Función generalizada

En matemáticas , las funciones generalizadas son objetos que extienden la noción de funciones en números reales o complejos. Existe más de una teoría reconocida, por ejemplo, la teoría de distribuciones . Las funciones generalizadas son especialmente útiles para tratar funciones discontinuas de forma más similar a funciones suaves y para describir fenómenos físicos discretos, como cargas puntuales . Se aplican ampliamente, sobre todo en física e ingeniería . Entre las motivaciones importantes se encuentran los requisitos técnicos de las teorías de ecuaciones diferenciales parciales y las representaciones de grupos .

Una característica común de algunos de estos enfoques es que se basan en aspectos operacionales de las funciones numéricas cotidianas. Su historia temprana está relacionada con algunas ideas sobre el cálculo operacional , y algunos desarrollos contemporáneos guardan una estrecha relación con el análisis algebraico de Mikio Sato .

En las matemáticas del siglo XIX, surgieron aspectos de la teoría de funciones generalizadas, por ejemplo, en la definición de la función de Green , en la transformada de Laplace y en la teoría de las series trigonométricas de Riemann , que no eran necesariamente series de Fourier de una función integrable . En aquel entonces, estos eran aspectos inconexos del análisis matemático .

El uso intensivo de la transformada de Laplace en ingeniería propició el uso heurístico de métodos simbólicos, denominados cálculo operacional . Dado que se ofrecían justificaciones basadas en series divergentes , estos métodos resultaban cuestionables desde el punto de vista de las matemáticas puras . Son representativos de la posterior aplicación de métodos de funciones generalizadas. Un libro influyente sobre cálculo operacional fue la Teoría Electromagnética de Oliver Heaviside , publicada en 1899.

Cuando se introdujo la integral de Lebesgue , surgió por primera vez la noción de función generalizada, fundamental para las matemáticas. En la teoría de Lebesgue, una función integrable es equivalente a cualquier otra que sea la misma casi en todas partes . Esto significa que su valor en cada punto no es (en cierto sentido) su característica más importante. En el análisis funcional se proporciona una formulación clara de la característica esencial de una función integrable, a saber, la forma en que define un funcional lineal sobre otras funciones. Esto permite definir la derivada débil .

Durante finales de la década de 1920 y la de 1930 se dieron pasos fundamentales adicionales. Paul Dirac definió audazmente la función delta de Dirac (un aspecto de su formalismo científico ); esto consistía en tratar las medidas , consideradas como densidades (como la densidad de carga ), como funciones genuinas. Sergei Sobolev , trabajando en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , definió la primera teoría rigurosa de funciones generalizadas para definir soluciones débiles de ecuaciones diferenciales parciales (es decir, soluciones que son funciones generalizadas, pero que pueden no ser funciones ordinarias). ^{[ 1 ]} Otros que propusieron teorías relacionadas en ese momento fueron Salomon Bochner y Kurt Friedrichs . El trabajo de Sobolev fue ampliado por Laurent Schwartz . ^{[ 2 ]}

El desarrollo más definitivo fue la teoría de distribuciones desarrollada por Laurent Schwartz , que elaboró ​​sistemáticamente el principio de dualidad para espacios vectoriales topológicos . Su principal rival en matemáticas aplicadas es la teoría de suavizadores , que utiliza secuencias de aproximaciones suaves (la explicación de James Lighthill ). ^{[ 3 ]}

Esta teoría tuvo mucho éxito y todavía se usa ampliamente, pero adolece del principal inconveniente de que las distribuciones no suelen ser multiplicables: a diferencia de la mayoría de los espacios de funciones clásicos , no forman un álgebra . Por ejemplo, no tiene sentido elevar al cuadrado la función delta de Dirac . El trabajo de Schwartz de alrededor de 1954 demostró que esta es una dificultad intrínseca.

Se han propuesto algunas soluciones al problema de la multiplicación. Una se basa en una definición simple de Yu. V. Egorov ^{[ 4 ]} (véase también su artículo en el libro de Demidov en la lista de libros que aparece a continuación) que permite operaciones arbitrarias sobre y entre funciones generalizadas.

Otra solución que permite la multiplicación la propone la formulación de la integral de trayectoria de la mecánica cuántica . Dado que se requiere que esta sea equivalente a la teoría de Schrödinger de la mecánica cuántica , que es invariante bajo transformaciones de coordenadas, esta propiedad debe ser compartida por las integrales de trayectoria. Esto fija todos los productos de funciones generalizadas, como demostraron H. Kleinert y A. Chervyakov. ^{[ 5 ]} El resultado es equivalente a lo que se puede derivar de la regularización dimensional . ^{[ 6 ]}

Se han propuesto varias construcciones de álgebras de funciones generalizadas, entre ellas las de Yu. M. Shirokov ^{[ 7 ]} y las de E. Rosinger, Y. Egorov y R. Robinson. En el primer caso, la multiplicación se determina mediante alguna regularización de la función generalizada. En el segundo caso, el álgebra se construye como una multiplicación de distribuciones . Ambos casos se analizan a continuación.

Entre ellas se incluyen: la teoría del cociente de convolución de Jan Mikusinski , basada en el campo de fracciones de álgebras de convolución que son dominios de integridad ; y las teorías de hiperfunciones , basadas (en su concepción inicial) en valores límite de funciones analíticas , y que ahora utilizan la teoría de haces .

Bruhat introdujo una clase de funciones de prueba, las funciones de Schwartz-Bruhat , en una clase de grupos localmente compactos que va más allá de las variedades que son los dominios de función típicos . Las aplicaciones se encuentran principalmente en la teoría de números , particularmente en grupos algebraicos adélicos . André Weil reescribió la tesis de Tate en este lenguaje, caracterizando la distribución zeta en el grupo idele ; y también la ha aplicado a la fórmula explícita de una función L.

Otra forma en que se ha extendido la teoría es mediante secciones generalizadas de un fibrado vectorial suave . Esto se basa en el patrón de Schwartz, construyendo objetos duales a los objetos de prueba, secciones suaves de un fibrado con soporte compacto . La teoría más desarrollada es la de las corrientes de De Rham , duales a las formas diferenciales . Estas son de naturaleza homológica, del mismo modo que las formas diferenciales dan lugar a la cohomología de De Rham . Se pueden utilizar para formular un teorema de Stokes muy general .

• Espacio Beppo-Levi
• función delta de Dirac
• Autofunción generalizada
• Distribución (matemáticas)
• Hiperfunción
• Laplaciano del indicador
• Espacio de Hilbert manipulado
• Límite de una distribución
• Espacio generalizado
• Ultradistribución

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