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En matemáticas , más particularmente en análisis funcional , topología diferencial y teoría geométrica de la medida , una k -corriente en el sentido de Georges de Rham es un funcional en el espacio de k -formas diferenciales con soporte compacto , en una variedad diferenciable M. Formalmente, las corrientes se comportan como distribuciones de Schwartz en un espacio de formas diferenciales, pero en un contexto geométrico, pueden representar la integración sobre una subvariedad , generalizando la función delta de Dirac , o más generalmente incluso derivadas direccionales de funciones delta ( multipolos ) distribuidas a lo largo de subconjuntos de M.

Dejar${\displaystyle \Omega _{c}^{m}(M)}$denotamos el espacio de m - formas suaves con soporte compacto en una variedad suave.${\displaystyle M.}$ Una corriente es un funcional lineal en${\displaystyle \Omega _{c}^{m}(M)}$que es continua en el sentido de las distribuciones . Por lo tanto, una función lineal $${\displaystyle T:\Omega _{c}^{m}(M)\to \mathbb {R} }$$ es una corriente m- dimensional si es continua en el siguiente sentido: Si una secuencia${\displaystyle \omega _{k}}$de formas suaves, todas soportadas en el mismo conjunto compacto , es tal que todas las derivadas de todos sus coeficientes tienden uniformemente a 0 cuando${\displaystyle k}$tiende al infinito, entonces${\displaystyle T(\omega _ {k})}$tiende a 0.

El espacio${\displaystyle {\mathcal {D}}_{m}(M)}$de corrientes m -dimensionales en${\displaystyle M}$es un espacio vectorial real con operaciones definidas por $${\displaystyle (T+S)(\omega ):=T(\omega )+S(\omega ),\qquad (\lambda T)(\omega ):=\lambda T(\omega ).}$$

Gran parte de la teoría de las distribuciones se aplica a las corrientes con ajustes mínimos. Por ejemplo, se puede definir el soporte de una corriente.${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}_{m}(M)}$como complemento del conjunto abierto más grande${\displaystyle U\subset M}$de tal manera que $${\displaystyle T(\omega )=0}$$cuando sea${\displaystyle \omega \in \Omega _{c}^{m}(U)}$

El subespacio lineal de${\displaystyle {\mathcal {D}}_{m}(M)}$que consiste en corrientes con soporte (en el sentido anterior) que es un subconjunto compacto de${\displaystyle M}$se denota${\displaystyle {\mathcal {E}}_{m}(M).}$

La integración sobre una subvariedad orientada rectificable compacta M ( con frontera ) de dimensión m define una m -corriente, denotada por${\displaystyle [[M]]}$: $${\displaystyle [[M]](\omega )=\int _{M}\omega .}$$

Si el límite ∂ M de M es rectificable, entonces también define una corriente por integración, y en virtud del teorema de Stokes se tiene: $${\displaystyle [[\partial M]](\omega )=\int _{\partial M}\omega =\int _{M}d\omega =[[M]](d\omega ).}$$

Esto relaciona la derivada exterior d con el operador de frontera ∂ en la homología de M.

En vista de esta fórmula podemos definir un operador de frontera sobre corrientes arbitrarias. $${\displaystyle \partial$$ :{\mathcal {D}}_{m+1}\to {\mathcal {D}}_{m}} por dualidad con la derivada exterior por $${\displaystyle (\partial T)(\omega ):=T(d\omega )}$$ para todas las formas m compatibles de forma compacta${\displaystyle \omega .}$

Ciertas subclases de corrientes que están cerradas bajo${\displaystyle \partial }$Se puede utilizar en lugar de todas las corrientes para crear una teoría de homología, que puede satisfacer los axiomas de Eilenberg-Steenrod en ciertos casos. Un ejemplo clásico es la subclase de corrientes integrales en retracciones de vecindad de Lipschitz.

El espacio de corrientes está dotado naturalmente de la topología débil-* , que en adelante se denominará simplemente convergencia débil . Una secuencia${\displaystyle T_{k}}$de corrientes, converge a una corriente${\displaystyle T}$si $${\displaystyle T_{k}(\omega )\to T(\omega ),\qquad \forall \omega .}$$

Es posible definir varias normas en subespacios del espacio de todas las corrientes. Una de estas normas es la norma de masa . Si${\displaystyle \omega }$es una m -forma, entonces defina su coma por $${\displaystyle \|\omega \|:=\sup\{\left|\langle \omega ,\xi \rangle \right|:\xi {\mbox{ is a unit, simple, }}m{\mbox{-vector}}\}.}$$

Entonces si${\displaystyle \omega }$Si es una m -forma simple , entonces su norma de masa es la norma L ^∞ usual de su coeficiente. La masa de una corriente${\displaystyle T}$entonces se define como $${\displaystyle \mathbf {M} (T):=\sup\{T(\omega ):\sup _{x}|\vert \omega (x)|\vert \leq 1\}.}$$

La masa de una corriente representa el área ponderada de la superficie generalizada. Una corriente tal que M ( T )  <  ∞ se puede representar mediante la integración de una medida de Borel regular mediante una versión del teorema de representación de Riesz . Este es el punto de partida de la integración homológica .

Una norma intermedia es la norma plana de Whitney , definida por $${\displaystyle \mathbf {F} (T):=\inf\{\mathbf {M} (T-\partial A)+\mathbf {M} (A):A\in {\mathcal {E}}_{m+1}\}.}$$

Dos corrientes están próximas en la norma de masa si coinciden salvo por una pequeña parte. Por otro lado, están próximas en la norma plana si coinciden salvo por una pequeña deformación.

Recuerda que $${\displaystyle \Omega _{c}^{0}(\mathbb {R} ^{n})\equiv C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$$ de modo que lo siguiente define una corriente cero: $${\displaystyle T(f)=f(0).}$$

En particular, cada medida regular firmada${\displaystyle \mu }$es una corriente de 0: $${\displaystyle T(f)=\int f(x)\,d\mu (x).}$$

Sea ( x , y , z ) las coordenadas en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$A continuación se define una corriente 2 (una de muchas): $${\displaystyle T(a\,dx\wedge dy+b\,dy\wedge dz+c\,dx\wedge dz):=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}b(x,y,0)\,dx\,dy.}$$

• Georges de Rham
• Herbert Federer
• Geometría diferencial
• Varifold

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