Clase de equivalencia

En matemáticas , cuando los elementos de algún conjunto${\displaystyle S}$Si se tiene una noción de equivalencia (formalizada como una relación de equivalencia ), entonces se puede dividir naturalmente el conjunto.${\displaystyle S}$en clases de equivalencia . Estas clases de equivalencia se construyen de manera que los elementos${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$pertenecen a la misma clase de equivalencia si, y solo si , son equivalentes.

Formalmente, dado un conjunto${\displaystyle S}$y una relación de equivalencia${\displaystyle \sim }$en${\displaystyle S,}$la clase de equivalencia de un elemento${\displaystyle a}$en${\displaystyle S}$se denota${\displaystyle [a]}$o, equivalentemente,${\displaystyle [a]_{\sim }}$para enfatizar su relación de equivalencia${\displaystyle \sim }$y se define como el conjunto de todos los elementos en${\displaystyle S}$con quién${\displaystyle a}$es${\displaystyle \sim }$-relacionado. La definición de relaciones de equivalencia implica que las clases de equivalencia forman una partición de${\displaystyle S,}$ lo que significa que cada elemento del conjunto pertenece exactamente a una clase de equivalencia. El conjunto de clases de equivalencia a veces se denomina conjunto cociente o espacio cociente de${\displaystyle S}$por${\displaystyle \sim ,}$y se denota por${\displaystyle S/{\sim }.}$

Cuando el conjunto${\displaystyle S}$tiene alguna estructura (como una operación de grupo o una topología ) y la relación de equivalencia${\displaystyle \sim }$Si es compatible con esta estructura, el conjunto cociente a menudo hereda una estructura similar de su conjunto padre. Algunos ejemplos incluyen espacios cociente en álgebra lineal , espacios cociente en topología , grupos cociente , espacios homogéneos , anillos cociente , monoides cociente y categorías cociente .

Una relación de equivalencia en un conjunto${\displaystyle X}$es una relación binaria${\displaystyle \sim }$en${\displaystyle X}$que satisfacen las tres propiedades: ^{[ 1 ]}

• ${\displaystyle a\sim a}$a pesar de${\displaystyle a\in X}$( reflexividad ),
• ${\displaystyle a\sim b}$implica${\displaystyle b\sim a}$a pesar de${\displaystyle a,b\in X}$( simetría ),
• si${\displaystyle a\sim b}$y${\displaystyle b\sim c}$entonces${\displaystyle a\sim c}$a pesar de${\displaystyle a,b,c\in X}$( transitividad ).

La clase de equivalencia de un elemento${\displaystyle a}$se define como ^{[ 2 ]}

${\displaystyle [a]=\{x\in X:a\sim x\}.}$

En el término "clase de equivalencia", la palabra "clase" puede considerarse generalmente sinónimo de " conjunto ", aunque algunas clases de equivalencia no son conjuntos, sino clases propias . Por ejemplo, "ser isomorfo " es una relación de equivalencia entre grupos , y las clases de equivalencia, llamadas clases de isomorfismo , no son conjuntos.

El conjunto de todas las clases de equivalencia en${\displaystyle X}$con respecto a una relación de equivalencia${\displaystyle R}$se denota como${\displaystyle X/R,}$y se llama${\displaystyle X}$módulo${\displaystyle R}$(o elconjunto de cocientes${\displaystyle X}$por${\displaystyle R}$). ^{[ 3 ]} El mapa sobreyectivo${\displaystyle x\mapsto [x]}$de${\displaystyle X}$sobre${\displaystyle X/R,}$que asigna cada elemento a su clase de equivalencia, se llamasobreyección canónica , oproyección canónica.

Cada elemento de una clase de equivalencia caracteriza la clase y puede usarse para representarla . Cuando se elige dicho elemento, se le llama representante de la clase. La elección de un representante en cada clase define una inyección desde${\displaystyle X/R}$a X . Dado que su composición con la sobreyección canónica es la identidad de${\displaystyle X/R,}$Dicha inyección se denomina sección , cuando se utiliza la terminología de la teoría de categorías .

A veces, hay una sección que es más "natural" que las demás. En este caso, los representantes se denominan representantes canónicos . Por ejemplo, en aritmética modular , para cada entero m mayor que 1 , la congruencia módulo m es una relación de equivalencia sobre los enteros, para la cual dos enteros a y b son equivalentes —en este caso, se dice congruentes— si m divide a 1.${\displaystyle ab;}$Esto se denota${\textstyle a\equiv b{\pmod {m}}.}$Cada clase contiene un entero no negativo único menor que${\displaystyle m,}$y estos números enteros son los representantes canónicos.

El uso de representantes para representar clases permite evitar considerar explícitamente las clases como conjuntos. En este caso, la sobreyección canónica que asigna un elemento a su clase se reemplaza por la función que asigna un elemento al representante de su clase. En el ejemplo anterior, esta función se denota${\displaystyle a{\bmod {m}},}$y produce el resto de la división euclidiana de a por m .

Para un conjunto${\displaystyle X}$con una relación de equivalencia${\displaystyle \sim }$, cada elemento${\displaystyle x}$de${\displaystyle X}$es un miembro de la clase de equivalencia${\displaystyle [x]}$por reflexividad (${\displaystyle a\sim a}$a pesar de${\displaystyle a\in X}$). Cada dos clases de equivalencia${\displaystyle [x]}$y${\displaystyle [y]}$son iguales si${\displaystyle x\sim y}$, o disjuntos de otro modo. Por lo tanto, el conjunto de todas las clases de equivalencia de${\displaystyle X}$forma una partición de${\displaystyle X}$: cada elemento${\displaystyle x}$de${\displaystyle X}$pertenece a una y solo una clase de equivalencia. ^{[ 4 ]}

Por el contrario, para un conjunto${\displaystyle X}$Cada partición proviene de una relación de equivalencia de esta manera, y diferentes relaciones dan lugar a diferentes particiones. Por lo tanto,${\displaystyle x\sim y}$si y solo si${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$pertenecen al mismo conjunto de la partición. ^{[ 5 ]}

De las propiedades de la sección anterior se deduce que si${\displaystyle \,\sim \,}$es una relación de equivalencia en un conjunto${\displaystyle X,}$y${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son dos elementos de${\displaystyle X,}$Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• ${\displaystyle x\sim y}$,
• ${\displaystyle [x]=[y]}$, y
• ${\displaystyle [x]\cap [y]\neq \emptyset .}$

• Dejar${\displaystyle X}$Sea el conjunto de todos los rectángulos en un plano, y${\displaystyle \,\sim \,}$la relación de equivalencia "tiene la misma área que", entonces para cada número real positivo${\displaystyle A,}$habrá una clase de equivalencia de todos los rectángulos que tengan área${\displaystyle A.}$^{[ 6 ]}
  • Por ejemplo, los rectángulos con lados de longitudes 2x4 y 1x8 tienen ambos un área de 8. Aunque difieren en su forma, son equivalentes según la relación "tienen la misma área", por lo que pertenecen a la misma clase de equivalencia.
• Consideremos la relación de equivalencia módulo 2 en el conjunto de los enteros ,${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$de tal manera que${\displaystyle x\sim y}$si y solo si su diferencia${\displaystyle xy}$es un número par . Esta relación da lugar a exactamente dos clases de equivalencia: una clase consta de todos los números pares y la otra clase consta de todos los números impares. Usando corchetes alrededor de un miembro de la clase para denotar una clase de equivalencia bajo esta relación,${\displaystyle [7],[9],}$y${\displaystyle [1]}$todos representan el mismo elemento de${\displaystyle \mathbb {Z} /{\sim }.}$^{[ 2 ]}
  • Se puede examinar la congruencia módulo 3 en el conjunto de los enteros para demostrar esto. Bajo esta relación de equivalencia,

[0] = {..., -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9,...}

[1] = {..., -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10,...}

[2] = {..., -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11,...}

Cada valor en${\displaystyle \mathbb {Z} }$pertenece a solo una de las clases donde los elementos 0, 1 y 2 son los representantes canónicos de sus clases.

• Dejar${\displaystyle X}$sea ​​el conjunto de pares ordenados de números enteros${\displaystyle (a,b)}$con distinto de cero${\displaystyle b,}$y definir una relación de equivalencia${\displaystyle \,\sim \,}$en${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}$si y solo si${\displaystyle ad=bc,}$entonces la clase de equivalencia del par${\displaystyle (a,b)}$puede identificarse con el número racional${\displaystyle a/b,}$y esta relación de equivalencia y sus clases de equivalencia pueden usarse para dar una definición formal del conjunto de números racionales. ^{[ 7 ]} La misma construcción puede generalizarse al campo de fracciones de cualquier dominio de integridad .
  • Los pares ordenados${\displaystyle (1,2),(2,4)}$y${\displaystyle (3,6)}$servir como ejemplo de esto. Estos pares pertenecen a la misma clase de equivalencia que cada uno${\displaystyle (a,b)}$El emparejamiento representa el número racional 1/2 .
• Si${\displaystyle X}$consta de todas las líneas en el plano euclidiano y${\displaystyle L\sim M}$significa que${\displaystyle L}$y${\displaystyle M}$Si dos líneas son paralelas , entonces el conjunto de líneas que son paralelas entre sí forman una clase de equivalencia, siempre que una línea se considere paralela a sí misma . En esta situación, cada clase de equivalencia determina un punto en el infinito .
  • En el plano cartesiano , las líneas${\displaystyle y=2x-3}$y${\displaystyle y=2x+1}$Tienen la misma pendiente y son paralelas, por lo que pertenecen a la misma clase de equivalencia.
• Para cualquier conjunto${\displaystyle X}$, la relación${\displaystyle x\sim y\iff x=y}$es una relación de equivalencia en la que cada clase de equivalencia es un conjunto que consta de un solo elemento.
  • Si${\displaystyle X}$=${\displaystyle \{1,2,3\}}$, entonces las clases de equivalencia son${\displaystyle [1],[2],}$y${\displaystyle [3]}$ya que no se consideran equivalentes dos elementos distintos bajo la relación de igualdad.

Un grafo no dirigido puede asociarse a cualquier relación simétrica en un conjunto.${\displaystyle X,}$donde los vértices son los elementos de${\displaystyle X,}$y dos vértices${\displaystyle s}$y${\displaystyle t}$se unen si y solo si${\displaystyle s\sim t.}$Entre estos grafos se encuentran los grafos de relaciones de equivalencia. Estos grafos, denominados grafos de clúster , se caracterizan por tener componentes conexas que son camarillas . ^{[ 2 ]}

Si${\displaystyle \,\sim \,}$es una relación de equivalencia en${\displaystyle X,}$y${\displaystyle P(x)}$es una propiedad de los elementos de${\displaystyle X}$de tal manera que siempre${\displaystyle x\sim y,}$${\displaystyle P(x)}$es cierto si${\displaystyle P(y)}$Si es cierto, entonces la propiedad${\displaystyle P}$Se dice que es un invariante de${\displaystyle \,\sim \,,}$o bien definido bajo la relación${\displaystyle \,\sim .}$

Un caso particular frecuente ocurre cuando${\displaystyle f}$es una función de${\displaystyle X}$a otro conjunto${\displaystyle Y}$; si ${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)}$cuando sea${\displaystyle x_{1}\sim x_{2},}$entonces${\displaystyle f}$Se dice que es invariante de clase bajo${\displaystyle \,\sim \,,}$o simplemente invariante bajo${\displaystyle \,\sim .}$Esto ocurre, por ejemplo, en la teoría de caracteres de grupos finitos. Algunos autores utilizan "compatible con${\displaystyle \,\sim \,}$" o simplemente "respeta${\displaystyle \,\sim \,}$" en lugar de "invariante bajo${\displaystyle \,\sim \,}$".

Cualquier función${\displaystyle f:X\to Y}$es invariante de clase bajo${\displaystyle \,\sim \,,}$según cuál${\displaystyle x_{1}\sim x_{2}}$si y solo si${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right).}$La clase de equivalencia de${\displaystyle x}$es el conjunto de todos los elementos en${\displaystyle X}$que se asignan a${\displaystyle f(x),}$es decir, la clase${\displaystyle [x]}$es la imagen inversa de${\displaystyle f(x).}$Esta relación de equivalencia se conoce como el núcleo de${\displaystyle f.}$

De manera más general, una función puede asignar argumentos equivalentes (bajo una relación de equivalencia).${\displaystyle \sim _{X}}$en${\displaystyle X}$) a valores equivalentes (bajo una relación de equivalencia)${\displaystyle \sim _{Y}}$en${\displaystyle Y}$). Dicha función es un morfismo de conjuntos dotado de una relación de equivalencia.

In topology, a quotient space is a topological space formed on the set of equivalence classes of an equivalence relation on a topological space, using the original space's topology to create the topology on the set of equivalence classes.

In abstract algebra, congruence relations on the underlying set of an algebra allow the algebra to induce an algebra on the equivalence classes of the relation, called a quotient algebra. In linear algebra, a quotient space is a vector space formed by taking a quotient group, where the quotient homomorphism is a linear map. By extension, in abstract algebra, the term quotient space may be used for quotient modules, quotient rings, quotient groups, or any quotient algebra. However, the use of the term for the more general cases can as often be by analogy with the orbits of a group action.

The orbits of a group action on a set may be called the quotient space of the action on the set, particularly when the orbits of the group action are the right cosets of a subgroup of a group, which arise from the action of the subgroup on the group by left translations, or respectively the left cosets as orbits under right translation.

A normal subgroup of a topological group, acting on the group by translation action, is a quotient space in the senses of topology, abstract algebra, and group actions simultaneously.

Although the term can be used for any equivalence relation's set of equivalence classes, possibly with further structure, the intent of using the term is generally to compare that type of equivalence relation on a set ${\displaystyle X,}$ either to an equivalence relation that induces some structure on the set of equivalence classes from a structure of the same kind on ${\displaystyle X,}$ or to the orbits of a group action. Both the sense of a structure preserved by an equivalence relation, and the study of invariants under group actions, lead to the definition of invariants of equivalence relations given above.

• Equivalence partitioning, a method for devising software test sets based on program coverage of possible inputs
• Homogeneous space, the quotient space of Lie groups
• Partial equivalence relation – Mathematical concept for comparing objects
• Quotient by an equivalence relation – Generalization of equivalence classes to scheme theory
• Setoid – Mathematical construction of a set with an equivalence relation
• Transversal (combinatorics) – Set that intersects every one of a family of sets

• Avelsgaard, Carol (1989), Fundamentos de matemáticas avanzadas , Scott Foresman, ISBN 0-673-38152-8
• Devlin, Keith (2004), Conjuntos, funciones y lógica: Una introducción a las matemáticas abstractas (3.ª  ed.), Chapman & Hall/ CRC Press, ISBN 978-1-58488-449-1
• Maddox, Randall B. (2002), Pensamiento y escritura matemáticos , Harcourt/ Academic Press, ISBN 0-12-464976-9
• Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2012). Análisis funcional: Introducción a temas adicionales en análisis . Princeton University Press. doi : 10.1515/9781400840557 . ISBN 978-1-4008-4055-7.
• Wolf, Robert S. (1998), Demostración, lógica y conjetura: una caja de herramientas para matemáticos , Freeman, ISBN 978-0-7167-3050-7

• Sundstrom (2003), Razonamiento matemático: escritura y demostración , Prentice-Hall
• Smith; Eggen; St.Andre (2006), Una transición a las matemáticas avanzadas (6.ª  ed.), Thomson (Brooks/Cole)
• Schumacher, Carol (1996), Capítulo cero: Nociones fundamentales de las matemáticas abstractas , Addison-Wesley, ISBN 0-201-82653-4
• O'Leary (2003), La estructura de la demostración: con lógica y teoría de conjuntos , Prentice-Hall
• Lay (2001), Análisis con una introducción a la demostración , Prentice Hall
• Morash, Ronald P. (1987), Puente a las matemáticas abstractas , Random House, ISBN 0-394-35429-X
• Gilbert; Vanstone (2005), Introducción al pensamiento matemático , Pearson Prentice-Hall
• Fletcher; Patty, Fundamentos de Matemáticas Superiores , PWS-Kent
• Iglewicz; Stoyle, Introducción al razonamiento matemático , MacMillan
• D'Angelo; West (2000), Pensamiento matemático: resolución de problemas y demostraciones , Prentice Hall
• Cupillari , Los fundamentos de las pruebas , Wadsworth
• Bond, Introducción a las matemáticas abstractas , Brooks/Cole
• Barnier; Feldman (2000), Introducción a las matemáticas avanzadas , Prentice Hall
• Ash, Introducción a las matemáticas abstractas , MAA