, as in wavelet transforms and chirplet transforms, with the wavelet analog of the Fourier transform being the continuous wavelet transform.^[27]

Example

The following figures provide a visual illustration of how the Fourier transform's integral measures whether a frequency is present in a particular function. The first image depicts the function ⁠ $f(t)=\cos(2\pi \ 3t)\ e^{-\pi t^{2}}$ ⁠, which is a 3 Hz cosine wave (the first term) shaped by a Gaussian envelope function (the second term) that smoothly turns the wave on and off. The next 2 images show the product ⁠ $f(t)e^{-i2\pi 3t}$ ⁠, which must be integrated to calculate the Fourier transform at +3 Hz. The real part of the integrand has a non-negative average value, because the alternating signs of $f(t)$ and $\operatorname {Re} (e^{-i2\pi 3t})$ oscillate at the same rate and in phase, whereas $f(t)$ and $\operatorname {Im} (e^{-i2\pi 3t})$ oscillate at the same rate but with orthogonal phase. The absolute value of the Fourier transform at +3 Hz is 0.5, which is relatively large. When added to the Fourier transform at -3 Hz (which is identical because we started with a real signal), we find that the amplitude of the 3 Hz frequency component is 1.

Original function, which has a strong 3 Hz component. Real and imaginary parts of the integrand of its Fourier transform at +3 Hz.

Sin embargo, cuando se intenta medir una frecuencia que no está presente, tanto la parte real como la imaginaria de la integral varían rápidamente entre valores positivos y negativos. Por ejemplo, la curva roja busca 5 Hz. El valor absoluto de su integral es casi cero, lo que indica que prácticamente no había componente de 5 Hz en la señal. La situación general suele ser más complicada que esto, pero heurísticamente así es como la transformada de Fourier mide la cantidad de una frecuencia individual presente en una función . $f(t)$ .

Partes real e imaginaria del integrando para su transformada de Fourier a +5 Hz.
Magnitud de su transformada de Fourier, con +3 y +5 Hz indicados.

Para reforzar un punto anterior, la razón de la respuesta en $\xi =-3$ Hz es porque $\cos(2\pi 3t)$ y $\cos(2\pi (-3)t)$ son indistinguibles. La transformación de $e^{i2\pi 3t}\cdot e^{-\pi t^{2}}$ Tendría una única respuesta, cuya amplitud es la integral de la envolvente suave : $e^{-\pi t^{2}}$ , mientras que $\operatorname {Re} (f(t)\cdot e^{-i2\pi 3t})$ es $e^{-\pi t^{2}}(1+\cos(2\pi 6t))/2$ .

Aplicaciones

Las operaciones lineales realizadas en un dominio (tiempo o frecuencia) tienen operaciones correspondientes en el otro dominio, que a veces resultan más fáciles de realizar. La operación de diferenciación en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación por la frecuencia ^{[ nota 8 ]} , por lo que algunas ecuaciones diferenciales son más fáciles de analizar en el dominio de la frecuencia. Asimismo, la convolución en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación ordinaria en el dominio de la frecuencia (véase el teorema de convolución ). Tras realizar las operaciones deseadas, el resultado puede transformarse de nuevo al dominio del tiempo. El análisis armónico es el estudio sistemático de la relación entre los dominios de la frecuencia y del tiempo, incluyendo los tipos de funciones u operaciones que son más sencillas en uno u otro, y tiene profundas conexiones con muchas áreas de las matemáticas modernas.

Análisis de ecuaciones diferenciales

Quizás el uso más importante de la transformada de Fourier sea resolver ecuaciones diferenciales parciales . Muchas de las ecuaciones de la física matemática del siglo XIX pueden tratarse de esta manera. Fourier estudió la ecuación del calor, que en una dimensión y en unidades adimensionales es ${\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}x}}={\frac {\partial y(x,t)}{\partial t}}.$ El ejemplo que daremos, un poco más difícil, es la ecuación de onda en una dimensión, ${\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}x}}={\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}t}}.$

Como de costumbre, el problema no es encontrar una solución: existen infinitas. El problema es el del llamado "problema de contorno": encontrar una solución que satisfaga las "condiciones de contorno". $y(x,0)=f(x),\qquad {\frac {\partial y(x,0)}{\partial t}}=g(x).$

Aquí, $f$ y $g$ son funciones dadas. Para la ecuación del calor, solo se requiere una condición de contorno (generalmente la primera). Pero para la ecuación de ondas, existen infinitas soluciones $y$ que satisfacen la primera condición de contorno. Sin embargo, al imponer ambas condiciones, solo hay una solución posible.

Es más fácil hallar la transformada de Fourier $ŷ$ de la solución que hallar la solución directamente. Esto se debe a que la transformada de Fourier convierte la diferenciación en una multiplicación por la variable dual de Fourier, de modo que una ecuación diferencial parcial aplicada a la función original se transforma en una multiplicación por funciones polinómicas de las variables duales aplicadas a la función transformada. Una vez determinada $ŷ$ , podemos aplicar la transformada inversa de Fourier para hallar $y$ .

El método de Fourier es el siguiente. Primero, observe que cualquier función de las formas $\cos {\bigl (}2\pi \xi (x\pm t){\bigr )}{\text{ or }}\sin {\bigl (}2\pi \xi (x\pm t){\bigr )}$ Satisface la ecuación de onda. Estas se denominan soluciones elementales.

En segundo lugar, observe que, por lo tanto, cualquier integral ${\begin{aligned}y(x,t)=\int _{0}^{\infty }d\xi {\Bigl [}&a_{+}(\xi )\cos {\bigl (}2\pi \xi (x+t){\bigr )}+a_{-}(\xi )\cos {\bigl (}2\pi \xi (x-t){\bigr )}+{}\\&b_{+}(\xi )\sin {\bigl (}2\pi \xi (x+t){\bigr )}+b_{-}(\xi )\sin \left(2\pi \xi (x-t)\right){\Bigr ]}\end{aligned}}$ Satisface la ecuación de onda para valores arbitrarios $de a +, a -, b +, b -$ . Esta integral puede interpretarse como una combinación lineal continua de soluciones para la ecuación lineal.

Ahora bien, esto se asemeja a la fórmula para la síntesis de Fourier de una función. De hecho, esta es la transformada inversa de Fourier real de $a \pm$ y $b \pm$ en la variable $x$ .

El tercer paso consiste en examinar cómo encontrar las funciones de coeficientes desconocidas específicas $a \pm$ y $b \pm$ que llevarán a que $y$ satisfaga las condiciones de contorno. Nos interesan los valores de estas soluciones en $t = 0.$ Por lo tanto, estableceremos $t = 0.$ Suponiendo que se cumplen las condiciones necesarias para la inversión de Fourier, podemos entonces encontrar las transformadas de Fourier de seno y coseno (en la variable $x$ ) de ambos lados y obtener $2\int _{-\infty }^{\infty }y(x,0)\cos(2\pi \xi x)\,dx=a_{+}+a_{-}$ y $2\int _{-\infty }^{\infty }y(x,0)\sin(2\pi \xi x)\,dx=b_{+}+b_{-}.$

De manera similar, al derivar $y$ con respecto a $t$ y luego aplicar las transformaciones de Fourier de seno y coseno se obtiene: $2\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial y(u,0)}{\partial t}}\sin(2\pi \xi x)\,dx=(2\pi \xi )\left(-a_{+}+a_{-}\right)$ y $2\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial y(u,0)}{\partial t}}\cos(2\pi \xi x)\,dx=(2\pi \xi )\left(b_{+}-b_{-}\right).$

Se trata de cuatro ecuaciones lineales para las cuatro incógnitas $a \pm$ y $b \pm$ , en términos de las transformadas de Fourier de seno y coseno de las condiciones de contorno, que se resuelven fácilmente mediante álgebra elemental, siempre que se puedan encontrar dichas transformadas.

En resumen, elegimos un conjunto de soluciones elementales, parametrizadas por $ξ$ , cuya solución general sería una combinación lineal (continua) en forma de integral sobre el parámetro $ξ$ . Pero esta integral tenía la forma de una integral de Fourier. El siguiente paso fue expresar las condiciones de contorno en términos de estas integrales e igualarlas a las funciones dadas $f$ y $g$ . Pero estas expresiones también tomaron la forma de una integral de Fourier debido a las propiedades de la transformada de Fourier de una derivada. El último paso fue aprovechar la inversión de Fourier aplicando la transformada de Fourier a ambos lados, obteniendo así expresiones para las funciones de coeficiente $a \pm$ y $b \pm$ en términos de las condiciones de contorno dadas $f$ y $g$ .

Desde una perspectiva más amplia, el procedimiento de Fourier puede reformularse de forma más conceptual. Dado que hay dos variables, utilizaremos la transformada de Fourier tanto en $x$ como en $t$ , en lugar de operar como lo hizo Fourier, quien solo transformó en las variables espaciales. Nótese que $ŷ$ debe considerarse en el sentido de una distribución, ya que $y (x, t)$ no será $L1$ : como onda, persistirá en el tiempo y, por lo tanto, no es un fenómeno transitorio. Pero estará acotada, por lo que su transformada de Fourier puede definirse como una distribución. Las propiedades operacionales de la transformada de Fourier que son relevantes para esta ecuación son que transforma la diferenciación en $x$ $en$ una multiplicación por $i 2π ξ$ y la diferenciación con respecto a $t$ en una multiplicación por $i 2π f,$ donde $f$ es la frecuencia. Entonces, la ecuación de onda se convierte en una ecuación algebraica en $ŷ$ : $\xi ^{2}{\widehat {y}}(\xi ,f)=f^{2}{\widehat {y}}(\xi ,f).$ Esto es equivalente a requerir $ŷ (ξ, f) = 0$ a menos que $ξ = \pm f$ . Inmediatamente, esto explica por qué la elección de soluciones elementales que hicimos anteriormente funcionó tan bien: obviamente $ŷ = δ (ξ \pm f)$ serán soluciones. Aplicando la inversión de Fourier a estas funciones delta, obtenemos las soluciones elementales que elegimos anteriormente. Pero desde un punto de vista más elevado, no se eligen soluciones elementales, sino que se considera el espacio de todas las distribuciones que están soportadas en la cónica (degenerada) $ξ 2 - f 2 = 0$ .

También podemos considerar las distribuciones soportadas en la cónica que están dadas por las distribuciones de una variable en la línea $ξ = f$ más las distribuciones en la línea $ξ = - f$ de la siguiente manera: si $Φ$ es cualquier función de prueba, $\iint {\widehat {y}}\varphi (\xi ,f)\,d\xi \,df=\int s_{+}\varphi (\xi ,\xi )\,d\xi +\int s_{-}\varphi (\xi ,-\xi )\,d\xi ,$ donde $s +$ , y $s -$ , son distribuciones de una variable.

Entonces, la inversión de Fourier da, para las condiciones de contorno, algo muy similar a lo que teníamos más concretamente arriba (pongamos $Φ (ξ, f) = e i 2π(xξ + tf)$ , que es claramente de crecimiento polinomial): $y(x,0)=\int {\bigl \{}s_{+}(\xi )+s_{-}(\xi ){\bigr \}}e^{i2\pi \xi x+0}\,d\xi$ y ${\frac {\partial y(x,0)}{\partial t}}=\int {\bigl \{}s_{+}(\xi )-s_{-}(\xi ){\bigr \}}i2\pi \xi e^{i2\pi \xi x+0}\,d\xi .$

Ahora, como antes, al aplicar la transformada de Fourier de una variable en la variable $x$ a estas funciones de $x$ se obtienen dos ecuaciones en las dos distribuciones desconocidas $s \pm$ (que pueden tomarse como funciones ordinarias si las condiciones de contorno son $L 1$ o $L 2$ ).

Desde el punto de vista computacional, la desventaja radica, por supuesto, en que primero hay que calcular las transformadas de Fourier de las condiciones de contorno, luego reconstruir la solución a partir de estas y, finalmente, calcular la transformada inversa de Fourier. Las fórmulas analíticas son poco comunes, salvo cuando existe alguna simetría geométrica que se pueda aprovechar, y los cálculos numéricos son difíciles debido a la naturaleza oscilatoria de las integrales, lo que dificulta y ralentiza la convergencia. Para cálculos prácticos, se suelen utilizar otros métodos.

transformada de Fourier no lineal

El siglo XX ha visto la aplicación de estos métodos a todas las ecuaciones diferenciales parciales lineales con coeficientes polinomiales, así como una extensión a ciertas clases de ecuaciones diferenciales parciales no lineales . Específicamente, ecuaciones de evolución no lineales (es decir, aquellas ecuaciones que describen cómo evoluciona una cantidad particular en el tiempo a partir de un estado inicial especificado) que pueden asociarse con problemas de valores propios lineales cuyos valores propios son integrales de las ecuaciones no lineales. ^{[ 71 ]}^{[ 72 ]} Dado que puede considerarse una extensión del análisis de Fourier a problemas no lineales, el método de solución se denomina método de transformada de Fourier no lineal (o transformada de dispersión inversa ). ^{[ 73 ]}

espectroscopia de transformada de Fourier

La transformada de Fourier también se utiliza en resonancia magnética nuclear (RMN) y en otros tipos de espectroscopia , por ejemplo, infrarroja ( FTIR ). En RMN, se adquiere una señal de decaimiento de inducción libre (FID) con forma exponencial en el dominio del tiempo y se transforma mediante la transformada de Fourier a una forma de línea lorentziana en el dominio de la frecuencia. La transformada de Fourier también se utiliza en imágenes por resonancia magnética (IRM) y espectrometría de masas .

Mecánica cuántica

La transformada de Fourier es útil en mecánica cuántica de al menos dos maneras diferentes. Para empezar, la estructura conceptual básica de la mecánica cuántica postula la existencia de pares de variables complementarias , conectadas por el principio de incertidumbre de Heisenberg . Por ejemplo, en una dimensión, la variable espacial $q de, digamos, una partícula, solo puede medirse mediante el$ operador de posición cuántico a costa de perder información sobre el momento $p$ de la partícula. Por lo tanto, el estado físico de la partícula puede describirse mediante una función, llamada "función de onda", de $q$ o mediante una función de $p$ , pero no mediante una función de ambas variables. La variable $p$ se denomina variable conjugada de $q$ .

En mecánica clásica, el estado físico de una partícula (que existe en una dimensión, para simplificar la exposición) se define asignando valores definidos a $p$ y $q$ simultáneamente. Así, el conjunto de todos los estados físicos posibles es el espacio vectorial real bidimensional con un eje $p y un eje$ $q,$ denominado espacio de fases . En contraste, la mecánica cuántica elige una polarización de este espacio en el sentido de que selecciona un subespacio de la mitad de la dimensión, por ejemplo, solo el eje $q$ , pero en lugar de considerar únicamente puntos, toma el conjunto de todas las "funciones de onda" de valor complejo en este eje. Sin embargo, elegir el eje $p$ es una polarización igualmente válida, que produce una representación diferente del conjunto de estados físicos posibles de la partícula. Ambas representaciones de la función de onda están relacionadas por una transformada de Fourier, de modo que $\varphi (p)=\int dq\,\psi (q)e^{-ipq/h},$ o, equivalentemente, $\psi (q)=\int dp\,\varphi (p)e^{ipq/h}.$

Physically realisable states are $L 2$ , and so by the Plancherel theorem, their Fourier transforms are also $L 2$ . (Note that since $q$ is in units of distance and $p$ is in units of momentum, the presence of the Planck constant in the exponent makes the exponent dimensionless, as it should be.)

Therefore, the Fourier transform can be used to pass from one way of representing the state of the particle, by a wave function of position, to another way of representing the state of the particle: by a wave function of momentum. Infinitely many different polarisations are possible, and all are equally valid. Being able to transform states from one representation to another by the Fourier transform is not only convenient but also the underlying reason of the Heisenberg uncertainty principle.

The other use of the Fourier transform in both quantum mechanics and quantum field theory is to solve the applicable wave equation. In non-relativistic quantum mechanics, the Schrödinger equation for a time-varying wave function in one-dimension, not subject to external forces, is $-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)=i{\frac {h}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t).$

This is the same as the heat equation except for the presence of the imaginary unit $i$ . Fourier methods can be used to solve this equation.

In the presence of a potential, given by the potential energy function $V (x)$ , the equation becomes $-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)+V(x)\psi (x,t)=i{\frac {h}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t).$

The "elementary solutions", as we referred to them above, are the so-called "stationary states" of the particle, and Fourier's algorithm, as described above, can still be used to solve the boundary value problem of the future evolution of $ψ$ given its values for $t = 0$ . Neither of these approaches is of much practical use in quantum mechanics. Boundary value problems and the time-evolution of the wave function is not of much practical interest: it is the stationary states that are most important.

In relativistic quantum mechanics, the Schrödinger equation becomes a wave equation as was usual in classical physics, except that complex-valued waves are considered. A simple example, in the absence of interactions with other particles or fields, is the free one-dimensional Klein–Gordon–Schrödinger–Fock equation, this time in dimensionless units, $\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+1\right)\psi (x,t)={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (x,t).$

Desde el punto de vista matemático, esto es lo mismo que la ecuación de onda de la física clásica resuelta anteriormente (pero con una onda de valor complejo, lo cual no afecta a los métodos). Esto resulta de gran utilidad en la teoría cuántica de campos: cada componente de Fourier de una onda puede tratarse como un oscilador armónico independiente y luego cuantizarse, un procedimiento conocido como "segunda cuantización". Los métodos de Fourier se han adaptado para abordar también interacciones no triviales.

Finalmente, el operador numérico del oscilador armónico cuántico puede interpretarse, por ejemplo, a través del núcleo de Mehler , como el generador de la transformada de Fourier . ${\mathcal {F}}$ ⁠ .^{[ 30 ]}

Procesamiento de señales

La transformada de Fourier se utiliza para el análisis espectral de series temporales. Sin embargo, en el procesamiento estadístico de señales, no se suele aplicar la transformada de Fourier a la señal en sí. Aunque una señal real sea transitoria, en la práctica se ha comprobado que es recomendable modelarla mediante una función (o, alternativamente, un proceso estocástico) estacionaria, es decir, que sus propiedades características sean constantes en todo el tiempo. La transformada de Fourier de dicha función no existe en el sentido habitual, y se ha encontrado más útil para el análisis de señales aplicar la transformada de Fourier a su función de autocorrelación.

La función de autocorrelación $R$ de una función $f$ se define por $R_{f}(\tau )=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}f(t)f(t+\tau )\,dt.$

Esta función depende del intervalo de tiempo $τ$ que transcurre entre los valores de $f$ que se van a correlacionar.

Para la mayoría de las funciones $f$ que aparecen en la práctica, $R$ es una función par acotada del retardo de tiempo $τ$ y para señales ruidosas típicas resulta ser uniformemente continua con un máximo en $τ = 0$ .

La función de autocorrelación, más propiamente llamada función de autocovarianza a menos que se normalice de alguna manera apropiada, mide la fuerza de la correlación entre los valores de $f$ separados por un intervalo de tiempo. Este es un método para buscar la correlación de $f$ con su propio pasado. Resulta útil incluso para otras tareas estadísticas además del análisis de señales. Por ejemplo, si $f (t)$ representa la temperatura en el instante $t$ , se espera una fuerte correlación con la temperatura con un desfase de 24 horas.

Posee una transformada de Fourier, $P_{f}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }R_{f}(\tau )e^{-i2\pi \xi \tau }\,d\tau .$

This Fourier transform is called the power spectral density function of $f$ . (Unless all periodic components are first filtered out from $f$ , this integral will diverge, but it is easy to filter out such periodicities.)

The power spectrum, as indicated by this density function $P$ , measures the amount of variance contributed to the data by the frequency $ξ$ . In electrical signals, the variance is proportional to the average power (energy per unit time), and so the power spectrum describes how much the different frequencies contribute to the average power of the signal. This process is called the spectral analysis of time-series and is analogous to the usual analysis of variance of data that is not a time-series (ANOVA).

Knowledge of which frequencies are "important" in this sense is crucial for the proper design of filters and for the proper evaluation of measuring apparatuses. It can also be useful for the scientific analysis of the phenomena responsible for producing the data.

The power spectrum of a signal can also be approximately measured directly by measuring the average power that remains in a signal after all the frequencies outside a narrow band have been filtered out.

Spectral analysis is carried out for visual signals as well. The power spectrum ignores all phase relations, which is good enough for many purposes, but for video signals other types of spectral analysis must also be employed, still using the Fourier transform as a tool.

Other notations

Other common notations for ${\widehat {f}}(\xi )$ include: ${\tilde {f}}(\xi ),\ F(\xi ),\ {\mathcal {F}}\left(f\right)(\xi ),\ \left({\mathcal {F}}f\right)(\xi ),\ {\mathcal {F}}(f),\ {\mathcal {F}}\{f\},\ {\mathcal {F}}{\bigl (}f(t){\bigr )},\ {\mathcal {F}}{\bigl \{}f(t){\bigr \}}.$

In the sciences and engineering it is also common to make substitutions like these: $\xi \rightarrow f,\quad x\rightarrow t,\quad f\rightarrow x,\quad {\widehat {f}}\rightarrow X.$

So the transform pair $f(x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ {\widehat {f}}(\xi )$ can become $x(t)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ X(f)$

A disadvantage of the capital letter notation is when expressing a transform such as ${\widehat {f}}\cdot g$ or ⁠ ${\widehat {f}}'$ ⁠, which become the more awkward ${\mathcal {F}}\{f\cdot g\}$ and ⁠ ${\mathcal {F}}\{f'\}$ ⁠.

In some contexts such as particle physics, the same symbol $f$ may be used for both for a function as well as it Fourier transform, with the two only distinguished by their argument I.e. $f(k_{1}+k_{2})$ would refer to the Fourier transform because of the momentum argument, while $f(x_{0}+\pi {\vec {r}})$ would refer to the original function because of the positional argument. Although tildes may be used as in ${\tilde {f}}$ to indicate Fourier transforms, tildes may also be used to indicate a modification of a quantity with a more Lorentz invariant form, such as ⁠ ${\tilde {dk}}={\frac {dk}{(2\pi )^{3}2\omega }}$ ⁠, so care must be taken. Similarly, ${\widehat {f}}$ often denotes the Hilbert transform of ⁠ $f$ ⁠.

The interpretation of the complex function $f̂ (ξ)$ may be aided by expressing it in polar coordinate form ${\widehat {f}}(\xi )=A(\xi )e^{i\varphi (\xi )}$ in terms of the two real functions $A (ξ)$ and $φ (ξ)$ where: $A(\xi )=\left|{\widehat {f}}(\xi )\right|,$ is the amplitude and $\varphi (\xi )=\arg \left({\widehat {f}}(\xi )\right),$ is the phase (see Arg).

Then the inverse transform can be written: $f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }A(\xi )\ e^{i{\bigl (}2\pi \xi x+\varphi (\xi ){\bigr )}}\,d\xi ,$ which is a recombination of all the frequency components of $f (x)$ . Each component is a complex sinusoid of the form $e 2π ixξ$ whose amplitude is $A (ξ)$ and whose initial phase angle (at $x = 0$ ) is $φ (ξ)$ .

The Fourier transform may be thought of as a mapping on function spaces. This mapping is here denoted F and $F (f)$ is used to denote the Fourier transform of the function $f$ . This mapping is linear, which means that F can also be seen as a linear transformation on the function space and implies that the standard notation in linear algebra of applying a linear transformation to a vector (here the function $f$ ) can be used to write $F f$ instead of $F (f)$ . Since the result of applying the Fourier transform is again a function, we can be interested in the value of this function evaluated at the value $ξ$ for its variable, and this is denoted either as $F f (ξ)$ or as $(F f)(ξ)$ . Notice that in the former case, it is implicitly understood that F is applied first to $f$ and then the resulting function is evaluated at $ξ$ , not the other way around.

In mathematics and various applied sciences, it is often necessary to distinguish between a function $f$ and the value of $f$ when its variable equals $x$ , denoted $f (x)$ . This means that a notation like $F (f (x))$ formally can be interpreted as the Fourier transform of the values of $f$ at $x$ . Despite this flaw, the previous notation appears frequently, often when a particular function or a function of a particular variable is to be transformed. For example, ${\mathcal {F}}{\bigl (}\operatorname {rect} (x){\bigr )}=\operatorname {sinc} (\xi )$ a veces se utiliza para expresar que la transformada de Fourier de una función rectangular es una función sinc , o ${\mathcal {F}}{\bigl (}f(x+x_{0}){\bigr )}={\mathcal {F}}{\bigl (}f(x){\bigr )}\,e^{i2\pi x_{0}\xi }$ Se utiliza para expresar la propiedad de desplazamiento de la transformada de Fourier.

Nótese que el último ejemplo solo es correcto bajo el supuesto de que la función transformada es una función de $x$ , no de $x 0$ .

Como se mencionó anteriormente, la función característica de una variable aleatoria es la misma que la transformada de Fourier-Stieltjes de su medida de distribución, pero en este contexto es típico adoptar una convención diferente para las constantes. Típicamente, la función característica se define $E\left(e^{it\cdot X}\right)=\int e^{it\cdot x}\,d\mu _{X}(x).$

Al igual que en el caso de la convención de "frecuencia angular no unitaria" mencionada anteriormente, el factor 2π $no$ aparece ni en la constante de normalización ni en el exponente. A diferencia de las convenciones anteriores, esta adopta el signo opuesto en el exponente.

Métodos de cálculo

El método de cálculo apropiado depende en gran medida de cómo se representa la función matemática original y de la forma deseada de la función de salida. En esta sección consideramos ambas funciones de una variable continua , $f(x)$ ⁠ , y funciones de una variable discreta (es decir, pares ordenados de $x$ y $f$ valores). Para valores discretos ⁠ $x$ ⁠ , la integral de transformación se convierte en una suma de sinusoides, que sigue siendo una función continua de la frecuencia ( ⁠ $\xi$ o $\omega$ ⁠ ). Cuando las sinusoides están relacionadas armónicamente (es decir, cuando la $x$ Si los valores están espaciados en múltiplos enteros de un intervalo, la transformada se denomina transformada discreta de Fourier en tiempo (DTFT).

Transformadas discretas de Fourier y transformadas rápidas de Fourier

El muestreo de la DTFT a frecuencias igualmente espaciadas es el método de cálculo moderno más común. En Transformada de Fourier de tiempo discreto § Muestreo de la DTFT se describen procedimientos eficientes, según la resolución de frecuencia requerida . La transformada discreta de Fourier (DFT), utilizada en este trabajo, se calcula generalmente mediante un algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT).

Integración simbólica de funciones de forma cerrada

Las tablas de transformadas de Fourier de forma cerrada , como § Funciones integrables al cuadrado, unidimensionales y § Tabla de transformadas de Fourier de tiempo discreto , se crean evaluando matemáticamente la integral (o sumatoria) del análisis de Fourier en otra función de forma cerrada de frecuencia ( ⁠ $\xi$ o $\omega$ ⁠ ).^{[ 74 ]} Cuando es matemáticamente posible, esto proporciona una transformación para un continuo de valores de frecuencia.

Muchos sistemas de álgebra computacional, como Matlab y Mathematica, que son capaces de realizar integración simbólica , también pueden calcular transformadas de Fourier de forma simbólica. ^{[ nota 9 ]} https://en.wikipedia.org/wiki/Help:Edit_summary

Integración numérica de funciones continuas en forma cerrada

El muestreo discreto de la transformada de Fourier también puede realizarse mediante la integración numérica de la definición en cada valor de frecuencia para el cual se desea la transformada. ^{[ 75 ]}^{[ 76 ]}^{[ 77 ]} El enfoque de integración numérica funciona en una clase de funciones mucho más amplia que el enfoque analítico.

Integración numérica de una serie de pares ordenados

Si la función de entrada es una serie de pares ordenados, la integración numérica se reduce a una simple suma sobre el conjunto de pares de datos. ^{[ 78 ]} La DTFT es un subcaso común de esta situación más general.

Tablas de transformadas de Fourier importantes

Las siguientes tablas muestran algunas transformadas de Fourier en forma cerrada. Para las funciones $f (x)$ y $g (x),$ denotamos sus transformadas de Fourier por $f̂$ y $ĝ$ . Solo se incluyen las tres convenciones más comunes. Cabe destacar que la entrada 105 establece una relación entre la transformada de Fourier de una función y la función original, que puede interpretarse como la relación entre la transformada de Fourier y su inversa.

Relaciones funcionales, unidimensionales

Las transformadas de Fourier en esta tabla se pueden encontrar en Erdélyi (1954) o Kammler (2000 , apéndice) .

Funciones de cuadrado integrable, unidimensionales

Las transformadas de Fourier de esta tabla se pueden encontrar en Campbell & Foster (1948) , Erdélyi (1954) o Kammler (2000 , apéndice) .

Distribuciones unidimensionales