Función integrable localmente

Definición 1 . ^{[ 2 ]} Sea${\textstyle \Omega }$ser un conjunto abierto en el espacio euclidiano${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$y${\textstyle f:\Omega \to {\mathbb {C}}}$sea ​​una función medible de Lebesgue . Si${\textstyle f}$en${\textstyle \Omega }$es tal que

${\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

es decir, su integral de Lebesgue es finita en todos los subconjuntos compactos${\textstyle K}$de${\textstyle \Omega }$, ^{[ 3 ]} entonces${\textstyle f}$ se denomina localmente integrable . El conjunto de todas estas funciones se denota por${\textstyle L_{1,{\text{loc}}}(\Omega)}$:

${\displaystyle L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega )={\bigl \{}f\colon \Omega \to \mathbb {C} {\text{ medible}}:f|_{K}\in L_{1}(K)\ \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compacto}}{\bigr \}},}$

dónde${\textstyle \left.f\right|_{K}}$denota la restricción de${\textstyle f}$ al conjunto${\textstyle K}$.

Definición 2. ^{[ 4 ]} Sea${\textstyle \Omega }$ser un conjunto abierto en el espacio euclidiano${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$. Luego una función${\textstyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$de tal manera que

${\displaystyle \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

para cada función de prueba${\textstyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega)}$se denomina localmente integrable , y el conjunto de tales funciones se denota por${\textstyle L_{1,{\text{loc}}}(\Omega)}$. Aquí,${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$denota el conjunto de todas las funciones infinitamente diferenciables${\textstyle \varphi \colon \Omega \to {\mathbb {R}}}$con soporte compacto contenido en${\textstyle \Omega }$.

Esta definición tiene sus raíces en el enfoque de la teoría de la medida y la integración basado en el concepto de un funcional lineal continuo en un espacio vectorial topológico , desarrollado por la escuela de Nicolas Bourbaki . ^{[ 5 ]} También es la adoptada por Strichartz (2003) y por Maz'ya y Shaposhnikova (2009 , p. 34) . ^{[ 6 ]} Esta definición "de teoría de la distribución" es equivalente a la estándar, como lo demuestra el siguiente lema: 

Lema 1. Una función dada${\textstyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$es localmente integrable según la Definición  1 si y solo si es localmente integrable según la Definición  2 , es decir,

${\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compacto}}\quad \Longleftrightarrow \quad \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,\varphi \in C_{\mathrm {c} }^{\infty }(\Omega ).}$

Demostración del Lema  1

Solo si parte : Deje${\textstyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega)}$sea ​​una función de prueba. Está acotada por su norma suprema.${\textstyle \lVert \varphi \rVert _ {\infty }}$, medible y tiene un soporte compacto , llamémoslo${\textstyle K}$. Por eso,

${\displaystyle \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x=\int _{K}|f|\,|\varphi |\,\mathrm {d} x\leq \|\varphi \|_{\infty }\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<\infty }$

por Definición  1 .

Si parte : Deje${\textstyle K}$ser un subconjunto compacto del conjunto abierto${\textstyle \Omega }$Primero construiremos una función de prueba.${\textstyle \varphi _{K}\in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$que prioriza la función indicadora${\textstyle \chi _{K}}$de${\textstyle K}$. La distancia habitual establecida ^{[ 7 ]} entre${\textstyle K}$y el límite${\textstyle \partial \Omega }$es estrictamente mayor que cero, es decir,

${\displaystyle \Delta$ :=d(K,\partial \Omega )>0,}

Por lo tanto, es posible elegir un número real.${\textstyle \delta }$de tal manera que${\estilo de texto \Delta >2\delta >0}$(si${\textstyle \partial \Omega }$es el conjunto vacío, tome${\textstyle \Delta =\infty }$). Dejar${\textstyle K_{\delta }}$y${\textstyle K_{2\delta }}$denota el cerrado${\textstyle \delta }$-vecindario y${\textstyle 2\delta }$-vecindario de${\textstyle K}$, respectivamente. Asimismo son compactos y satisfacen

${\displaystyle K\subset K_{\delta }\subset K_{2\delta }\subset \Omega ,\qquad d(K_{\delta },\partial \Omega )=\Delta -\delta >\delta >0.}$

Ahora usa la convolución para definir la función.${\textstyle \varphi _{K}:\Omega \to \mathbb {R} }$por

${\displaystyle \varphi _{K}(x)={\chi _{K_{\delta }}\ast \varphi _{\delta }(x)}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{K_{\delta }}(y)\,\varphi _{\delta }(xy)\,\mathrm {d} y,}$

dónde${\textstyle \varphi _{\delta }}$es un suavizador construido utilizando el estándar positivo simétrico . Obviamente${\textstyle \varphi _{K}}$es no negativo en el sentido de que${\textstyle \varphi _ {K}\geq 0}$, infinitamente diferenciable, y su soporte está contenido en${\textstyle K_{2\delta }}$. En particular, es una función de prueba. Dado que${\textstyle \varphi _ {K}(x)=1}$a pesar de${\textstyle x\in K}$, tenemos eso${\textstyle \chi _{K}\leq \varphi _{K}}$.

Dejar${\textstyle f}$Sea una función localmente integrable según la Definición  2. Entonces

${\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }|f|\chi _{K}\,\mathrm {d} x\leq \int _{\Omega }|f|\varphi _{K}\,\mathrm {d} x<\infty .}$

Dado que esto se cumple para cada subconjunto compacto${\textstyle K}$de${\textstyle \Omega }$, la función${\textstyle f}$ es localmente integrable según la Definición  1. □

La definición  clásica 1 de una función localmente integrable involucra solo conceptos de teoría de la medida y topológicos ^{[ 8 ]} y, por lo tanto, puede extenderse a funciones abstractas de valores complejos en un espacio de medida topológico.${\textstyle (X,\Sigma ,\mu )}$. ^{[ 9 ]} Sin embargo, el concepto de una función localmente integrable puede definirse incluso en un espacio de medida generalizado.${\textstyle (X,{\mathcal {C}},\mu )}$, dónde${\textstyle {\mathcal {C}}}$Ya no es necesario que sea un álgebra sigma, sino solo un anillo de conjuntos y, notablemente,${\textstyle X}$no necesita tener la estructura de un espacio topológico.

Definición 1A . ^{[ 10 ]} Sea${\textstyle (X,{\mathcal {C}},\mu )}$ser una tripleta ordenada donde${\textstyle X}$es un conjunto no vacío,${\textstyle {\mathcal {C}}}$es un anillo de conjuntos, y${\textstyle \mu }$es una medida positiva en${\textstyle {\mathcal {C}}}$. Además, dejemos${\textstyle f}$ser una función de${\textstyle X}$a un espacio Banach${\textstyle B}$o a la recta numérica real extendida${\textstyle {\overline {\mathbb {R} }}}$. Entonces${\textstyle f}$Se dice que es localmente integrable con respecto a${\textstyle \mu }$si para cada conjunto${\textstyle K\in {\mathcal {C}}}$, la función${\textstyle f\cdot \chi _{K}}$es integrable con respecto a${\textstyle \mu }$.

La equivalencia de la Definición  1 y la Definición  1A cuando${\textstyle X}$Se puede demostrar que un espacio topológico se puede construir mediante un anillo de conjuntos.${\textstyle {\mathcal {C}}}$del conjunto${\textstyle {\mathcal {K}}}$de subconjuntos compactos de${\textstyle X}$siguiendo los siguientes pasos.

1. Es evidente que${\textstyle \emptyset \in {\mathcal {K}}}$y, además, las operaciones de la unión${\textstyle \cup }$y intersección${\textstyle \cap }$hacer${\textstyle {\mathcal {K}}}$una red con el límite superior más pequeño${\textstyle \vee \equiv \cup }$ y el límite inferior máximo${\textstyle \wedge \equiv \cap }$. ^{[ 11 ]}
2. La clase de conjuntos${\textstyle {\mathcal {D}}}$definido como${\textstyle {\mathcal {D}}\triangleq \{A\setminus B\mid A,B\in {\mathcal {K}}\}}$es un semianillo de conjuntos ^{[ 11 ]} tal que${\textstyle {\mathcal {D}}\supset {\mathcal {K}}}$debido a la condición${\textstyle \emptyset \in {\mathcal {K}}}$.
3. La clase de conjuntos${\textstyle {\mathcal {C}}}$definido como${\textstyle {\mathcal {C}}\triangleq \{\cup _{i=1}^{n}A_{i}\mid A_{i}\in {\mathcal {D}}{\text{ y }}A_{i}\cap A_{j}=\emptyset {\text{ si }}i\neq j\}}$, es decir, la clase formada por uniones finitas de conjuntos disjuntos dos a dos de${\textstyle {\mathcal {D}}}$, es un anillo de conjuntos , precisamente el mínimo generado por${\textstyle {\mathcal {K}}}$. ^{[ 12 ]}

Mediante este marco abstracto, Dinculeanu (1966 , pp. 163-188) enumera y demuestra varias propiedades de las funciones localmente integrables. Sin embargo, aunque es posible trabajar en este marco más general sin necesidad de definir una estructura topológica, todas las definiciones y propiedades presentadas en las siguientes secciones tratan explícitamente solo este último caso importante, ya que las aplicaciones más comunes de dichas funciones se encuentran en la teoría de distribuciones en espacios euclidianos ^{[ 2 ]} , y por lo tanto su dominio son invariablemente subconjuntos de un espacio topológico. 

Definición 3. ^{[ 13 ]} Sea${\textstyle \Omega }$ser un conjunto abierto en el espacio euclidiano${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$y ${\textstyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$sea ​​una función medible de Lebesgue. Si, para un dado${\textstyle p}$con${\textstyle 1\leq p\leq +\infty }$,${\textstyle f}$Satisface

${\displaystyle \int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

es decir, pertenece a${\textstyle L_{p}(K)}$para todos los subconjuntos compactos${\textstyle K}$de${\textstyle \Omega }$, entonces${\textstyle f}$se llama localmente${\textstyle p}$- integrable o también${\textstyle p}$- localmente integrable . ^{[ 13 ]} El conjunto de todas estas funciones se denota por${\textstyle L_{p,{\text{loc}}}(\Omega )}$:

${\displaystyle L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega )=\left\{f:\Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable }}\left|\ f|_{K}\in L_{p}(K),\ \forall \,K\subset \Omega ,K{\text{ compact}}\right.\right\}.}$

También se puede dar una definición alternativa, completamente análoga a la dada para funciones localmente integrables, para funciones localmente integrables.${\textstyle p}$-funciones integrables: también puede ser y se ha demostrado que es equivalente a la de esta sección. ^{[ 14 ]} A pesar de su aparente mayor generalidad, localmente${\textstyle p}$Las funciones integrables forman un subconjunto de funciones localmente integrables para cada${\textstyle p}$de tal manera que ${\textstyle 1<p\leq +\infty }$. ^{[ 15 ]}

Aparte de los diferentes glifos que se pueden usar para la "L" mayúscula, ^{[ 16 ]} existen pocas variantes para la notación del conjunto de funciones localmente integrables.

• ${\textstyle L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega ),}$adoptado por Hörmander (1990 , p. 37) , Strichartz (2003 , pp. 12–13) y ( Vladimirov 2002 , p. 3) .   
• ${\textstyle L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),}$adoptado por Maz'ya & Poborchi (1997 , p. 4) y Maz'ya & Shaposhnikova (2009 , p. 44) .  
• ${\textstyle L_{p}(\Omega ,\mathrm {loc} ),}$adoptado por Maz'ja (1985 , p. 6) y Maz'ya (2011 , p. 2) .  

Teorema 1. ^{[ 17 ]}${\textstyle L_{p,{\text{loc}}}}$es un espacio metrizable completo : su topología puede generarse mediante la siguiente métrica :

${\displaystyle d(u,v)=\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}{1+\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}}\qquad u,v\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),}$

dónde ${\textstyle \{\omega _{k}\}_{k\geq 1}}$es una familia de conjuntos abiertos no vacíos tales que

• ${\textstyle \omega _{k}\Subset \omega _{k+1}}$, lo que significa que${\textstyle \omega _{k}}$está contenido de forma compacta en${\textstyle \omega _{k+1}}$es decir, cada uno de ellos es un conjunto cuya clausura es compacta y está estrictamente incluido en el conjunto de índice superior. ^{[ 18 ]}
• ${\textstyle \cup _{k}\omega _{k}=\Omega }$y finalmente
• ${\textstyle {\Vert \cdot \Vert }_{p,\omega _{k}}\to \mathbb {R} ^{+}}$,${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$es una familia indexada de seminormas , definida como

${\displaystyle {\Vert u\Vert }_{p,\omega _{k}}=\left(\int _{\omega _{k}}|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p}\qquad \forall \,u\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ).}$

En ( Gilbarg y Trudinger 2001 , p. 147) , ( Maz'ya y Poborchi 1997 , p. 5) , ( Maz'ja 1985 , p. 6) y ( Maz'ya 2011 , p. 2) , este teorema se enuncia pero no se demuestra formalmente: ^{[ 19 ]} una demostración completa de un resultado más general, que lo incluye, se puede encontrar en ( Meise y Vogt 1997 , p. 40) .     

Teorema 2. Toda función${\textstyle f}$perteneciente a${\textstyle L_{p,{\text{loc}}}(\Omega )}$,${\textstyle 1\leq p\leq +\infty }$, dónde${\textstyle \Omega }$es un subconjunto abierto de${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$, es integrable localmente.

Prueba . El caso${\textstyle p=1}$es trivial, por lo tanto, en la continuación de la demostración se asume que${\textstyle 1<p\leq +\infty }$Consideremos la función característica .${\textstyle \chi _{K}}$de un subconjunto compacto${\textstyle K}$de${\textstyle \Omega }$: entonces, para${\textstyle p\leq +\infty }$,

${\displaystyle \left|{\int _{\Omega }|\chi _{K}|^{q}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=|K|^{1/q}<+\infty ,}$

dónde

• ${\textstyle q}$es un número positivo tal que${\textstyle 1/p+1/q=1}$para un dado${\textstyle 1\leq p\leq +\infty }$,
• ${\textstyle \vert K\vert }$es la medida de Lebesgue del conjunto compacto${\textstyle K}$.

Entonces, para cualquier${\textstyle f}$perteneciente a${\textstyle L_{p}(\Omega )}$el producto por${\textstyle f\chi _{K}}$es integrable por la desigualdad de Hölder , es decir pertenece a${\textstyle L_{1}(\Omega )}$y

${\displaystyle {\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{\Omega }|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,}$

por lo tanto

${\displaystyle f\in L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega ).}$

Nótese que, dado que la siguiente desigualdad es verdadera,

${\displaystyle {\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\chi _{K}\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,}$

El teorema también es cierto para las funciones.${\textstyle f}$perteneciente únicamente al espacio de lo local${\textstyle p}$-funciones integrables, por lo tanto el teorema implica también el siguiente resultado.

Corolario 1. Toda función${\textstyle f}$en${\textstyle L_{p,{\text{loc}}}(\Omega )}$,${\textstyle 1<p\leq +\infty }$, es localmente integrable, es decir pertenece a${\textstyle >L_{1,{\text{loc}}}(\Omega )}$.

Nota: Si${\textstyle \Omega }$es un subconjunto abierto de${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$que también está acotado, entonces se tiene la inclusión estándar${\displaystyle L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )}$lo cual tiene sentido dada la inclusión anterior${\displaystyle L_{1}(\Omega )\subset L_{1,{\text{loc}}}(\Omega )}$. Pero la primera de estas afirmaciones no es cierta si${\displaystyle \Omega }$no está limitado; entonces sigue siendo cierto que${\displaystyle L_{p}(\Omega )\subset L_{1,{\text{loc}}}(\Omega )}$para cualquier${\displaystyle p}$pero no eso${\displaystyle L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )}$Para ver esto, normalmente se considera la función${\displaystyle u(x)=1}$, que está en${\displaystyle L_{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$pero no en${\displaystyle L_{p}(\mathbb {R} ^{n})}$para cualquier finito${\displaystyle p}$.

Teorema 3. Una función${\textstyle f}$es la densidad de una medida absolutamente continua si y solo si${\displaystyle f\in L_{1,{\text{loc}}}}$.

La demostración de este resultado se esboza en ( Schwartz 1998 , p. 18) . Reformulando su enunciado, este teorema afirma que toda función localmente integrable define una medida absolutamente continua y, a la inversa, que toda medida absolutamente continua define una función localmente integrable: esta es también, en el marco de la teoría abstracta de la medida, la forma del importante teorema de Radon-Nikodym dado por Stanisław Saks en su tratado. ^{[ 20 ]}