Operador no local

En matemáticas , un operador no local es una función que convierte funciones de un espacio topológico en funciones, de tal manera que el valor de la función de salida en un punto dado no se puede determinar únicamente a partir de los valores de la función de entrada en cualquier entorno de cualquier punto. Un ejemplo de un operador no local es la transformada de Fourier .

Sea un espacio topológico , un conjunto , un espacio funcional que contiene funciones con dominio , y un espacio funcional que contiene funciones con dominio . Dos funciones y en se denominan equivalentes en si existe un entorno de tal que para todo . Se dice que un operador es local si para todo existe un entorno tal que para todas las funciones y en que son equivalentes en . Un operador no local es un operador que no es local. ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización F(X)}$ ${\estilo de visualización X}$$Estilo de visualización G(Y)$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización v}$${\estilo de visualización F(X)}$${\displaystyle x\en X}$ ${\estilo de visualización N}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle u(x')=v(x')}$${\displaystyle x'\en N}$${\displaystyle A:F(X)\to G(Y)}$${\displaystyle y\en Y}$${\displaystyle x\en X}$${\displaystyle Au(y)=Av(y)}$${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización v}$${\estilo de visualización F(X)}$${\estilo de visualización x}$

Para un operador local es posible (en principio) calcular el valor utilizando únicamente el conocimiento de los valores de en un entorno arbitrariamente pequeño de un punto . Para un operador no local esto no es posible. ${\displaystyle Au(y)}$${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización x}$

Los operadores diferenciales son ejemplos de operadores locales ^{[ cita requerida ]} . Una gran clase de operadores no locales (lineales) está dada por las transformadas integrales , como la transformada de Fourier y la transformada de Laplace . Para una transformada integral de la forma

${\displaystyle (Au)(y)=\int \limits _{X}u(x)\,K(x,y)\,dx,}$

donde es alguna función kernel, es necesario conocer los valores de casi todas partes en el soporte de para calcular el valor de en . ${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización u}$${\displaystyle K(\cdot ,y)}$${\estilo de visualización Au}$${\estilo de visualización y}$

Un ejemplo de un operador integral singular es el laplaciano fraccionario.

${\displaystyle (-\Delta )^{s}f(x)=c_{d,s}\int \limits _{\mathbb {R} ^{d}}{\frac {f(x)-f(y)}{|xy|^{d+2s}}}\,dy.}$

El factor prefijo involucra la función Gamma y sirve como factor normalizador. El laplaciano fraccionario juega un papel, por ejemplo, en el estudio de superficies mínimas no locales . ^[1]${\displaystyle c_{d,s}:={\frac {4^{s}\Gamma (d/2+s)}{\pi ^{d/2}|\Gamma (-s)|}}}$

Algunos ejemplos de aplicaciones de operadores no locales son:

• Análisis de series temporales mediante transformaciones de Fourier
• Análisis de sistemas dinámicos mediante transformaciones de Laplace
• Eliminación de ruido de imágenes mediante medios no locales ^[2]
• Modelado del desenfoque gaussiano o del desenfoque de movimiento en imágenes mediante convolución con un núcleo de desenfoque o una función de dispersión de puntos

• Cálculo fraccionario
• Mapa lineal
• Lagrangiano no local
• Acción a distancia

• Wiki de ecuaciones no locales